把量子纠缠与贝尔不等式讲明白 | 戴瑾

导言：

本文将用一个简化版本的贝尔不等式，让您理解它的证明和意义，顺便理清楚它和量子纠缠的关系。

今年的诺贝尔物理奖授予了三位从事量子纠缠实验的物理学家，“因为他们进行了纠缠光子的时延，确立了对贝尔不等式的不成立并开创了量子信息科学”。

这让量子纠缠这个热门词再次进入公众视野，同时还让大家看到一个新词汇：贝尔不等式。

量子纠缠是量子力学中最容易让人糊涂的概念，相关的科普文章很多，有些可能让你越读越糊涂。贝尔不等式就非常专业了，还没有见到科普文章试图把它解释清楚。

本文将用一个简化版本的贝尔不等式，让您理解它的证明和意义，顺便理清楚它和量子纠缠的关系。这不可能避免地涉及到一些数学推导，但任何一个把概率论学明白的高中生以及更高学历的人都可以看懂。不过，您需要读得慢一点儿，仔细看。

什么是量子纠缠

量子纠缠并不是一个复杂的现象。比如一个粒子，它在某一个方向上的角动量（自旋）只能有两种可能性，让我们用向上、向下的两个箭头来表示；有时候一个双粒子的系统会处在下面这样一个状态（中间那个加号也可能是减号）：

【1】

我们暂时抛开前面的系数和符号，看两个尖括号里面的内容。它是说这个系统有两个可能性：第一个粒子向上、第二个向下（第一个尖括号），或者第一个粒子向下、第二个向上（第二个尖括号）。这时候，这两个粒子就处于一个纠缠的状态。所谓纠缠，就是两个粒子有了相关性；就是说我们完成了对一个粒子状态的测量，就能够对第二个粒子的测量结果做出一定的预测。如果两个粒子没有纠缠，它们的测量结果是彼此独立，完全没有关联的。

解释量子纠缠，其实用不着自旋这种很特殊的量子现象。如果一个静止的粒子，分裂炸开成两个粒子；其中一个向东边飞去，我们的东边的探测器抓住了它；因为动量守恒，我们就知道另外一个粒子向西边飞去了。这一东一西两个粒子就处在量子纠缠态。

纠缠着的两个粒子，即使二者分开了很远的距离，仍然摆脱不了这种纠缠。除非对一个粒子的状态进行测定。

这好像一点儿也不神秘嘛？有人说，把一付手套，分别装到两个箱子里，其中一个箱子交给宇航员带到月球上；宇航员打开了箱子，发现是一只左手的手套；他马上知道，留在地面上的，是一只右手的手套。这难道和量子纠缠有什么不一样吗？

把量子力学的状态叠加和测量的概率解释搬进来，就不一样了。对于公式【1】，量子力学的解释是，这个系统处在第一个尖括号和第二个尖括号两个状态的叠加中，所以两个状态要乘以一个系数根号2分之1。在进行测量后，这个状态才坍缩成其中一个，每一种可能性的概率是这个系数的平方，也即是50%。

用手套这个例子来比喻，量子纠缠和经典相关性差别在于：经典力学认为，在没打开箱子前，手套是左手的还是右手的，已经确定了，打开它不过是发现了一件已经确定的事情；而量子力学认为，没打开箱子前，手套处在左手右手的叠加态，宇航员打开了箱子，才确定了手套的状态；所以，就在开箱这一瞬间，远在地球上的手套状态坍缩了，也同时被确定了！这个箱子起到的作用，和装着薛定谔的猫的箱子一样。这两个薛定谔箱子的长程量子纠缠，变成了一件更难理解的事情。

爱因斯坦是首先用量子纠缠来质疑量子力学的测量理论的。大家都知道，老爱不相信上帝会掷色子，不相信基本物理学理论只能给出一个概率。1935年他和另一位物理学家发表论文质疑量子纠缠，他们最先用的例子不是自旋，而是上面提到的简单的粒子一分为二的场景。

有很多科普文章都说量子纠缠超光速。再说一遍，量子纠缠不违反相对论。相对论说的是物质、能量和信息的传播速度不能超过光速。这两个薛定谔的箱子之间，并没有物质、能量和信息的传输（没有物质能量的传输很显然，没有信息传输您多想想也许会明白），没有东西在传输，何谈超光速？

爱因斯坦当然清楚量子纠缠不违反相对论，但仍然觉得它在冥冥之中不合理。爱因斯坦提出了局域实体性（Local Realism）的概念，并把量子纠缠称作“超距鬼魅作用”（spooky action at a distance）。局域实体性指：

1.对一个粒子/系统/物体的测量结果，是对它内在属性的反映（实体性），跟测量过程无关。

2.粒子/系统/物体的内在属性，是不能由外界在远距离凭空改变的（局域性），只能通过以有限速度传播过去的相互作用改变。

这两条假定看似很合理，但量子纠缠显然违反了它。爱因斯坦坚持认为，当两个粒子分开的时候，它们各自的动量、自旋等物理量就已经确定了，就像装进普通箱子里的手套一样。只不过粒子里还有几个现有理论不了解我们无法控制的变量，所以我们现在只能对它们的概率做预测。我们的测量，不过是发现已经确定的东西，就像打开普通的箱子看手套。这就是所谓隐性变量理论。

贝尔定理

量子力学不断取得辉煌战果。对于隐性变量假说，虽然并没有人能构建具体的理论，但也一直无法证伪。对局域实体性的讨论，也只能停留在哲学层面。

直到近30年后的1964年，英国物理学家贝尔（John Stewart Bell）提出了一个定理。贝尔证明了，如果隐性变量存在，对于两个相互关联的粒子的进行不同的测量，得到的相关系数必须满足一些约束条件，无论这些隐性变量的具体形式是什么样子的。而量子力学中的纠缠态，可以不满足这样的约束条件，比如[1]中的这个纠缠态，就违反了这个条件。

贝尔定理让局域实体性不再停留为一个哲学命题，而是一个可以通过实验检验的科学问题。

在量子力学的所有特性中，自旋和自旋的量子化，是用经典世界观最难理解的。如果在某个方向上，电子的角动量分量是一个纯1/2的状态，换一个夹角的方向去测量，不是你按三角函数计算的投影，而是1/2和-1/2两个状态的叠加。你如果相信实体性假设，相信角动量和它的测量是彼此独立的，这样的特性很难理解。贝尔定理，就是从自旋着手的。

如下图2所示，对于两个有着纠缠的有自旋的粒子，分别用探测器A和B检测它们的自旋分量。探测器A检测自旋在a轴上的分量，探测器B检测自旋在b轴上的分量。

图2 对于两个纠缠的粒子自旋的测量

对于处在【1】那样状态的两个粒子，如果探测器A和B的方向是一致的（都是b），两个探测器得到的结果，一定是反向。当A和B的方向不一样时（各是a和b），测量到的自旋不会全部都是相反的，有一部分可能都是正的或者都是负的，用p(a,b)来表示这部分两个粒子方向相同的交叉概率。注意p(b,b)=0，因为两个测量轴一致，两个粒子的方向不可能相同。 

贝尔定理讨论的场景，比图2稍微复杂一些。假设有三个不同的测量方向a、b、c，探测器A可以选择a或b两个方向，探测器B可以选择b或c两个方向。那么除了A、B都选择b方向，还有三种不同的可能性。原贝尔定理（也叫贝尔不等式）是用三种不同情况的相关系数叙述的，在这种简化情况下，我们用交叉概率来表示更简洁：

贝尔不等式[5]

也就是说，如果a和b方向的测量中有1%的相同符号，b和c也有1%的相同，那么a和c之间最多只能有2%的相同。这看上去像是正确，让我们给一个比较容易理解的证明，如下图3所示。

图3 贝尔定理的证明

如果探测器A和B都选择在b轴上测量角动量分量，那么一定有一半的事件A得到向上的结果，B得到向下，另一半反过来。我们选择前一半的事件进行分析，对后一半事件的分析是一样的。

假想把这些事件重演一遍，A探测器的方向改到a方向，B仍然在b方向。这时，B探测器仍然会全部得到向下，A得到到向上和向下概率分别是1-p(a,b)和p(a,b)。如果A仍然在b方向，B改在c方向，那么B得到上和下的概率分别是p(b,c)和1-p(b,c)。我们把每一个方向上得到两个结果的概率都标在了图3上。

理所当然，A去选择a或者b方向测量，不会对B的测量造成影响，无论它怎样选择方向。那么A选择a和B选择c得到相同方向的概率是：

最后一个不等式显而易见，因为所有的概率都是正的。

在证明贝尔不等式[5]的过程中，我们完全没有涉及到隐性变量和它们的具体形式。只是用了两个暗含的假设：

1.对于一个事件，我们可以重新来一遍，换一个方向测量角动量。测量过程和粒子的内在属性是相互独立的两回事（实体性）。

2.一个探测器选择不同的方向去测量，不会影响到另一个探测器的结果（局域性）。

对大多数人，这两条假设太自然了。甚至可能意识不到自己做了这样的假设。

量子纠缠对贝尔不等式的破坏

那么，量子力学满足贝尔不等式的限制吗？答案是否定的。状态【1】就是个简单的例子。

如果a轴是b转动一个角度、c是b向相反方向转动同一个角度，a和c之间的夹角就是两倍这个角度，那么量子力学的计算结果是：

随便找个角度拿计算器算一下，你就会发现，上面的两个公式给出的结果和贝尔不等式【5】的预言是相反的。数学好的读者可以很容易地对一般的角度去证明。在是45度角时，量子力学对贝尔定理的违反最强烈。

在局域实体性的假设下，贝尔不等式是能够证明的定理。从量子力学的角度看，以上贝尔定理的推导，错在哪里呢？第一条实体性的假设就错了！量子力学的测量和粒子属性不是互相独立的。你不可以说，用在这两个方向上的探测器得到了一个事件，换一个方向再去测量。换了方向，就是不同的事件。

对量子纠缠实验检测

对于这次诺贝尔奖，很多报道的标题都是”证明爱因斯坦错了“，虽然是标题党，这样说不算错。

贝尔定理的发现，推动了一系列物理实验，去检验量子力学和局域实体性，到底哪一个是正确的。大部分实验，都是用光子做的。

和自旋1/2的电子一样，光子也有两个基本的自旋状态；所有光子的自旋状态，都可以用这两个基本状态去组合。这两个基本状态可以是左圆偏振和右圆偏振，也可以是垂直线偏振和水平线偏振。贝尔定理，也完全适用于纠缠/关联着的光子。

线偏振的测量比较方便，你的墨镜，就有可能对线偏振光进行有选择的反射。有一种叫偏振分光镜的设备，会反射一个方向偏振的光，而让偏振方向与之垂直的光透过去。把计数器摆在偏振分光镜的两侧，就可以统计两种不同偏振的光子数量。

从上世纪70年代到90年代，量子光学的先驱们包括阿斯佩克特（Alain Aspect）、克劳瑟（John Clauser）和泽林格（Anton Zeilinger）发展了单光子探测和纠缠光子制备技术，用很高的精度验证了量子纠缠现象，否定了贝尔不等式。在这个过程中创建了量子信息这个新学科。

三位物理学家共享了今年的诺贝尔物理奖。

泽林格有一个学生叫潘建伟。量子信息在中国得到了进一步的发展。

更详细的解释请阅读《从零开始读懂量子力学》

■ 扩展阅读：

■ 背景简介：文章作者戴瑾博士，北京超弦存储器研究院存储架构首席科学家。拥有70多项发明专利。著有科普读物《从零开始读懂量子力学》，北京大学出版社出版。本文于2022年10月5日发表于微信公众号 物理博士看天下（把量子纠缠与贝尔不等式讲明白），风云之声获授权转载。

■ 责任编辑：KK.

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