辛普森悖论：相信直觉不如懂得数学 | 科技袁人

导言：

辛普森悖论并不是个悖论，它只是个现象而已。这个现象是违反直觉的，但这只是因为你最初的那个直觉本来就不严格，没有任何数学的证明。

■ 视频链接：https://www.ixigua.com/7125310361091506695本视频发布于2022年7月29日，观看量已达6.6w

■ 精彩呈现：

经常有人问一个问题：数学有什么用？
当然，这个问题一般是学渣问的……
学霸们对于这么low的问题，往往发挥各种冷嘲热讽，暴击造成一万点的伤害。不过今天我们不打算冷嘲热讽，而是来讲一个非常硬的、超越常识的数学知识，听了你就明白它在日常生活也经常出现。放心好了，这个数学知识一点都不复杂，即使是学渣也肯定能听懂的。（慈祥的微笑）
这个数学知识，叫做“辛普森悖论”，英文叫Simpson's paradox。这个悖论，是英国数学家Edward H. Simpson在1951年提出的。其实在这之前也有其他的数学家提出类似的现象，不过真正引起公众注意的还是Simpson，所以我们就把它叫做辛普森悖论好了。
这位Simpson老先生的生卒年，是1922年生……但是没有卒年！因为他还活着呢，今年已经96岁了！2017年，也就是95岁的时候，他还为一本专业书写了两章的内容！（注：本文稿发表于2018年4月27日为什么我们说不要轻易和数学家吵架之辛普森悖论 | 科技袁人，辛普森先生已于2019年去世，因此视频中的相关内容进行了变动）真是应了那首歌，“革命人永远是年轻”……
言归正传。辛普森悖论说的是什么呢？它说的是这样一个统计学的现象：有时候，两组数据各自都满足某种性质，可是当你把这两组数据合并起来考虑时，却会得到相反的结论。
这话是什么意思？听起来很难以理解，对吧？正是因为难以理解，所以才叫做“悖论”嘛。看下面这个具体的例子，你就能获得一些感觉了。
有甲乙两个运动员，各打了100场比赛。他们的对手分为两类：高手和低手。
甲跟高手打了80场，胜了8场。乙跟高手打了20场，只胜了1场。那么跟高手打的胜率，甲是10%，乙是5%，甲的胜率比乙高。

再来看跟低手的比赛。甲跟低手打了20场，全胜。乙跟低手打了80场，胜了40场。那么跟低手打的胜率，甲是100%，乙是50%，甲的胜率还是比乙高。
好，无论跟高手还是低手打，甲的胜率都比乙高。那么如果统计总的胜率，甲肯定也比乙高，对不对？
在直觉上，你会认为，那绝对是当然的！（国产动漫《魁拔》里蛮吉的口头禅）
但是，不要忙着下结论哦，算了以后才能确定。
同样都是打了100场，甲对高手胜了8场，对低手胜了20场，总共胜了28场，总胜率是28%。而乙对高手胜了1场，对低手胜了40场，总共胜了41场，总胜率是41%。

你看，论总胜率，情况就反过来了，乙就比甲高了！
你的直觉是不是碎了一地？
实际上，这种情况在篮球运动员的技术统计中就不时地出现，例如某人投二分球和三分球的命中率都高于另一个人，总的投篮命中率却低于他。为什么会这样呢？显然是因为前边那个人太喜欢投三分球了嘛。库里同学发来贺电！                            姚明

我们再来看一个医学中的真实例子。对于肾结石，有两种疗法。肾结石的症状，有大结石和小结石两种程度。两种疗法和两种症状总有四种组合，医学家们对于这四种组合做了四组实验，得到下面这个表里的结果。

每一个格子里的比例，是治疗的成功率。后面的两个数字，是成功的病例数和这一组总的病例数。
现在的诡异之处是：无论对于小结石还是对于大结石，第一种疗法的成功率都高于第二种疗法。但是，当你统计总的成功率时，第一种疗法却低于第二种疗法！
我们再来看一个假想的例子。有A和B两个编辑，他们的工作是改进稿子。第一个星期，A只收到1篇稿子，但没有改进成功。B收到4篇稿子，改进了1篇。第二个星期，A收到4篇稿子，改进了其中3篇。B只收到1篇稿子，改进成功了。我们同样可以画一个表如下：
现在的诡异之处是：第一周和第二周，A的成功率都低于B，但是总的成功率，A却高于B。
以上都是数字的例子。如果你还是云里雾里的话，我们还可以举一个形象一点的例子。看下面这个关于矢量的图：
辛普森悖论

这里有两组矢量，褐色的L₁、L₂和蓝色的B₁、B₂。在同样下标的矢量相比时，L₁在B₁的右边，L₂也在B₂的右边。可是当你把同颜色的矢量加起来的时候，L₁ + L₂却在B₁+ B₂的左边。
为什么会这样呢？这是因为L₁比B₁短得多，而L₂比B₂长得多。在L₁ + L₂中，主要的贡献来自第二组的矢量L₂。而在B₁ + B₂中，主要的贡献却来自第一组的矢量B₁。
总而言之，辛普森悖论告诉你的是，你的直觉有可能是错的。如果有两组数据，A在这两组数据中的成功率都高于B，那么总的成功率却可能会反过来，成了B高于A。
现在我们可以明白，辛普森悖论并不是个悖论，它只是个现象而已。这个现象是违反直觉的，但这只是因为你最初的那个直觉本来就不严格，没有任何数学的证明。这个直觉只是经常成立，而不是必然成立，如果数据特别一点，就不成立了。所以一个有趣的问题反而是：你最初怎么会产生那个错误的直觉的？！
我知道，这样的解释还不足以令你心安。因为你还是会感到迷惑：这让我怎么决策啊！我究竟该看分组的数据呢，还是该看总和的数据？
比如说，在我们的第一个例子，两个运动员跟高手和低手比赛的例子中，如果你是教练，你会挑选谁进入你的运动队呢？
在第二个例子，肾结石的两种疗法的例子中，如果有人得了肾结石，你会向他推荐哪种疗法呢？
在第三个例子，两个编辑的例子中，如果你是主编，你觉得哪个编辑的能力更强呢？
决策时究竟该看分组的数据，还是总和的数据，这是一个更高层次的问题了，比辛普森悖论本身更加难以理解一些。在这里只能说结论：有时该看分组的数据，有时该看总和的数据，视问题本身的因果关系而定。
我们可以把这三个例子作为思考题，请同学们课下去想想，究竟该用分组的数据，还是总和的数据。欢迎踊跃留言哦~
最后，我们可以得到一个广泛的哲学性的教益：日常语言是很模糊的，而数学语言就很精确。如果你跟别人辩论一个问题，谁都说服不了谁，请想想看是不是因为你们指的不是同一个东西，再想想看能不能用数学语言把你们想说的清楚地表达出来。
这就回到了我们最初的问题：数学有什么用？
无论是学渣还是学霸，现在同学们是不是都对这个问题理解得大有深化了呢？

■ 扩展阅读：

■ 作者简介：本文作者袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，中国科学技术大学科技传播系副主任，中国科学院科学传播研究中心副主任，科技与战略风云学会会长，“科技袁人”节目主讲人，安徽省科学技术协会常务委员，中国青少年新媒体协会常务理事，中国科普作家协会理事，入选“典赞·2018科普中国”十大科学传播人物，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。

■ 责任编辑：羊羊

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