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人教版九年级数学上册知识点总结
21.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：
1、已知关于x的方程（m+）x+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.
（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
①移项；
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；
③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）方程两边都除以二次项系数；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
②确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值；
④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，
即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
21.2．3因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2）因式分解法的详细步骤：
① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称 | 理论依据 | 适用范围 |
直接开平方法 | 平方根的意义 | 形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0) |
配方法 | 完全平方公式 | 所有一元二次方程 |
公式法 | 配方法 | 所有一元二次方程 |
因式分解法 | 当ab=0，则a=0或b=0 | 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 |
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2=
22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
（2）设：是指设元，也就是设出未知数。
（3）列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
（4）解：就是解方程，求出未知数的值。
（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6）答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
（1）数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.
（2）增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。
（3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：
①总利润=总销售价-总成本；
②总利润=单位利润×总销售量；
③利润=成本×利润率
（4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
中考回顾
1.(2017四川绵阳中考)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为(C)
A.-8 B.8 C.16 D.-16
2.(2017新疆中考)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是(A )
A.-3 B.-2 C.3 D.6
3.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是(B )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
4.(2017青海西宁中考)若x1,x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根,则x2+x1的值是15.
5.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是m<2.
6.(2017四川成都中考)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根,且=10,则a=
模拟预测
1.方程x2+x-12=0的两个根为(D)
A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2
C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=3
2.对形如(x+m)2=n的方程,下列说法正确的是(C)
A.都可以用直接开平方得x=-m± B.都可以用直接开平方得x=-n±
C.当n≥0时,直接开平方得x=-m± D.当n≥0时,直接开平方得x=-n±
3.三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为( A )
A.7 B.3
C.7或3 D.无法确定
4.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是 (A)
A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289 C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289
5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于()
A.1 B.2 C.1或2 D.0
解析:由常数项为零,知m2-3m+2=0,解之,得m1=1,m2=2.又二次项系数m-1≠0,所以m≠1.综上可知,m=2.故选B.
6.若关于x的一元二次方程x2-3x-2a=0有两个实数根,则a可取的最大负整数为.
解析:由题意可知Δ=9+8a≥0,故a≥-, 所以a可取的最大负整数为-1.
7.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值是.
解析:因为一元二次方程有两个不相等的实数根,所以[-(2m+3)]2-4m2>0,即m>-;由根与系数的关系可知x1+x2=2m+3,所以2m+3=m2,得m1=-1,m2=3,故m=3.
8.某地特产专卖店销售核桃,其进价为40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出100kg.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
(1)设每千克核桃应降价x元,根据题意,得
(60-x-40)=2240.
化简,得x2-10x+24=0.
解得x1=4,x2=6.
答:每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元),所以100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.
第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：
的形式，其中.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大。
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，
∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧，“左同右异”.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
当时 开口向上 当时 开口向下 | （轴） | （0,0） | |
（轴） | (0, ) | ||
(,0) | |||
(,) | |||
() |
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
中考回顾
1.(2017天津中考)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为(A)
A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1
2.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是(B)
A. abc<0, b2-4ac>0
B. abc>0, b2-4ac>0
C. abc<0, b2-4ac<0
D. abc>0, b2-4ac<0
3.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是m<2.
4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
备用图
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2,若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4.
∵点B(3,0)在该二次函数的图象上,
∴0=a(3-1)2+4,解得:a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
∵点D在y轴上,所以可令x=0,解得:y=3.
∴点D的坐标为(0,3).
设直线BD的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1.
∴直线BD的解析式为y=-x+3.
（2）设点P的横坐标为m(m>0), 则P(m,-m+3), M(m,-m2+2m+3),
PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-, PM最大值为
(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2
设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3),
QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.
∵△DOB是等腰直角三角形,
∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.
∴sin∠1=,∴QG=4.
得|-x2+3x|=4,
当-x2+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.
当-x2+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).
模拟预测
1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(D)
A.k<3 B.k<3,且k≠0 C.k≤3 D.k≤3,且k≠0
2.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x2+2x上,则下列结论正确的是(C)
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2
解:x=-2时,y1=-x2+2x=-(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6,
x=-1时,y2=-x2+2x=-(-1)2+2×(-1)=--2=-2,
x=8时,y3=-x2+2x=-82+2×8=-32+16=-16.
∵-16<-6<-2,∴y3<y1<y2.故选C.
3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()
解析:∵x1+x2=4,∴-=4.
∴二次函数的对称轴为x=-=2.
∵x1·x2=3,=3.
当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴.
4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | -6 | -4 | -2 | -2 | -2 | … |
根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=-4.
5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为k=0或k=-1.
6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为.
解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以- =1,即b=2.
把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.
故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x
7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.
(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;
(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;
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