维纳斯和云朵会让你考不上大学吗？其实这完全不是重点 | 袁岚峰
俗话说：学好数理化，走遍天下都不怕。如果你学好的是数学 + 物理 + 化学呢？中国科学技术大学化学物理系，全国唯一的数理化并重的系。从泛函分析到量子力学到物理化学，都是本系的拿手好戏。学渣才做选择，学霸全都要！欢迎大家报考科大化学物理系！
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2019年6月9日，今年的高考结束了。跟往年不同的是，今年的数学卷子相当的出人意料，引发了大量的哀号与惨叫。人生总是充满意外啊！
一些典型的反应，可以见@中华全国学联的微博文章《换汤不换药的高考数学，这次换了个碗》（https://weibo.com/ttarticle/p/show?id=2309404380873830094634），此文的综合来源是《中国青年报》。@中华全国学联是中华全国学生联合会的官方微博，简介是：“高举主流价值观的红旗，竭力传播青春正能量，关注莘莘学子普遍诉求，助力青年学生奋发成才！”好吧，又是全国学联，又是《中国青年报》，看来此文可以当作“传播青春正能量”的官方吐槽！
文中引用了几位网友的留言：
“味精是甜的_天影：考试的时候差点气死，考完赶紧上微博，果然，大家都不会。看来不是我自己的问题（够了）
我想再睡一会啦： 会的都不考 考的都不会全国一卷气死我了！如果我今年没考上大学一定是因为今天下午的数学！
一只放弃减肥的小白鸽 ：这数学是人做的？”
文中还给出了不少截图：
“
除了常规吐槽
今年被cue到最多的
是一朵云和维纳斯
全国卷三· 一朵云
全国卷一· 维纳斯
网传的题目截图
”
现在问题来了：我怎么看今年的高考数学试卷呢？
其实，在2018年的高考前夕，我就做过一期《科技袁人》的视频（高考最大的意外是，那年的数学太简单了！ | 科技袁人），回忆了我的高中生涯和1992年高考的经历。对我来说最吃亏的是，那年的数学卷子是比较容易的。
为什么这算吃亏？因为我所在的高中班叫做“山西省实验中学数学优势班”，顾名思义，整个班就是以数学竞赛为中心组建的。我们班也确实不负众望，有两位同学拿到了全省数学竞赛第一名。
第一名为什么会有两个人？因为在高二和高三的时候，我们班分别有两位同学获得了全省数学竞赛第一名。这两位同学都参加了全国的数学冬令营，分别保送到北京大学数学系和中国科学技术大学近代物理系去了。
此外，我们班还得到了一个全省数学竞赛的第二名，——就是我。但我没有去参加数学冬令营，因为我去参加化学冬令营了，——我同时还获得了全省化学竞赛的第三名，在数学和化学的冬令营之中选择了化学。
总而言之，你可以理解，为什么数学试卷简单对数学优势班来说是吃亏了。数学满分120分，我考了118分，我们班的许多同学都考了接近满分的成绩。这是件不利的事，因为在数学上拉不开差距了。在这个意义上，我们是赢了竞赛，输了高考。人生总是充满意外啊！
经常有人希望考题简单一点，我必须指出，这一看就是学渣的想法。考题应该有足够的难度，这样才能有鉴别力，否则国家怎么能选出合适的人才呢？
我的科大师弟、等离子体物理学博士万维钢是一位著名的社会科学科普作家，笔名“同人于野”。他有一篇有趣的文章《高中是个把人分类的机器》（https://mp.weixin.qq.com/s/gTpTasAZaTbAt43Qzws9Jg），把这个问题讲得很透彻，欢迎大家参考。
谈完了这些大道理，下面我们来做一些具体的分析：2019年的高考数学题，从专业的角度来看怎么样呢？
我们首先来看那道维纳斯的题目，它是全国数学一卷的第4题：
这道题如果说有什么困难，那完全是在理解题意上，而不是在数学计算上。实际上，只要静下心来仔细看，很容易明白这道题问的是什么。
腿长105厘米能够说明什么？人的肚脐在腿的上方，因此腿长总是小于肚脐至足底的长度。而后者可以根据黄金分割确定人的身高，所以根据腿长的数值可以确定身高不小于某个值，即确定身高的下限。
把105厘米的数值代进去，得到身高不小于105 * 1.618 = 169.9 厘米。
再来看，头顶至脖子下端的长度26厘米能够说明什么？人的脖子下端在咽喉的下方，因此头顶至脖子下端的长度总是大于头顶至咽喉的长度。而后者也可以根据黄金分割确定人的身高，所以根据头顶至脖子下端的长度可以确定身高不大于某个值，即确定身高的上限。
确定上下限的道理是很容易想明白的。下面一个稍微有点技术性的问题是：根据头顶至咽喉的长度，如何确定身高？回答是用两次黄金分割。
第一次，得到头顶至肚脐的长度。怎么求呢？黄金分割说的是有三段长度，我们不妨把它们称为“短”、“中”、“长”，短 + 中 = 长，而它们的比例满足
短：中 = 中：长 = (sqrt(5) - 1) / 2 ≈0.618。
黄金分割
现在头顶至咽喉的长度相当于“短”，头顶至肚脐的长度相当于“长”，那么“长”是“短”的多少倍呢？中是短的(sqrt(5) + 1) / 2 ≈ 1.618倍，长等于中加上短，所以长除以短的倍数就是1.618 + 1 = 2.618，即(sqrt(5) + 3) / 2。
从另一个角度来理解，中是短的1.618倍，长是中的1.618倍，所以长是短的1.618的平方倍。求(sqrt(5) + 1) / 2的平方，你会发现它确实等于(sqrt(5) + 3) / 2，这个验算说明我们的推理是正确的。
再用一次黄金分割，根据完全同样的推理，头顶至肚脐的长度相当于“短”，身高相当于“长”。因此，我们又要乘一个2.618，或者说(sqrt(5) + 3) / 2。
现在的问题是，总的要乘的系数即2.618的平方是多少？或者说，1.618的四次方是多少？用分式计算(sqrt(5) + 3) / 2的平方，你会发现它等于
(5 + 9 + 6sqrt(5)) / 4 =(7 + 3sqrt(5)) / 2 = 3 * (sqrt(5) + 1) /2 + 2
≈ 3 * 1.618 + 2 = 6.854。
因此，把26厘米的数值代进去，就得到身高不大于26 * 6.854 = 178.2 厘米。
现在我们知道了，这个人的身高在169.9厘米到178.2厘米之间。四个选项哪个在这个区间里呢？只有175厘米。
这道题最重要的线索，在于问的是其身高“可能”是多少，而不是必然是多少。实际上，根据这个问句，就可以想到做法应该是确定一个上下限的区间。只要你想到这一点，后面的推理就全都是顺理成章的了。而如果你没有想通这一点，那你肯定抓瞎。
再来看那道云朵的题，它是全国数学三卷的第22题：
这道题在我看来，只是有些引人发笑，其实一点都不难。我已经很久没用极坐标了，不记得任何巧妙的做法，但解题思路是直截了当的，直接把极坐标的定义代进去算就是了。
怎么算呢？在原点设置一个直角坐标系，把这三段圆弧上的每一点用直角坐标(x, y)表示出来。表示的时候要用到一个角度，就是这个点到圆心的连线与x轴的夹角，我们可以把它称为α。也就是说，x和y各自都是α的函数，这构成一组参数方程。
例如对于第一段圆弧，因为它的半径为1，圆心的直角坐标是(1, 0)，你很容易就会发现这段圆弧的参数方程是
x = 1 + cosα，
y = sinα，
其中α的取值范围是从0到π/2。
然后，为了表示成极坐标，我们需要长度ρ和角度θ之间的关系。这里的ρ就是(x, y)这一点到原点的距离，即
这里的θ是(x, y)这一点到原点的连线与x轴的夹角。乍看起来求出θ似乎有点麻烦，但仔细一看，由于圆弧的半径等于1，原点到圆心的距离刚好也是1，根据几何关系，你立刻可以知道：
α = 2θ。
把这个关键的观察代进去，做一些三角函数的运算，你就得到：
ρ = 2 cosθ。
这就是第一段圆弧的极坐标方程，其中θ的取值范围是从0到π/4。
用同样的做法，你很快可以得到第二段和第三段圆弧的极坐标方程分别是
ρ = 2 sinθ
和
ρ = -2 cosθ，
其中θ的取值范围分别是从π/4到3π/4和从3π/4到π。
再来看第二问，什么时候|OP| = sqrt(3)？也就是问，什么时候ρ = sqrt(3)？这三段圆弧的ρ最大都可以取到2，所以在这三段圆弧上都可以找到ρ = sqrt(3)的点。
根据上面的极坐标方程，很快可以发现这些点对应的θ分别是：
第一段的π/6，第二段的π/3和2π/3，以及第三段的5π/6。
实际上，你甚至都可以用尺子在试卷的图上比划比划，大致可以看出这个答案是正确的。这可以作为一种验算的手段！
因此，维纳斯和云朵的这两道题在本质上并不困难，夸张一点的话简直可以说是“送分题”。不过，这并不意味着今年的高考数学题对我来说毫无难度。全国数学一卷的第21题，一道关于药物测试的概率题，就给我造成了不少困惑：
这道题的文字之长，在数学题中是令人吃惊的，简直像是一道语文的阅读理解题。长倒也罢了，真正的麻烦是难懂。大多数人看了一遍题目之后，恐怕都不明白这道题在说什么，更不用说求解了。
我看完这道题之后，首先想问的是：第一问中的“分布列”是啥？这个词在高中课本中出现过吗？
阿帅告诉我，高中课本中确实有这个词，指的是X取各种可能取值的概率分布，他们在高中时经常做这种题。好吧，这个概率分布倒是很容易确定。而且仔细想想，这里问的也只可能是这个意思。
X取各种可能取值的概率分布是什么呢？
X的取值只有三种：1，-1，和0。
X取1的条件是：施以甲药的白鼠治愈了，这个概率已知是α，而施以乙药的白鼠没有治愈，这个概率是1 - β。因此，X取1的概率是这两个概率相乘，即α (1 - β)。
同理，X取-1的概率是β (1 - α)。
X取0的情况有两种：两只白鼠都治愈了，这个概率是αβ，或者都没有治愈，这个概率是(1 - α) (1 - β)。因此，X取0的概率是这两个概率相加，即αβ + (1 - α) (1 - β)。
X取1、-1和0的这三个概率相加应该等于1，因为X只有这三个取值。验算一下，确实如此，可见我们做的是对的。
仔细看一下第二问，你会发现X取-1、0和1的这三个概率，就是第二问中的三个系数a、b和c。第二问中假设α = 0.5，β = 0.8，把这两个数值代进去，就得到
a = 0.5 * 0.8 = 0.4，
c = 0.5 * 0.2 = 0.1，
b = 1 - a - c = 0.5。
现在真正令人困惑的来了。什么叫做“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率？也就是说，
我一开始把这句话理解为：在某个甲药的累计得分为i的时刻，试验结束，结论是甲药更有效，这种情况出现的概率就是
我一时想不明白这个问题。但这道题的奇妙之处在于，即使你搞不清
我大致能够感觉到，这个递推公式并不是外加的，而是根据规则完全能够推出来的。但如果我在考场上，八成是顾不上仔细去想怎么推出这个公式的。
无论如何，第二问的第一题既然要我们证明
把上面的递推公式变形一下，把右边的
现在重点来了。前面我们证明了，X取-1、0和1的三个概率之和为1，也就是a + b + c = 1。因此左边pi的系数是1 - b - c = a，刚好跟
由此我们得到：
把这个式子再变形一下，就得到：
这正是等比数列的定义。
这样，我们就证明了第二问中的第一个问题。
再具体一点，这个等比数列的公比是多少？我们前面已经求出a = 0.4，c = 0.1，所以如果用q来表示公比的话，q = a / c = 4。
再来看第二个问题。如何求出
我们现在不知道从
如何利用这两个信息呢？注意到
而同时根据等比数列的性质，又得到
根据同样的思路，把这个连加扩展下去，就得到
现在请问，
由此得到
其实我们能够算出4的8次方等于65536，这是一个在计算机科学中经常见到的数字。但我们并不急于把这个数代进去，因为我们现在要求的并不是
好，知道了
方法是一目了然的。同样是做这个连加，不过这次只从i = 0加到i = 3：
如果把
而x到底等于多少呢？4的4次方等于256，这是一个在计算机科学里更加常见的数字。因此我们得到了数值结果：
妙啊！最妙的是，我们居然是在还没搞清楚
当然我们可以含含糊糊地答一句：“
经过我和陈经等朋友们的讨论，终于搞明白了，
现在我们能够理解，为什么
同样的道理，为什么
那么，
这个结论是合理的，因为在单次试验中，甲药治愈白鼠的概率是0.5，而乙药治愈白鼠的概率是0.8，所以你应该有超过一半的机会得到乙药更好的结论。在单次试验中，甲乙之间的机会比例看起来相差不是很大，而在最终结论中，甲乙之间的机会比例就悬殊到了1 / 256，这是因为最终获胜需要积累多治愈白鼠达到4只。
出于运气，在单次试验中甲药胜过乙药是很有可能的，但连续这样走运4次的概率就低得多了。好比一个围棋低手偶尔战胜一次高手是很有可能的，但连续4次战胜高手的概率就很低了，——除非高手在故意放水。
事实上，从这个论述中就可以理解，为什么得到一个等比数列。在单次试验能够决出胜负的情况中，甲药与乙药的胜率之比是c / a = 1 / 4。而在做4次试验，有一方以4：0获胜的情况中，甲药与乙药的胜率之比就是这个数的4次方，即
顺便说一句，我们怎么知道在试验刚开始的时候，乙药胜出的概率是256 / 257？刚才我们是用1减去甲药胜出的概率1 / 257，得到256 / 257。但事实上，我们也可以独立检验这个结论。
请注意，在前面的推导中，甲药和乙药的地位完全是对等的。只要我们把两者的治愈率α和β对换一下，那些对甲药的等式就适用于乙药。这时在递推公式的三个系数中，b不变，a和c对换，所以等比数列的公比q变成倒数，即从4变成1/4。
按照同样的计算过程，就得到乙药的
跟前面得到的一样。这是一个很好的验算，既说明我们算的是对的，也说明这种试验方案并没有厚此薄彼，在甲药和乙药之间保持了先验的平衡。
由此可见，这种试验方案的基本思想是：并不天然地偏向某种药，但如果一种药比另一种药有优势，即使只强一点点，通过多次试验的积累，也能把这种优势放大显示出来。当然，如果两种药的疗效十分接近，你就需要经过很多轮的试验才能得到结果，所以试验的轮数也是一个对两种药之间差距的表征。
到这里，我们已经完全解答了这道题目。但如果我们对事物的原理有兴趣，我们就会问：那个递推公式是怎么来的？这不在考试的范围内，但这个问题本身是有价值的。
事实上，如果你想清楚了
正如我前面说的直觉，这个递推公式并不是外加的，而是根据规则完全能够推出来的。在这个意义上，可以认为这个公式是一个冗余信息，好比在一道关于三角形的题目中告诉你三角形的内角和等于180度。
这就引出了一个有趣的问题：题目中为什么要写上这个公式？
显然，这是因为这道题太难了，而且叙述得太不清楚了。如果不写出递推公式，绝大多数考生不会想到它，而且很可能绝大多数考生完全看不懂pi是什么意思。
作为选拔性考试的题目，固然要足够难才有鉴别度，但如果让绝大多数考生得不了分，那也不好，也是降低了鉴别度。因此，我完全可以理解命题老师的纠结，他最后决定写上这个公式，其实相当于一个提示。
在这里，我有一个建议。既然是一个提示，最好就明确地写上：
这样大家就不会有任何误解了，也避免了许多胡思乱想。如果是数学竞赛题，我相信会这样把提示明确地写出来的，不会把提示跟必不可少的信息掺和在一起。
我的科大师弟、云南大学物理系研究员陈清博士很喜欢概率论，他的第一篇论文就是关于量子博弈的。他研究了这道题以后表示，如果不用试卷上的递推公式，理论上可以根据一些组合关系直接写出
陈清认为，这道题比大学教科书里的标准的伯努利试验、二项分布、几何分布、帕斯卡分布都要麻烦，算是有一定难度的了。如果给大学本科生的概率论做考题，在不告诉递推公式的前提下，恐怕做得出来的也是寥寥无几。递推公式是核心，大大降低了难度，使得不懂的人也可以往下做。
好，我们分析完了这三道高考数学题目。该如何评价它们呢？
基本上，我觉得这些题代表了一种趋势：跳出套路，需要准确的阅读理解和清晰的逻辑思维。
就大方向而言，这是很好的。从更宏大的视角来看，可以认为中美竞争使大家认识到，硬的科技才是国之根本，而不是公说公有理婆说婆有理的所谓素质。因此加强理科基础，重视数学建模和解决实际问题的能力，是好的改变。
不过就细节而言，那道药物试验的题可能有一个严重的缺点：题目的文字叙述太容易误解。
让我们再看一遍题目中的说法：
我在第一次看到的时候都被绕糊涂了，跟朋友们讨论了一番才明白，那么考生一个人在场上会是什么感觉呢？有多少人能看明白这个叙述？我十分怀疑有没有1%。
因此，我们能看到出题人努力地增加提示，希望让更多的人得分。但如前所述，这个提示也写得不够清楚。这道题的含糊不清，是应该批评的，希望以后的出题有所改进。我们希望考生提高阅读理解的能力和活学活用的能力，但前提是我们应该给他们提供适于阅读理解的文本。
顺便说一句，许多人传说今年的数学试卷是葛军出的，然后又有许多人变着花样骂他。也有人指出，葛军早就不参与出题了。其实在我看来，这种舆论狂欢毫无意义，因为你能上什么学校，归根结底是取决于你相对于其他考生的排名，而不是你考了多少分。就算你不及格，如果其他人分数更低，那你还是高的。这不是玩笑，历史上就出现过这样的情况，例如1984年高考的数学平均分不到30分。
因此，学霸对试卷的难易是十分淡定的，而且如果试卷难他们会更加高兴。看到试卷难就痛哭流涕，编各种段子，甚至咒骂出题老师，这些都是典型的非理性思维。怎么个非理性法呢？就像“朝三暮四”那个故事里的猴子一样，看不清事物的本质，同样的本质换个形式就炸了。希望大家提升自己的思维层次，超越朝三暮四的猴子！
朝三暮四
最后，跟大家说一件事：在今年高考的时候，共青团中央来找我为考生推荐专业，推荐词由中华全国学联发布。是的，就是我们在开头提到的“传播青春正能量”的中华全国学联。你猜，我推荐了什么专业呢？
当然是我本科读的专业，科大化学物理系的物理化学专业。没错，全国只有一个系叫这么一个名字，而这个系也只有这么一个专业。
我的推荐词如下：
俗话说：学好数理化，走遍天下都不怕。一般理解这话说的是学好数学，或者物理，或者化学。但是，如果你学好的是数学 + 物理 + 化学呢？中国科学技术大学化学物理系，全国唯一的数理化并重的系。从泛函分析到量子力学到物理化学，都是本系的拿手好戏。郭永怀担任第一任系主任，培养的人才在许多方向取得了杰出成就，从火箭燃料到芯片设备。学渣才做选择，学霸全都要！欢迎大家报考科大化学物理系
郭永怀
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背景简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，中国无神论学会理事，安徽省科学技术协会常务委员，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。
责任编辑：项启瑞