取石子游戏，用博弈论教你如何必胜

1.游戏规则

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子(至少取1个)。
每次有两种不同的取法，规则如下：
1.一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；2.二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。
最后把石子全部取完者为胜者，假设双方都采取最好的策略，给定初始数量，你是否有必胜的把握？

2.分析

为方便描述，设表示两堆石子数量分别为，且你先取。
1.表示必胜
2.表示必败
3.石堆没有顺序优先级，所以

2.1首先分析3种特殊情况

1.两堆石子数量一样，两堆都取个，必胜，得2.只有一堆石子，一堆取个，必胜，得3.石子数量为，只能取(1,0),(2,0),(1,1)，剩下石子为(1,1),(0,1),(1,0)对方都能胜，所以必败，得，称此为奇异局势(必败局势)。

2.2列出前面的几种情况如下：

可以得到如下规律：

• 奇异局势有，必败
• 蓝色为先取的数量，一次就可以将状态转为奇异局势，必胜
• 都可以转为，必胜
• 都可以转为，必胜
• 可以转化为的奇异局势，而且也可以转化为

即奇异局势为，且
结论：如果两个人都采取最优策略，面对非奇异局势，先拿必胜；面对奇异局势，后拿必胜。

3.理论推广

这个其实是经典的威佐夫博弈问题，但首先我们先介绍另一个定理，贝蒂定理。

3.1贝蒂定理

设是正无理数，且。
记，(为取整函数)。
则是的一个划分，。

证明如下

1.任一个整数至多在集合P或Q中出现一次。

，对于不同整数各不相同。

2.(反证法)

假设，则存在正整数使得，
即
，，
两式相加得
，与为整数矛盾。

3.(反证法)

假设，则存在正整数使得，
由此得(因为a是无理数)，
类似有
，
两式相加得
，与为整数矛盾。

3.2回归威佐夫问题

设奇异局势构成的序列组为，即为通项公式，可以看出是一个贝蒂序列。
设，
因为，即。
代入，得。
即。
而。

3.3如何快速判断

给定一个局势，得，
如果，则是奇异局势，否则不是。

3.4例题

poj1067：http://poj.org/problem?id=1067

3.5代码实现

const double q = (1 + sqrt(5.0)) / 2.0;

bool isWythoff(int a, int b) {

    int t;
    if (a > b) t = a, a = b, b = t;
    return (int) ((b - a) * q) == a;

}

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