矩阵对角化问题的再整理（旧文）

说明：十一假期在家里整理旧文，翻出了这篇文章。文章写于 2012 年，是读研前专门整理成文的。这些知识点我已经忘了大半，发出来的原因有二：

1. （80%）感叹曾经的我会的可真多；

2. （20%）希望对别人（在考研的朋友们）多多少少有点帮助。

好的，正文开始。

本文以《小总结一下矩阵的对角化》一文为蓝本，重新论述一下考研数学三中矩阵对角化的问题。文中所下的定义以及推导过程只是方便理解，并不严谨，也不适用于本文以外的其他地方。

01

定义对角化

所谓矩阵的对角化，就是矩阵通过变换化为对角矩阵的过程。这里所说的矩阵，其实就仅指方阵。根据变换的类型，对角化可以分为两类：一类是相似对角化，即将矩阵通过相似变换化成一个对角矩阵的过程，即可逆矩阵 P，使 ；一类是合同对角化，即将矩阵通过合同变换化成一个对角矩阵的过程，即可逆矩阵 C，使 。

02

一般矩阵（方阵）的对角化

由于在考研中，“合同”的定义本身是针对实对称矩阵而言的，因此对于一般的矩阵（方阵），不存在合同对角化的问题。也就是说，一般的方阵只能相似对角化。

对于一般方阵的相似对角化，主要有以下三个问题：

1. 所有的方阵都可以对角化吗？什么样的方阵可以相似对角化？
2. 相似对角化后形成的对角阵有什么特点？
3. 如何将一般的矩阵对角化？

先回答第二个问题。

如果一个方阵已经通过相似对角化化成一个对角矩阵，那么，这个方阵和对角矩阵应该具有相同的迹（tr）、秩（r）和特征值（），又因为对角矩阵的特征值就是对角线上的各个数字，因此，方阵的特征值就是对角矩阵对角矩阵对角线上的各个数字，即

性质 1 一个方阵通过相似对角化形成的对角矩阵必为原方阵的各个特征值组成的对角阵。

在这个基础上，将定义中的公式先变为 ，再将可逆矩阵 P 按列分块，可以发现：

性质 2 可逆矩阵 P 必为对应特征向量组成的矩阵。

所谓对应，就是第 i 列特征值的特征向量出现在可逆矩阵 P 的第 i 列。

有了性质 1 和性质 2，我们回头看第一个问题。

对于第一个问题，其关键点在于定义中的可逆矩阵 P。

根据特征值那一章的有关知识，我们知道，不同特征值的特征向量必然线性无关；又根据可逆的知识，我们知道，可逆矩阵 P 的列向量必然线性无关。所以，只要在每个 k 重（k ≥ 2）的特征值中找到 k 个线性无关的特征向量，方阵就可以对角化。具体来看，n 阶方阵能够相似对角化对应着以下几种情况：

1. 具有 n 个不同的特征值；
2. 有 n 个线性无关的特征向量；
3. 线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数；
4. ；
5. 方阵为实对称矩阵。

容易证明，2、3、4 是矩阵可以相似对角化的充要条件，1、5 是矩阵可以相似对角化的充分条件。对于 5，后面提到实对称矩阵的时候还会进一步说明。

最后，如果一个方阵可以相似对角化，对角化的步骤如下：

1. 求出一个方阵所有的特征值；
2. 求出所有特征值对应的特征向量，对于非一重根的特征值，需要找到该特征值的重根数个线性无关的特征向量；
3. 将所有特征向量依次排列组成矩阵，对角阵的元素就是对应的特征值。

03

实对称矩阵的对角化

实对称矩阵存在着合同的问题，因此实对称矩阵对角化既存在相似对角化的可能，也存在合同对角化的可能。

同样，对于实对称矩阵的对角化，也有如下的三个问题：

1. 所有的实对称矩阵都能相似对角化吗？所有的实对称矩阵都能合同对角化吗？
2. 合同对角化得到的对角阵与相似对角化得到的对角阵有什么关系？
3. 如何将实对称矩阵相似对角化？如何将实对称矩阵合同对角化？

第一个问题的答案是肯定的。

实对称矩阵能够相似对角化，是因为实对称矩阵具有一个性质：实对称矩阵每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数（至于这个性质的推导，可以查阅相关资料）。根据之前讨论的内容，知道实对称矩阵可以像一般方阵一样相似对角化；

实对称矩阵能够合同对角化，是因为如果我们把实对称矩阵看成是二次型的矩阵，则二次型一定可以通过配方或坐标变换化为标准型，即实对称矩阵一定能够合同对角化。

第二个问题需要更加仔细的考察。

实对称矩阵和一般的矩阵比起来，不仅可以通过相似得到一个对角阵，还可以通过合同得到另一个对角阵。那么，这两个对角阵一定是同一个对角阵吗？

要想知道这个答案，就要去辨析相似和合同的过程有什么本质的区别。辨析的过程，如果有兴趣的同学可以参考《“合同”与“相似”的概念区别[1]》这篇文章（不是我写的），这里只说结论。相似和合同的过程本质上并不相同，但在某种程度上，相似是一种特殊的合同。在实对称矩阵中，相似的矩阵一定合同，合同的矩阵却不一定相似。

回到我们讨论的问题中来。由于相似和合同的过程本质上并不相同，通过相似对角化得到的对角阵与通过合同对角化得到的对角阵并不必然相等。但是，既然相似可以看成是一种特殊的合同，也就意味着合同中存在着一种特殊的情况，在这种情况下，合同与相似产生了联系。

这种特殊的情况可以从定义中发现端倪。我们再看定义：

相似对角化：可逆矩阵 P，使 

合同对角化：可逆矩阵 C，使 

看到这里，我们不妨大胆猜想，如果 P=C，且 ，那么相似对角化和合同对角化就是一样的。那么满足这样条件的可逆矩阵 C 是什么矩阵呢？正交矩阵！

没错，就是正交矩阵。如果这个可逆矩阵是正交矩阵，那么合同对角化和相似对角化在本质上就是一个。此时用正交矩阵 C 将实对称矩阵对角化，不仅是将其合同对角化，同时还是相似对角化，达到了两种对角化的统一。

最后，我们讨论实对称矩阵对角化的步骤。这里需要先考虑二次型化标准型与矩阵对角化的关系。

每一个二次型对应着一个实对称矩阵。在考研中，二次型化标准型主要是通过坐标变换（或者配方）的方法来实现的。按照定义可以发现，

命题 1 坐标变换化二次型为标准型将实对称矩阵合同对角化

因此，实对称矩阵的合同对角化就可以通过相应二次型的配方或者坐标变换来实现（大多数也是这样实现的）。

在坐标变换中，特殊地存在一种正交变换。此时，相当于用正交矩阵将实对称矩阵合同对角化，也就是既合同又相似对角化。于是有：

命题 2 正交变换化二次型为标准型将实对称矩阵正交相似对角化

以上两个命题也提供了实对称矩阵对角化的方法。

总结来说，

1. 如果要将实对称矩阵相似对角化，则按照一般矩阵的相似对角化方法处理；
2. 如果要将实对称矩阵合同对角化，则利用坐标变换或配方化二次型为标准型；
3. 如果要将实对称矩阵既合同又相似对角化，则要将相似对角化中的可逆矩阵 C 构造成一个正交矩阵。那么这样的正交阵如何求出的呢？由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，因此将实对称矩阵相似对角化后，只需要将重根特征值的特征向量正交化（Schmidt 正交化），再将所有特征向量单位化即可实现。

参考资料

[1]

百度文库:https://wenku.baidu.com/view/4f7c7a82b9d528ea81c7793b