经典算法题：蚂蚁走迷宫

故事起源

有一只蚂蚁出去寻找食物，无意中进入了一个迷宫。蚂蚁只能向上、下、左、右4个方向走，迷宫中有墙和水的地方都无法通行。这时蚂蚁犯难了，怎样才能找出到食物的最短路径呢？

思考

蚂蚁在起点时，有4个选择，可以向上、下、左、右某一个方向走1步。

如果蚂蚁走过了一段距离，此时也依然只有4个选择。当然要排除之前走过的地方（不走回头路，走了也只会更长）和无法通过的墙和水。

蚂蚁想，还好我会影分身。如果每一步都分身成4个蚂蚁，向4个方向各走1步，这样最先找到食物的肯定就是最短的路径了（因为每一步都把能走的地方都走完了，肯定找不出更短的路径了）。

而且还能看出，第1步会到达所有到起点距离为1的地方，第2步也会到达所有距离为2的地方。

如此类推，第n步会覆盖所有到起点最短距离为n的地方。

问题建模

把迷宫地图放在二维数组中，能通行的地方为0，墙和水的地方为负数。

每一步向4个方向走，可以通过当前坐标加上一个方向向量。

这个其实就是宽度优先搜索(BFS)的思想。

宽度优先搜索(BFS)

又称广度优先搜索，优先向四周扩展子节点，是最简便的图的搜索算法之一，一般通过队列来实现。

队列

是一种特殊的线性表，它只允许在表的前端进行删除操作，而在表的后端进行插入操作，即先进先出。

队列一般通过数组实现，对该数组增加一些操作上的限制。

但上面的实现有一些缺陷，当队列满时，也就是tail指针移动到队尾，这时就无法再插入数据，但前面的元素已经出队了，可能还有空缺的位置。

为了能高效利用空间，对该队列增加一点改进，也就是循环队列的产生。

循环队列

把队列想象成一个首尾相接的环形。

数组实现，需要多预留一个空间。如果head=tail时，无法判断是队空还是队满，所以占用一个空间，通过tail+1与head的关系来判断是否队满。

队列实现BFS

实现步骤如下：

• 将起点加入队列。
• 从队首取出一个节点，通过该节点向4个方向扩展子节点，并依次加入队尾。
• 重复以上步骤，直至队空或已找到目标位置。

回归迷宫问题，到起点的距离为1,2,3...的点会依次入队。

当head指针遍历到距离为2的点时，向4周扩展距离为3的节点，并继续入队。

代码实现

变量定义

// 方向向量  
const int direction[4][2] = {{0,  1},  
                             {-1, 0},  
                             {0,  -1},  
                             {1,  0}};  
  
const int MAXM = 100, MAXN = 100, QUEUE_LENGTH = 5;  
// 队列中的节点  
struct Node {  
    int x, y, distance;  
    Node() {}  
    Node(int xx, int yy, int d) : x(xx), y(yy), distance(d) {}  
};  
  
int n, m, step = 0, map[MAXM][MAXN], visit[MAXM][MAXN];  
Node start, target;

BFS标准模板

void bfs() {  
    Node queue[QUEUE_LENGTH];  
    int head = 0, tail = 1;  
    queue[0] = Node(start.x, start.y, 0);  
    visit[start.x][start.y] = 0;  
  
    while (head != tail) {  
        int x = queue[head].x;  
        int y = queue[head].y;  
        int distance = queue[head].distance;  
        head = (head + 1) % QUEUE_LENGTH;  
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {  
            int dx = x + direction[i][0];  
            int dy = y + direction[i][1];  
            if (dx >= 0 && dx < m && dy >= 0 && dy < n && visit[dx][dy] == -1 && map[dx][dy] >= 0) {  
                // 表示从i方向走过来的，方便后续回溯路径  
                visit[dx][dy] = i;  
                if (dx == target.x && dy == target.y) {  
                    cout << "已到目标点，最短距离为" << distance + 1 << endl;  
                    step = distance + 1;  
                    return;  
                }  
                if ((tail + 1) % QUEUE_LENGTH == head) {  
                    cout << "队列满" << endl;  
                    return;  
                }  
                // 新坐标入队  
                queue[tail] = Node(dx, dy, distance + 1);  
                tail = (tail + 1) % (QUEUE_LENGTH);  
            }  
        }  
    }  
}

路径回溯

void printPath() {  
    int x, y, d, path[MAXM][MAXN] = {0};  
    for (int i = 0; i < m; ++i) {  
        for (int j = 0; j < n; ++j) {  
            path[i][j] = -1;  
        }  
    }  
    x = target.x;  
    y = target.y;  
    path[start.x][start.y] = 0;  
    // 路径回溯  
    while (!(x == start.x && y == start.y)) {  
        path[x][y] = step--;  
        d = visit[x][y];  
        x -= direction[d][0];  
        y -= direction[d][1];  
    }  
    // 路径打印  
    for (int i = 0; i < m; ++i) {  
        for (int j = 0; j < n; ++j) {  
            if (path[i][j] >= 0) {  
                cout << path[i][j];  
            } else {  
                cout << "-";  
            }  
        }  
        cout << endl;  
    }  
}

数据输入

int main() {  
    cin >> m >> n;  
    for (int i = 0; i < m; ++i) {  
        for (int j = 0; j < n; ++j) {  
            cin >> map[i][j];  
            visit[i][j] = -1;  
        }  
    }  
    cin >> start.x >> start.y >> target.x >> target.y;  
    bfs();  
    if (step > 0) printPath();  
    return 0;  
}

测试结果

输入数据：  
5 5  
0 0 -1 0 0  
0 0 0 0 -2  
-1 0 -2 0 0  
0 0 0 -1 0  
0 -2 0 0 0  
1 1 4 3  
  
输出：  
已到目标点，最短距离为5  
  
路径打印：  
-----  
-0---  
-1---  
-23--  
--45-

- EOF -

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