数学教学的本质与原则
大学有云：“物有本末，事有终始，知所先后，则近道矣。”这就是说我们解决任何问题都要抓住根本、认准目标，本强才有末壮，知终才能明始。但在现实中，我们很多老师仍然纠缠于枝节和表象，不去深究教学和学习的内在规律，关痛医头、脚痛医脚，障目于纷扰复杂的外在现象，迷失在繁琐平庸的常规教学中，随波逐流，因循守旧，缺乏对教学本质的深入思考和研究。教学层次还处于较低水平，还是在为知识而教，而不是为智慧而教，学生用记忆学习，而不是用思维学习。这样的教学单单用于应试也是不够的，因为解决问题的根本是取决于思维能力，而浅层教学、题海战术恰恰会扼杀思维，把人变成了机械记忆模仿的工具。
数学学习的核心是思维能力，其实这个道理并不深奥，很多数学老师也都明白，但是为什么我们往往在实际教学中不能很好地贯彻这一点呢？原因大概有三：一是因为思维过程是内隐的看不见的，所以教师不容易看清，难以把握；二是因为思维能力不是一朝一夕就可以快速培养的，所以在急功近利的思想下难以坚持；三是思维训练是一个复杂的系统工程，和学生的智力基础、知识储备、思维特点、学习习惯诸方面都有关系，若教师的教育能力、专业素养不够高则难以做好。
从根本上解决问题是一个长期而复杂的系统工程，需要教师持之以恒地朝着正确的方向坚定前行，这个方向就是：数学课堂要致力于让思维真正发生，让学习真正发生。我认为要有效培养和发展学生的思维能力，在平时的数学教学中要贯彻以下几个原则：
一、知识原理的表达与引导：自然原则
教师在表达、解释数学知识、数学方法和思想，或者在引导学生认识数学对象、解决数学问题时，要自然简易，易于理解和把握，而非突兀艰涩、不合常理。如果教师像魔术师表演魔术一样，突然从帽子里变出一只兔子，作为观众的学生虽然惊奇不已，但他们能有什么收获呢？无论看了多少次表演，普通学生永远学不会变兔子的魔术。自然的数学思维吻合人脑和数学对象相互作用并按照一定的思维规律认识数学规律的过程，用通性通法自然转化和解决数学问题，这样的思维方法学生容易理解接受并掌握。
例如证明三角形内角和定理时，如果教师直接告知学生作辅助线的方法，那么学生在思维方法和能力的发展上是没有得到任何帮助的，因为这太突兀了，就像魔术师从帽子里变出兔子一样让人难以理解，更谈不上把握要领了。正确的做法是，先提出自然简单的引导性问题：结论中出现了三个角的和，我们有哪些办法来得到它呢？学生便会思考：（1）分别求三个角的度数再相加，可以吗？显然不行，因为我们要证的是任意三角形，每个角的度数是不确定的；（2）联想小学做过的实验，我们把三个角拼合到一起，看是不是平角呢？沿着这个思路，要把不同位置的角拼到一起，其实质是构造相等的角，那么得到不同位置相等的角有关的定理和方法有哪些呢？进而自然联想到平行线的性质定理，到这里构造平行线就是顺理成章的事情了。这样的思维过程自然而顺畅，长期训练，学生自然会掌握解决问题的常规思路和一般方向，不致于面对陌生问题便无从下手。
二、课堂教学的过程与方式：参与原则
参与原则就是让学生充分发挥自己的主动性，作为学习主体参与整个知识学习和解决问题的全过程，自主建构和完善自己的知识系统。
学习金字塔是美国缅因州的国家训练实验室研究成果，它用数字形式形象显示了：采用不同的学习方式，学习者在两周以后还能记住内容（平均学习保持率）的多少。
第一种学习方式—“听讲”，也就是老师在上面说，学生在下面听，这种我们最熟悉最常用的方式，学习效果却是最低的，两周以后学习的内容只能留下5%。
第二种，通过“阅读”方式学到的内容，可以保留10%。
第三种，用“声音、图片”的方式学习，可以达到20%。
第四种，是“示范”，采用这种学习方式，可以记住30%。
第五种，“小组讨论”，可以记住50%的内容。
第六种，“做中学”或“实际演练”，可以达到75%。
第七种在金字塔基座位置的学习方式，是“教别人”或者“马上应用”，可以记住90%的学习内容。
他们研究的是记忆性为主的内容，思维性的内容更为明显。研究显示，学生参与学习过程的程度越高，学习的效果越好。著名特级教师孙维刚说:要在游泳中学会游泳，要在思维活动中培养思维。数学概念、原理的形成过程中蕴含着丰富的数学思维方法，同时学生在参与的过程中能够暴露思维、发现问题，从而不断解决问题，使学生的思维不断发展完善。比如老师可能参阅了大量的材料设计成一堂课，有很丰富的体验，然后用流畅的语言告诉学生，课堂看似精彩，但是学生只享受最后成果，没有鲜活的体验和感悟，得到只能是僵硬死板的知识。正如英国教育思想家怀海特说：“在训练一个儿童的思维活动时，我们需要特别注意的是——那种我所说的‘呆滞的思想’——那些仅仅被大脑接收却没有经过实践或验证，或与其他东西进行融会贯通的知识。”教师怕学生出问题，把教学内容掰开了、揉碎了，为学生扫清了学习障碍，而实质上无障碍学习会产生很大障碍，学生必须亲自参与学习的真实过程，亲自体验和解决学习中的挫折和困惑，理性知识要以丰富的感性经验为基础。
学生学习参与度的最高表现是自主学习，凡是学生用自己的思维进行阅读、思考、研究、探索、讨论都属于自主学习。促进学生自主学习是提升教学效果的必由之路，我们应该给学生足够的时间和空间并给予指引，逐步让学生学会自主学习。
三、教学内容的设计与组织：问题原则
问题是数学的“心脏”，这一比喻非常生动、恰当。数学问题的功用是：激发兴趣、引起思考、催生探究、深化思维，应该把问题作为课堂的主线索，指引和训练学生的思维活动。在问题的引导下，学生由过去的配合者、接受者和服从者要转向充满自信的、积极学习的问题探究者、发现者、生成者、解决者、合作者和评价者。经过长期的“问题导学”课堂学习，学生逐步培养多元思维、发散思维、创新思维能力，久而久之，就能够养成优秀思维品质。
学生的学习有三个层次：第一层次为记忆与模仿，第二层次为理解与迁移，第三层次为融会与创造。通过问题的提出和解决，学生的学习才能提升到高层次，学生的思维活动才能真正发生，学生的核心素质才能真正发展。不仅要让学生学会分析问题、解决问题，而且要让学生能够自主发现问题、提出问题。问题是课堂教学中知识学习和思维训练的最重要的工具和抓手。
我在数学教学中采用让学生“讲问题”的方式，每节课前几分钟分组轮流安排一个学生提前准备好一个问题，到台上解说数学问题，并且要求与台下同学进行适当的交流互动，要对问题进行深入剖析、归纳一般解题规律。学生们积极主动兴趣盎然地参与，他们在找问题、说问题的过程中，思维能力和表达能力都有了明显提升，开展了短短不到一年的时间，这个班级的数学成绩就明显领先于同类班级。
做好问题设计是教师的重要工作，问题设计要注意以下几方面：（1）问题要切合班级学生的知识基础和思维能力；（2）问题要揭示学习内容的内在规律和相互联系；（3）问题要自然顺畅易于理解；（4）问题要有高视点和发展性；（5）问题的切入视角要宽，思维量要逐步增大。
四、认知系统的建构与完善：结构原则
结构原则是要帮助学生形成完整的知能结构，包括完整的知识技能系统和方法策略系统，从而深刻理解知识的本质，掌握解决问题的一般策略和基本方法。
结构是决定事物功能的关键，如汽车各部分零件如果无序地放置只是一堆垃圾，把各个零件组织成一个互相联系、互相牵动的整体就变成一辆汽车。在知识教学中要重视结构的完善，既见树木又见森林，使知识和方法形成一个严密完整的有机系统。江苏特级教师李臾南就善于重组教学单元，把一个单元几个课时的内容先用一个课时进行整体的探究认识，然后再进一步对分支内容深入辨析、对比、应用，也就是先见森林，再观树木。如教学一元二次方程的概念及解法的教学过程：（1）通过实例引导学生列出一元二次方程，（2）让学生与一元一次方程进行比较，（3）让学生命名定义新方程并举出正反例，（4）与学生共同探索一元二次方程的四种解法，并归纳解高次方程的核心思想。她的教学设计与一般不同的是从整体到部分，明确了四种解法的联系和优劣，后面综合练习四种方法，站的高度更高，对知识本质的把握更好，更容易融会贯通，形成完整的知识结构。
知识是为解决问题服务的，学生的思维中还需形成一套不断完善的方法策略系统。我们解决生疏问题一般是逐步缩小探索范围，分层次地探求解决问题的方法。上课时学生往往听的头头是道，作业时自己解题却无从下手，这就是因为没有掌握解决问题的策略和方法，思考问题方向不清，思维混乱。解决问题的思考过程要经历三个层次，一是一般的规律和策略，它是指引方向的最高灯塔；二是基本的思想和方法，它是通向终点的可选路径；三是具体的过程和步骤，它是解决问题的操作程序。这样从方向指引到精确定位，从混沌模糊到逐步明晰，解决问题就会越来越得心应手。那么如何让学生掌握解决问题的思维方法呢？孙维刚老师在教学中采用的方法是：一题多解，达到熟悉；多解归一，寻找共性；多题归一，一通百通。也就是让学生在解题实践中不断地进行思维的发散和收敛，从个性中概括出共性、用共性指导个性，形成一套系统完整的思维方法和策略。
五、持续发展的兴趣与动机：审美原则
人人都有追求美的愿望，凡是人对一事物沉醉痴迷，必是他感受到这一事物的美好，从中得到愉悦的内在体验。学生学习也是一样，一个学生只有在感受到学习内容和学习过程中的美感和愉悦感，他才能对学习产生内在的持久的动机。教师在教学中引导学生观察、体验、发现学习对象的美感，创设轻松愉悦的学习氛围，才能真正留住学生的心。
数学中有很多美妙的东西值得师生去领略，去体悟，去发掘。比如学习几何图形圆时，在观察了大到宇宙天体，小到日用产品中广泛存在的圆形后，我会问学生：为什么圆的存在如此普遍，应用如此广泛，看起来如此完美？为什么把事情顺利成功形容为“圆满”？学生的眼睛发出了光亮，他们积极地探察圆有哪些与众不同的性质，他们感受到数学中的美和哲理：圆具有最完美的对称性，圆周上的每一点的地位都是平等的，因而圆也是最自由的——圆最容易滚动，圆转动最平稳。再如很多数学公式具有美观的对称性，对称就是平等，每个字母的地位一样，可以互换，推广到社会民众都在追求平等，可见平等是普遍法则。有的学生提出一元二次方程的求根公式中的a、b、c为什么不对称？我让学生观察公式和方程并思考。有的学生说了自己的解释：因为原方程中a、b、c的作用就不一样，a是二次项系数，它最重要，所以分子分母中都有a；b是一次项系数，它次重要，所以在分子中出现了两次b；c是常数项，它与未知数的关系最远，所以在分子中只出现了一次c。他的解释合情合理，富有洞察力和创造性，赢得了同学的赞扬。对于教学中出现的美的图形，美的式子，简洁漂亮的思路方法，和谐统一的普遍规律，教师要引导学生去发现、去欣赏，在此过程中，伴随知识的深刻领悟和兴趣的不断提升，学生的审美和情感也得到成长和发展。
教学中，培养思维、发展能力和知识教学、解题训练是磨刀与砍柴的关系，这刀是学生终身受用的有力武器，而柴只是他暂时收获的一点副产品。眼中只见柴不见刀是功利主义的教育，对学生的长远发展有害无益。学生苦就苦在用钝刀砍柴，而且被要求砍柴的数量越多越好、时间越长越好，结果是学生只顾砍柴、无暇磨刀，身心越来越累，信心越来越低，兴趣越来越弱。让我们睁开慧眼，在教学过程中高瞻远瞩，洞察本质，认清目标，循序渐进地培养和发展学生的思维能力，形成实实在在的数学素养，这才是对学生的终身发展有益的教学之道。
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