初中奥数——等腰三角形和等边三角形

第3讲 等腰三角形和等边三角形

几何学是在不准确的图形上进行正确推理的艺术。      ——波利亚

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有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一种轴对称图形，它的底角相等，它的底边上的高和中线，顶角的平分线重合。

三边相等的三角形叫等边三角形，等边三角形三个内角都是60º。

在出现等腰三角形的题目中，常用的辅助线作出等腰三角形底边上的高（对称轴）。这样可以得到一对全等的直角三角形。根据题目的条件与结论，选取合适的对称轴往往是解题的突破口。此外，在有一个角是60º的情况下，构造等边三角形也是常用的方法。

例6．（第5届希望杯数学邀请赛试题）如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD．求证：AD平分∠CDE．

证明  延长DE到F， 使得EF=BC，连结AF，AC。

因∠ABC+∠AED=180°，

而∠AEF+∠AED=180°，所以∠ABC=∠AEF。

在△ABC与△AEF中，AB=AE，∠ABC=∠AEF， BC = EF，

所以△ABC≌△AEF，于是AC=AF。又CD=BC+DE=EF+DE=DF。

在△ACD与△AFD中，AC=AF，CD= DF，AD=AD，所以△ACD≌△AFD，

于是∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．

评注  由上面的证法可以看出：题目中的条件∠BAE=∠BCD=120°是多余的。