初中奥数——直角三角形

第4讲 直角三角形

看不起欧氏几何，就好像是从国外回来看不起自己的故乡。

                           ——H.G.弗德

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有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。它的两个锐角互为余角；两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理，我们会在另外一讲专题讨论）。

关于直角三角形有如下两个重要的定理：

①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

②直角三角形中，如果有一个锐角是30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

上述两个命题的逆命题也是成立的：

①如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

②直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，则它所对的角等于30 º

    判定两个直角三角形全等，除了一般的三角形全等的方法外，还有“斜边、直角边”的方法。

分析 从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分线AG，则在△AGM中，∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA．

证明 作∠BAC的平分线AG，交BM于G。

在△AGB与△CDA中，因为AB=CA，∠BAG=∠ACD=45°，

∠ABG=90°-∠AMB， ①       

∠MAD=90°-∠EAB． ②

由于在Rt△MAB中，AE⊥BM，所以∠AMB=∠EAB．由①，②，∠ABG=∠MAD，

所以△AGB≌△ADC(ASA)，于是 AG=CD．

在△AMG与△CMD中，还有 AM=MC，∠GAM=∠DCM=45°，所以 △AMG≌△CMD，从而 ∠AMB=∠DMC．