堆和堆的应用：堆排序和优先队列

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堆和堆的应用：堆排序和优先队列

算法爱好者 2021-01-30

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来源： Spground
spground.github.io/2017/07/07/堆和堆的应用：堆排序和优先队列/

1.堆

堆(Heap))是一种重要的数据结构，是实现优先队列(Priority Queues)首选的数据结构。由于堆有很多种变体，包括二项式堆、斐波那契堆等，但是这里只考虑最常见的就是二叉堆（以下简称堆）。

堆是一棵满足一定性质的二叉树，具体的讲堆具有如下性质：父节点的键值总是不大于它的孩子节点的键值（小顶堆）, 堆可以分为小顶堆和大顶堆，这里以小顶堆为例，其主要包含的操作有：

insert()
extractMin
peek(findMin)
delete(i)

由于堆是一棵形态规则的二叉树，因此堆的父节点和孩子节点存在如下关系：

设父节点的编号为 i, 则其左孩子节点的编号为2*i+1, 右孩子节点的编号为2*i+2
设孩子节点的编号为i, 则其父节点的编号为(i-1)/2

由于二叉树良好的形态已经包含了父节点和孩子节点的关系信息，因此就可以不使用链表而简单的使用数组来存储堆。

要实现堆的基本操作，涉及到的两个关键的函数

siftUp(i, x) ：将位置i的元素x向上调整，以满足堆得性质，常常是用于insert后，用于调整堆；
siftDown(i, x)：同理，常常是用于delete(i)后，用于调整堆；

具体的操作如下：

private void siftUp(int i) {
int key = nums[i];
for (; i > 0;) {
int p = (i - 1) >>> 1;
if (nums[p] <= key)
break;
nums[i] = nums[p];
i = p;
}
nums[i] = key;
}

private void siftDown(int i) {
int key = nums[i];
for (;i < nums.length / 2;) {
int child = (i << 1) + 1;
if (child + 1 < nums.length && nums[child] > nums[child+1])
child++;
if (key <= nums[child])
break;
nums[i] = nums[child];
i = child;
}
nums[i] = key;
}

可以看到siftUp和siftDown不停的在父节点和子节点之间比较、交换；在不超过logn的时间复杂度就可以完成一次操作。

有了这两个基本的函数，就可以实现上述提及的堆的基本操作。

首先是如何建堆，实现建堆操作有两个思路:

一个是不断地insert（insert后调用的是siftUp）
另一个将原始数组当成一个需要调整的堆，然后自底向上地
在每个位置i调用siftDown(i)，完成后我们就可以得到一个满足堆性质的堆。这里考虑后一种思路：

通常堆的insert操作是将元素插入到堆尾，由于新元素的插入可能违反堆的性质，因此需要调用siftUp操作自底向上调整堆；堆移除堆顶元素操作是将堆顶元素删除，然后将堆最后一个元素放置在堆顶，接着执行siftDown操作，同理替换堆顶元素也是相同的操作。

建堆

// 建立小顶堆
private void buildMinHeap(int[] nums) {
int size = nums.length;
for (int j = size / 2 - 1; j >= 0; j--)
siftDown(nums, j, size);
}

那么建堆操作的时间复杂度是多少呢？答案是O(n)。虽然siftDown的操作时间是logn，但是由于高度在递减的同时，每一层的节点数量也在成倍减少，最后通过数列错位相减可以得到时间复杂度是O(n)。

extractMin
由于堆的固有性质，堆的根便是最小的元素，因此peek操作就是返回根nums[0]元素即可；
若要将nums[0]删除，可以将末尾的元素nums[n-1]覆盖nums[0],然后将堆得size = size-1，调用siftDown(0)调整堆。时间复杂度为logn。

peek
同上

delete(i)

删除堆中位置为i的节点，涉及到两个函数siftUp和siftDown，时间复杂度为logn,具体步骤是，

将元素last覆盖元素i，然后siftDown
检查是否需要siftUp

注意到堆的删除操作，如果是删除堆的根节点，则不用考虑执行siftUp的操作；若删除的是堆的非根节点，则要视情况决定是siftDown还是siftUp操作，两个操作是互斥的。

public int delete(int i) {
int key = nums[i];
//将last元素移动过来，先siftDown; 再视情况考虑是否siftUp
int last = nums[i] = nums[size-1];
size--;
siftDown(i);
//check #i的node的键值是否确实发生改变（是否siftDown操作生效）,若发生改变，则ok,否则为确保堆性质，则需要siftUp
if (i < size && nums[i] == last) {
System.out.println("delete siftUp");
siftUp(i);
}
return key;
}

case 1 :

删除中间节点i21，将最后一个节点复制过来；

由于没有进行siftDown操作，节点i的值仍然为6，因此为确保堆的性质，执行siftUp操作；

case 2

删除中间节点i，将值为11的节点复制过来，执行siftDown操作；

由于执行siftDown操作后，节点i的值不再是11，因此就不用再执行siftUp操作了，因为堆的性质在siftDown操作生效后已经得到了保持。

可以看出，堆的基本操作都依赖于两个核心的函数siftUp和siftDown；较为完整的Heap代码如下：

class Heap {
private final static int N = 100; //default size
private int[] nums;
private int size;

public Heap(int[] nums) {
this.nums = nums;
this.size = nums.length;
heapify(this.nums);
}

public Heap() {
this.nums = new int[N];
}

/**
* heapify an array, O(n)
* @param nums An array to be heapified.
*/
private void heapify(int[] nums) {
for (int j = (size - 1) >> 1; j >= 0; j--)
siftDown(j);
}

/**
* append x to heap
* O(logn)
* @param x
* <a href='http://www.jobbole.com/members/wx1409399284'>@return</a>
*/
public int insert(int x) {
if (size >= this.nums.length)
expandSpace();
size += 1;
nums[size-1] = x;
siftUp(size-1);
return x;
}

/**
* delete an element located in i position.
* O(logn)
* @param i
* <a href='http://www.jobbole.com/members/wx1409399284'>@return</a>
*/
public int delete(int i) {
rangeCheck(i);
int key = nums[i];
//将last元素覆盖过来,先siftDown; 再视情况考虑是否siftUp;
int last = nums[i] = nums[size-1];
size--;
siftDown(i);
//check #i的node的键值是否确实发生改变,若发生改变，则ok,否则为确保堆性质，则需要siftUp;
if (i < size && nums[i] == last)
siftUp(i);
return key;
}

/**
* remove the root of heap, return it's value, and adjust heap to maintain the heap's property.
* O(logn)
* <a href='http://www.jobbole.com/members/wx1409399284'>@return</a>
*/
public int extractMin() {
rangeCheck(0);
int key = nums[0], last = nums[size-1];
nums[0] = last;
size--;
siftDown(0);
return key;
}
/**
* return an element's index, if not exists, return -1;
* O(n)
* @param x
* <a href='http://www.jobbole.com/members/wx1409399284'>@return</a>
*/
public int search(int x) {
for (int i = 0; i < size; i++)
if (nums[i] == x)
return i;
return -1;
}
/**
* return but does not remove the root of heap.
* O(1)
* <a href='http://www.jobbole.com/members/wx1409399284'>@return</a>
*/
public int peek() {
rangeCheck(0);
return nums[0];
}

private void siftUp(int i) {
int key = nums[i];
for (; i > 0;) {
int p = (i - 1) >>> 1;
if (nums[p] <= key)
break;
nums[i] = nums[p];
i = p;
}
nums[i] = key;
}

private void siftDown(int i) {
int key = nums[i];
for (;i < size / 2;) {
int child = (i << 1) + 1;
if (child + 1 < size && nums[child] > nums[child+1])
child++;
if (key <= nums[child])
break;
nums[i] = nums[child];
i = child;
}
nums[i] = key;
}

private void rangeCheck(int i) {
if (!(0 <= i && i < size))
throw new RuntimeException("Index is out of boundary");
}

private void expandSpace() {
this.nums = Arrays.copyOf(this.nums, size * 2);
}

<a href='http://www.jobbole.com/members/wx610506454'>@Override</a>
public String toString() {
// TODO Auto-generated method stub
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.append("[");
for (int i = 0; i < size; i++)
sb.append(String.format((i != 0 ? ", " : "") + "%d", nums[i]));
sb.append("]\n");
return sb.toString();
}
}

2.堆的应用：堆排序

运用堆的性质，我们可以得到一种常用的、稳定的、高效的排序算法————堆排序。堆排序的时间复杂度为O(n*log(n))，空间复杂度为O(1)，堆排序的思想是：
对于含有n个元素的无序数组nums, 构建一个堆(这里是小顶堆)heap，然后执行extractMin得到最小的元素，这样执行n次得到序列就是排序好的序列。
如果是降序排列则是小顶堆；否则利用大顶堆。

Trick

由于extractMin执行完毕后，最后一个元素last已经被移动到了root，因此可以将extractMin返回的元素放置于最后，这样可以得到sort in place的堆排序算法。

具体操作如下：

int[] n = new int[] {1,9,5,6,8,3,1,2,5,9,86};
Heap h = new Heap(n);
for (int i = 0; i < n.length; i++)
n[n.length-1-i] = h.extractMin();

当然，如果不使用前面定义的heap，则可以手动写堆排序，由于堆排序设计到建堆和extractMin，两个操作都公共依赖于siftDown函数，因此我们只需要实现siftDown即可。(trick:由于建堆操作可以采用siftUp或者siftDown，而extractMin是需要siftDown操作，因此取公共部分，则采用siftDown建堆)。

这里便于和前面统一，采用小顶堆数组进行降序排列。

public void heapSort(int[] nums) {
int size = nums.length;
buildMinHeap(nums);
while (size != 0) {
// 交换堆顶和最后一个元素
int tmp = nums[0];
nums[0] = nums[size - 1];
nums[size - 1] = tmp;
size--;
siftDown(nums, 0, size);
}
}

// 建立小顶堆
private void buildMinHeap(int[] nums) {
int size = nums.length;
for (int j = size / 2 - 1; j >= 0; j--)
siftDown(nums, j, size);
}

private void siftDown(int[] nums, int i, int newSize) {
int key = nums[i];
while (i < newSize >>> 1) {
int leftChild = (i << 1) + 1;
int rightChild = leftChild + 1;
// 最小的孩子，比最小的孩子还小
int min = (rightChild >= newSize || nums[leftChild] < nums[rightChild]) ? leftChild : rightChild;
if (key <= nums[min])
break;
nums[i] = nums[min];
i = min;
}
nums[i] = key;
}

3.堆的应用：优先队列

优先队列是一种抽象的数据类型，它和堆的关系类似于，List和数组、链表的关系一样；我们常常使用堆来实现优先队列，因此很多时候堆和优先队列都很相似，它们只是概念上的区分。
优先队列的应用场景十分的广泛：
常见的应用有：

Dijkstra’s algorithm（单源最短路问题中需要在邻接表中找到某一点的最短邻接边，这可以将复杂度降低。）
Huffman coding（贪心算法的一个典型例子，采用优先队列构建最优的前缀编码树(prefixEncodeTree)）
Prim’s algorithm for minimum spanning tree
Best-first search algorithms

这里简单介绍上述应用之一：Huffman coding。

Huffman编码是一种变长的编码方案，对于每一个字符，所对应的二进制位串的长度是不一致的，但是遵守如下原则：

出现频率高的字符的二进制位串的长度小
不存在一个字符c的二进制位串s是除c外任意字符的二进制位串的前缀

遵守这样原则的Huffman编码属于变长编码，可以无损的压缩数据，压缩后通常可以节省20%-90%的空间，具体压缩率依赖于数据的固有结构。

Huffman编码的实现就是要找到满足这两种原则的 字符-二进制位串 对照关系，即找到最优前缀码的编码方案（前缀码：没有任何字符编码后的二进制位串是其他字符编码后位串的前缀）。
这里我们需要用到二叉树来表达最优前缀码，该树称为最优前缀码树
一棵最优前缀码树看起来像这样：

算法思想：用一个属性为freqeunce关键字的最小优先队列Q,将当前最小的两个元素x,y合并得到一个新元素z（z.frequence = x.freqeunce + y.frequence）,
然后插入到优先队列中Q中，这样执行n-1次合并后，得到一棵最优前缀码树（这里不讨论算法的证明）。

一个常见的构建流程如下：

树中指向某个节点左孩子的边上表示位0,指向右孩子的边上的表示位1，这样遍历一棵最优前缀码树就可以得到对照表。

import java.util.Comparator;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.PriorityQueue;

/**
*
*                            root
*                            /   \
*                    --------- ----------
*                    |c:freq | | c:freq |
*                    --------- ----------
*
*
*/
public class HuffmanEncodeDemo {

public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Node[] n = new Node[6];
float[] freq = new float[] { 9, 5, 45, 13, 16, 12 };
char[] chs = new char[] { 'e', 'f', 'a', 'b', 'd', 'c' };
HuffmanEncodeDemo demo = new HuffmanEncodeDemo();
Node root = demo.buildPrefixEncodeTree(n, freq, chs);
Map<Character, String> collector = new HashMap<>();
StringBuilder sb = new StringBuilder();
demo.tranversalPrefixEncodeTree(root, collector, sb);
System.out.println(collector);
String s = "abcabcefefefeabcdbebfbebfbabc";
StringBuilder sb1 = new StringBuilder();
for (char c : s.toCharArray()) {
sb1.append(collector.get(c));
}
System.out.println(sb1.toString());
}

public Node buildPrefixEncodeTree(Node[] n, float[] freq, char[] chs) {
PriorityQueue<Node> pQ = new PriorityQueue<>(new Comparator<Node>() {
public int compare(Node o1, Node o2) {
return o1.item.freq > o2.item.freq ? 1 : o1.item.freq == o2.item.freq ? 0 : -1;
};
});
Node e = null;
for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
n[i] = e = new Node(null, null, new Item(chs[i], freq[i]));
pQ.add(e);
}

for (int i = 0; i < n.length - 1; i++) {
Node x = pQ.poll(), y = pQ.poll();
Node z = new Node(x, y, new Item('$', x.item.freq + y.item.freq));
pQ.add(z);
}
return pQ.poll();
}

/**
* tranversal
* @param root
* @param collector
* @param sb
*/
public void tranversalPrefixEncodeTree(Node root, Map<Character, String> collector, StringBuilder sb) {
// leaf node
if (root.left == null && root.right == null) {
collector.put(root.item.c, sb.toString());
return;
}
Node left = root.left, right = root.right;
tranversalPrefixEncodeTree(left, collector, sb.append(0));
sb.delete(sb.length() - 1, sb.length());
tranversalPrefixEncodeTree(right, collector, sb.append(1));
sb.delete(sb.length() - 1, sb.length());
}

}

class Node {
public Node left, right;
public Item item;

public Node(Node left, Node right, Item item) {
super();
this.left = left;
this.right = right;
this.item = item;
}

}

class Item {
public char c;
public float freq;

public Item(char c, float freq) {
super();
this.c = c;
this.freq = freq;
}
}

输出如下：

{a=0, b=101, c=100, d=111, e=1101, f=1100}
010110001011001101110011011100110111001101010110011110111011011100101110110111001010101100

4 堆的应用：海量实数中（一亿级别以上）找到TopK（一万级别以下）的数集合。

A:通常遇到找一个集合中的TopK问题，想到的便是排序，因为常见的排序算法例如快排算是比较快了，然后再取出K个TopK数，时间复杂度为O(nlogn)，当n很大的时候这个时间复杂度还是很大的；
B:另一种思路就是打擂台的方式,每个元素与K个待选元素比较一次，时间复杂度很高：O(k*n)，此方案明显逊色于前者。

对于一亿数据来说，A方案大约是26.575424*n；

C:由于我们只需要TopK，因此不需要对所有数据进行排序，可以利用堆得思想，维护一个大小为K的小顶堆，然后依次遍历每个元素e, 若元素e大于堆顶元素root，则删除root，将e放在堆顶，然后调整，时间复杂度为logK；若小于或等于，则考察下一个元素。这样遍历一遍后，最小堆里面保留的数就是我们要找的topK，整体时间复杂度为O(k+n*logk)约等于O(n*logk)，大约是13.287712*n（由于k与n数量级差太多），这样时间复杂度下降了约一半。

A、B、C三个方案中，C通常是优于B的，因为logK通常是小于k的，当K和n的数量级相差越大，这种方式越有效。

以下为具体操作：

import java.io.File;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.UnsupportedEncodingException;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
import java.util.Set;
import java.util.TreeSet;
public class TopKNumbersInMassiveNumbersDemo {

public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] topK = new int[]{50001,50002,50003,50004,50005};
genData(1000 * 1000 * 1000, 500, topK);
long t = System.currentTimeMillis();
findTopK(topK.length);
System.out.println(String.format("cost:%fs", (System.currentTimeMillis() - t) * 1.0 / 1000));
}

public static void genData(int N, int maxRandomNumer, int[] topK) {
File f = new File("data.txt");
int k = topK.length;
Set<Integer> index = new TreeSet<>();
for (;;) {
index.add((int)(Math.random() * N));
if (index.size() == k)
break;
}
System.out.println(index);
int j = 0;
try {
PrintWriter pW = new PrintWriter(f, "UTF-8");
for (int i = 0; i < N; i++)
if(!index.contains(i))
pW.println((int)(Math.random() * maxRandomNumer));
else
pW.println(topK[j++]);
pW.flush();
} catch (FileNotFoundException e) {
// TODO Auto-generated catch block
e.printStackTrace();
} catch (UnsupportedEncodingException e) {
// TODO Auto-generated catch block
e.printStackTrace();
}
}

public static void findTopK(int k) {
int[] nums = new int[k];
//read
File f = new File("data.txt");
try {
Scanner scanner = new Scanner(f);
for (int j = 0;j < k; j++)
nums[j] = scanner.nextInt();
heapify(nums);
//core
while (scanner.hasNextInt()) {
int a = scanner.nextInt();
if (a <= nums[0])
continue;
else {
nums[0] = a;
siftDown(0, k, nums);
}
}
System.out.println(Arrays.toString(nums));
} catch (FileNotFoundException e) {
// TODO Auto-generated catch block
e.printStackTrace();
}

}

//O(n), minimal heap
public static void heapify(int[] nums) {
int size = nums.length;
for (int j = (size - 1) >> 1; j >= 0; j--)
siftDown(j, size, nums);
}

private static void siftDown(int i, int n, int[] nums) {
int key = nums[i];
for (;i < (n >>> 1);) {
int child = (i << 1) + 1;
if (child + 1 < n && nums[child] > nums[child+1])
child++;
if (key <= nums[child])
break;
nums[i] = nums[child];
i = child;
}
nums[i] = key;
}
}

ps:大致测试了一下，10亿个数中找到top5需要140秒左右，应该是很快了。

5 总结

堆是基于树的满足一定约束的重要数据结构，存在许多变体例如二叉堆、二项式堆、斐波那契堆（很高效）等。
堆的几个基本操作都依赖于两个重要的函数siftUp和siftDown，堆的insert通常是在堆尾插入新元素并siftUp调整堆，而extractMin是在
删除堆顶元素，然后将最后一个元素放置堆顶并调用siftDown调整堆。
二叉堆是常用的一种堆，其是一棵二叉树；由于二叉树良好的性质，因此常常采用数组来存储堆。
堆得基本操作的时间复杂度如下表所示：

heapify	insert	peek	extractMin	delete(i)
`O(n)`	`O(logn)`	`O(1)`	`O(logn)`	`O(logn)`

二叉堆通常被用来实现堆排序算法，堆排序可以sort in place，堆排序的时间复杂度的上界是O(nlogn)，是一种很优秀的排序算法。由于存在相同键值的两个元素处于两棵子树中，而两个元素的顺序可能会在后续的堆调整中发生改变，因此堆排序不是稳定的。降序排序需要建立小顶堆，升序排序需要建立大顶堆。
堆是实现抽象数据类型优先队列的一种方式，优先队列有很广泛的应用，例如Huffman编码中使用优先队列利用贪心算法构建最优前缀编码树。
堆的另一个应用就是在海量数据中找到TopK个数，思想是维护一个大小为K的二叉堆，然后不断地比较堆顶元素，判断是否需要执行替换对顶元素的操作，采用
此方法的时间复杂度为n*logk，当k和n的数量级差距很大的时候，这种方式是很有效的方法。

6 references

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(data_structure))

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Priority_queue

[4] https://www.cnblogs.com/swiftma/p/6006395.html

[5] Thomas H.Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald L.Rivest, Clifford Stein.算法导论[M].北京:机械工业出版社,2015:245-249

[6] Jon Bentley.编程珠玑[M].北京:人民邮电出版社,2015:161-174

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