贝叶斯原理及其推断简介

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来源：阮一峰

ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_one.html

一、什么是贝叶斯推断

贝叶斯推断是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。

它是贝叶斯定理的应用。英国数学家托马斯贝叶斯在1793年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断的修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。

贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有在计算机诞生之后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。

二、贝叶斯定理

要理解贝叶斯推断，必须先了解贝叶斯定理。后者实际上就是计算”条件概率“的公式。

所谓”条件概率“，就是指在时间B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

根据文氏图，可以很清楚的看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(AB)除以P(B)。

因此，

所以，

即

这就是条件概率的计算公式。

三、全概率公式

由于后面要用到，所以除了条件概率值之外，这里还要推导全概率公式。
假定样本空间S，是两个事件A和A'的和。

上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下，事件B可以划分为两个部分。

即

在上一节的推导当中，我们已知

所以，

这就是全概率公式。它的含义是：如果A和A‘构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：

四、贝叶斯推断的含义

对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：

我们把P(A)称为”先验概率“，即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为”后验概率“，即在事件B发生之后，我们队A事件的重新评估。P(B|A)/P(B)称为”可能性函数“，这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

所以，条件概率可以理解为下面的式子：

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个”先验概率“，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是消弱了”先验概率“，由此得到更接近事实的”后验概率“。

在这里，如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)>1，意味着”先验概率“增强，事件A的发生的可能性变大；如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)=1，意味着B事件无助于事件A的可能性；如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)<1，意味着”先验概率“被消弱，事件A发生的可能性变小。
    
五、【例子】水果糖问题 

为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看下面两个例子。

两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，再取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率叫做”先验概率“，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。

再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多少？即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做”后验概率“，即在事件E发生之后，对P(H1)的修正。

根据条件概率公式，得到：

已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式：

所以，将数字代入原方程，得到

这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。

六、【例子】假阳性问题

第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系密切。

已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。
根据条件概率公式，

用全概率公式改写分母：

将数字代入，

我们得到一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率：也只从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的“假阳性”，即阳性结果完全不足以说明病人得病。

为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高和发病率低有关。

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