《中考数学思维方法与解题策略》（以下简称《策略》）一书虽然不到200页，但它涵盖了初中数学基本问题模型和常用策略方法，各地出现的中考题绝大多数都可以从中找到相应的问题模型或策略方法。知识模型是解决问题的基本工具，策略方法是指导如何选择和使用这些工具，学生如能熟练掌握则解决难题是水到渠成自然而然的事。下面以各地出现的典型压轴题为例，试述如何应用书中的策略与模型解决中考难题。1.（2019•辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为

生长是基因的传承和完善的过程，一棵小树长成大树，它的内在基因一脉相承，各部分组织浑然一体，不会出现某一树枝突然与树干分隔、断裂。在基因的系统调控下，生物就能正常持续地生存发展，并且是可预知可控制的。但学生在学习中往往会出现知识的孤立和分裂，这就是缺乏“生长基因”导致的。生长的基本要素是基因，不少学生前面学过的知识方法在后面解决问题时“想不到”，就是缺乏一以贯之的“生长基因”，学习只是一种简单的堆积，缺少持续发展的生命力，这个道理只要想一下一棵大树与一堆木柴的区别就可以了解。要让数学教学具有生长性，就要把数学的基因融入学生的思维之中，那么数学的基因是什么呢？当然是数学的核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想像、数学运算、数据分析等六个方面。这些核心能力既是改造世界的有力工具，又是理性精神的发展基础，与人的完善与成长关系莫大。种子的基因决定了它自然而然地生根发芽开花结果，它不会忘了长叶，也不会忘了开花，它也不会感觉长出树枝或者结出果子很难。学习数学也是这样，如果理解掌握了数学的内在基因（本质），一切都是水到渠成，顺畅自然。数学最重要的本质是抽象，抽象能力有了，数学想不好都难！抽象就是找共性，去异求同，化繁为简，诸法归一，数学概念是抽象，数学定理是抽象，数学方法是抽象，数学模型是抽象，数学思想是抽象，总结解题策略是抽象，分析概括题意是抽象，题型归类是抽象……，在数学教学的整个过程都要贯穿抽象能力的培养和训练。例1.如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使DC＝1/3BC，连接AC，若tanB＝5/3，则tan∠CAD的值为

点击上方“蓝字”关注我轨迹定位法的优越性：既见木又见林，直观清晰，一目了然；既精准又全面，算无遗策，一网打尽。下面以最近出现的两道模拟题为例，展示轨迹定位法的严谨、严密和优美、优越！例题赏析1例1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），点M为线段AB上一点．（1）在点C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以与点M关于直线y=x对称的点是

点击上方“蓝字”关注网络是个好东西，不管身在天南地北，只要志同道同就能聚在一起。不知不觉中，我已经加入了上百个与教学有关的群组，和很多志趣相投的同行在一起学习交流。群里探讨解题时，不少老师问：怎样才能让学生想到这样的解题方法？知识可以分三类：陈述性知识、程序性知识、条件性知识。陈述性知识是结论和事实，解决“是什么”的问题。程序性知识是方法和流程，解决“怎么做”的问题。条件性知识是知道在何情境下选择应用何种知识，解决“怎么知道怎么做”的问题。条件性知识与元认知密切相关，是一种复杂的心理过程。这方面研究不多，但很重要，因为它决定所学的知识是死的，还是活的。没有条件性知识，所掌握的知识就不能被有效应用，变成废料。老师在教学中不仅要教陈述性知识和程序性知识，还要教给学生条件性知识，否则就会出现“教懂了却不会用”的现象。有的老师像魔术师，“大变活人”之类的漂亮魔术看上去很神奇，但是观众永远学不会。老师要做的不是“魔术表演”，而应该是“魔术揭密”和“魔术训练”。这样，人人都是魔术师，魔术不再神奇，而是人人可掌握的技术。不管是知识教学还是解题教学，老师都要教“学习方法”和“思考方式”，让学生“会学习”、“会思考”，这样才能“会恰当地选择运用知识和方法解决问题”，也就是掌握条件性知识。比如教学“平行线的性质”时，要让学生了解和体验到“在需要把角进行等量转化时可以运用平行线的性质定理和构造平行线的方法”，这就是条件性知识，掌握这一点，在以后证明三角形内角和定理时，便不难想到要构造平行线。解题教学更是如此，当一条辅助线毫无征兆地从天而降时，指望学生把这种方法迁移到其它情境中几乎是不可能的。因为老师的脑中储存了太多的关于题目及其方法的记忆，老师的解题动作成了条件反射，但是在学生眼中，它是没来由的孤立事件，是难以理解的天外来客。实际上，即使是老师，往往也没能厘清如何思考问题的来龙去脉，如何在陌生情境下自然顺畅地得到解题思路，老师之所以会解题方法有时也是记忆的结果，这就需要解完题后进行再反思，找到题目与解法之间的逻辑联系。有时候，经验丰富的解题者可以瞬间发现解题的思路与方法，自己也搞不清楚到底是大量做题留下的直觉反应还是掌握了解题的内在逻辑。对于人文学科，往往依赖灵感和直觉，可以“本章本天成，妙手偶得之”，但对于数理学科来说，依靠灵感和直觉就不行了，要更多地依赖逻辑和推理，因为逻辑是可表达、可重复、准确严谨的，具有最广泛的可迁移性。数学可以根据公式和定理进行计算推理，没听说过写诗作曲有什么公式和定理，但现实中就有把理科当文科教或把文科当理科教，造成了教学的低效、无效甚至负效应。解题教学是数学教育的重要组成部分，解题就是人的思维对题目的条件信息与所学的知识方法进行联系、加工、处理，从而得到所求结论或推理过程。条件信息在题目中，知识方法在头脑中，题目所呈现的条件信息是多种多样的，但所用知识方法始终在一定范围内，所以解题时要做的一件重要事情是：对信息进行辨别、判断、转化，使之与对应的知识与方法产生联结。这也就是我们所总结的思维方法与解题策略，实质就是条件性知识，它可以告诉学生在什么样的情境下选择什么样的知识与方法解决问题，下面以一道中考题为例探讨一下解题教学中关于条件性知识的提炼及训练。例题（2018乐山卷）.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：(1)如图1，若k=1，则∠APE的度数为__________；分析：①条件出发：“AC=kBD，CD=kAE”转化为：AC:BD=CD:AE=k。②观察联想：由比例线段想到寻找或构造相似形（k=1时全等），AC与CD组合成ΔACD，但BD与AE不在同一个三角形中。③猜测推理：由AC与BD夹角为90度，CD与AE夹角为90度，两组对应边夹角都为90度，推知两个全等三角形是旋转90度的位置关系。④完形构造：将ΔACD旋转90度并平移至适当位置，构造全等三角形，如下图所示：上面四种构造所达到的效果是相同的，都出现了一对全等三角形、一个等腰直角三角形和一个平行四边形，四种方法的内在逻辑是一致的，即通过运动变换把分散的条件集中，形成关系明确的特殊图形，从而进一步推理计算使问题得以解决。这里涉及的陈述性知识是全等三角形的判定定理、平行四边形的判定和性质，程序性知识是对图形的旋转、平移操作，仅此并不足以解决问题，还要知道什么时候需要用旋转、平移的方式构造全等，即使用全等和变换的条件性知识：题中有边角相等关系，若只有一个确定三角形，则可把它进行运动变换得到另一个三角形；若相关线段分散不在同一三角形中，则应通过变换操作使其集中于同一三角形中。上面的构造也可以看成：将线段AE平移至BD处组合成与ΔACD全等的三角形，如下图。(2)如图2，若k=√3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．分析：有了解决题(1)的方法，题(2)的思考逻辑和解题策略完全相同，仅把全等变为相似，变换方式为“旋转+缩放”，把ΔACD旋转90度并按1:√3缩放，再平移至合适位置如下图：同样可以换个角度看，把AE平移至BD处组合成与ΔACD相似的三角形，得到一对1:√3的相似三角形、一个直角边为1:√3的RtΔADF和一个平行四边形AEBF，再得∠APE=∠DAF=30°。(3)如图3，若k=√3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．分析：表面形式变化，本质关系不变，解决方法一以贯之，用移花接木策略迁移前面的方法即可。可以发现，本题更为一般的结论是：cot∠APE=k。回顾这个问题的解决，包含了哪些条件性知识？1.边角相等（比例）关系较多时用全等（相似）。2.可以由相关线段和角回溯需证的全等（相似）三角形。3.条件信息分散可用运动变换使之集中以产生特殊图形和关系。4.外在形式变化，内在关系不变，则解题方法不变，所得结论相似。这种条件性知识能够帮助解决一类相关问题，具有广泛的适用性和可迁移性，掌握这种知识才可以真正提升解决问题的能力。当然，这种知识不能由老师直接教授而获得，需要经历一个理解、感悟、验证、训练的过程，老师也要适时引导、点拨、揭示、强化，这样才能掌握条件性知识，做到在恰当的时机应用恰当的知识采取恰当的行动，也就是在“该想到”的时候“能想到”。好书推荐本人所著中考复习教程－《中考数学思维方法与解题策略》把中考数学解题方法与策略系统化组织，为师生打造一款完整的思维方法与解题策略的训练方案，其中包含四大基本原则、四种通用策略、七类常用方法、十四个具体模型，涵盖了中考数学所涉的知识、方法与题型，每个内容都有配套练习。按策略方法分类进行集中教学和训练更易于学生掌握，最适合于中考二轮复习使用，需要的朋友点击下方“阅读原文”或扫下方二维码进入微店购买，不用微店的请加微信“tzg5236”联系。购书读者可加入思维教学交流QQ群：307595472共同探讨交流思维教学与思维训练相关问题。长按扫码购书

怎样才是一道质量上乘结构优美的综合性难度题？1.所含知识丰富2.体现通性通法3.搭建阶梯层层拓展4.前后联系相互为用5.考察思维训练能力作为老师，命题是一项基本功，不但解题要得心应手，出题也要信手拈来，特别是能够命制高质量的综合题。作为学生，要想更好地解题，也要了解题目的命制方式，这样思考时站位更高，思路更清晰，解题更高效。笔者结合实践经验总结了一些关于命题与解题的方法与规律，供读者参考。一、加法加法，添加组合多个元素，使单一模型变复合，解决方法：复合问题分解为基本模型。例1.已知ΔABC与ΔDCE都是等腰直角三角形，BC与CE均为斜边（BC＜CE），B，C，E在同一直线上，过E作EF⊥DE，取EF=AB，连结AF交BE于点M．（1）求证：AM=MF；（2）请判断ΔADF的形状，并给予证明；（3）请用等式表示线段AF，BC，CE的数量关系，并说明理由．本题图形由两个等腰直角三角形、两对全等三角形组合而成，我们从中分解出两对全等三角形如下：能够分析出这些基本图形后，几个问题便不难解决。二、减法减法，删减条件关键部分，使完整模型变残缺，解决方法：添补辅助图形构造完整模型。例2.如图，四边形ABCE中，∠A=∠B=90°，AB=BC=12，∠ECF=45°，若BF=4，则EF的长为

师者首在传道，那么道在何处？老子说：道生一，一生二，二生三，三生万物。可见道在万物之中，我们只能从万物的现象之中感悟道，这是一种逆向追溯的过程。老子又说：为学日益，为道日损。可知求道是做减法，繁华落尽，去伪存真，万物归为一合于道，这是一个舍而后得的过程。学习者在“为学”的同时不要忘了“为道”，为学是手段，为道是目的。为道不为学，便如盲人摸大象，越学越糊涂，为道不为学，亦是空中建楼阁，无有着力处。如何求道呢？君子务本，本立而道生。比如生物体的外在性状千差万别难以尽知，而决定它的是细胞的基因结构，若能破解基因密码，则生物界的一切问题便可迎刃而解。数学的核心是抽象概括和逻辑推理，培养和训练这两种能力是数学学习的根本。我们无论在知识教学还是解题训练中，都要寻找规律追溯源头，归一以求其本。知识寻根例1.AB=m，AC=n（m>n），则BC的最大值是

三、解题的常用方法3.化折为直化折为直：定点间的几条折线段在一条直线上时，其和最小。另有：点到直线的所有连线中垂线段最小。这里的“直”理解为“直线”或“垂直”。注意：化折为直的前提是“几条连续折线在两个定点之间，或在定点与定线之间”，若不满足需先进行变换转化。例13.（1）如图①，RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是边上任意一点，则PC的最小值为

解题教学要舍得花时间进行策略方法的感悟、总结以及系统化，如此才能真正促进解题能力的提升，赢得最终的胜利。就如你花时间学开汽车，开始阶段还不如骑自行车快，但是熟练之后就可以上高速公路，这时与骑自行车就不是一个层级上的较量了。我们从策略层面思考问题可以居高临下事半功倍，做到闻一知十一通百通，这才是真正的数学，真正的学习。//二、解题的一般策略//3.设参列式题中存在较为复杂的数量关系时，我们可以设出合适的参数，再用此含参数的代数式表示相关数量，以方便寻找新的关系和结论。例5.正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上一点，CE=3，DF=2，∠FEC=2∠BAE，求正方形边长.题中条件“∠FEC=2∠BAE”直接看不出下一步结论，我们先设∠FEC=2∠BAE=2α，则∠BEA=90°－α，再得∠AEF=180°－(90°－α)－2α=90°－α，可得结论∠AEF=∠BEA，这个结论一旦出现，下面的思路就容易了，构造翻折型全等，容易在ΔCEF中根据勾股定理求得正方形边长。例6.如图，正方形ABCD边长为2，E是正方形内一点，CE=BC，EH⊥BC于H，点P是RtΔCEH内心，则DP的最小值为

数学老师要研究解题，更要研究解题教学，仅仅自己是解题高手还不够，更要让学生领悟解题的真谛，切不可只顾自己玩弄技巧，以解繁难偏怪题为荣，数学玩的应该是概念和模型、是抽象和逻辑。老师引导帮助学生总结一般规律、掌握策略方法才是王道！这也是发展学生能力和提升考试成绩的可靠正途。一、解题的黄金法则如果用一句话概括解题的指导原则，那就是“条件用足，模型完备，问题必解。”题中每个条件都要充分发挥其作用，通过构造完备的模型就能把条件与问题进行充分联结。解题就是过河，条件是此岸，问题是彼岸，模型是连接此岸与彼岸的桥梁，而造桥的材料是在此岸寻找，桥的造法也要依据彼岸的特征。可别小瞧了这个原则，有时做题往往想得太久想得太远，或受思维定势的影响，以致于偏离了方向，忘记了该从哪里出发，向哪里前进。例1．如图，等边△ABC中，AB=6，D为BC的中点，E为△ABC内一动点，DE=2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，则DF的最小值为

考试做题，为什么有的人势如破竹，有的人却步履惟艰？为什么有的人时间充裕，有的人却捉襟见肘？1老师讲能听懂，自已做总不会2图形完整会，自己构图不会3做过的会，没做过的不会4一道题要想好长时间归根结底是因为对解题策略的掌握程度，若解题的思维策略掌握清晰熟练，则能居高临下准确快速地解决问题，反之，则如盲人骑瞎马，解题多是靠运气。譬如为将帅者须深谙兵法之道，才能料敌先机应时而动，然后运筹帷幄决胜千里。简单题、常规题模样长得都很相像，依靠记忆模仿机械训练可以掌握，但是能力题、综合题变化较多，若不讲究策略，就会产生较大困难或浪费较多时间。要想在中考的考场上获得胜利，不但题目要会做，要做对，还要保证解题的速度以争取充足的时间。那么时间从哪里来？这就要从策略的高度把握解题的全程，做到思路清晰、判断准确、方法优化，才能在有限的时间内又快又好地完成考试。我们以最近群里老师问的几个题目为例来看从策略的高度来把握解题的重要性。1例1.ΔABC中，∠ABC=120°，AB=3，则ΔABC周长的最大值为

又近一年中考时，又到初三考试季，亲爱的同学，你是被动应付疲于奔命，还是积极应对稳步提升？1为什么一次又一次地“粗心”犯错？2为什么复习了那么久成绩还是原地踏步？3为什么经历那么多考试还是紧张焦虑？考试讲方法

近日偶然在群里得到一位老师分享的电子版罗增儒教授著《数学的领悟》一书，读来深有感触颇有共鸣。数学的教与学都要讲究科学深入研究优化方法，若不然很可能你教的或学的是假数学！罗教授提出分析问题的基本动作“有用捕捉、有关提取、有效组合”，以及“观察联想、联想转化、猜想论证”的思考过程，与我在所著《中考数学思维方法与解题策略》一书中所归纳的解题的一般方法“完形构造”和解题的基本原则“观察联想、猜测推理、可视化、简单化”非常相似，实质异曲同工。书中提出学习数学重在对数学本质的深度思考、重在对数学思维的深入训练，这些观点也与我之前的相关论述深度相合，这让我感到一种共鸣的喜悦，更加坚定了在这个方向上思考和探索的信念。下面我就罗教授提出的主要观点结合实例谈谈自己的收获和感想，以飨读者。一、理解实质，看清本质，优化素质：我们无法教会学生所有的习题，但可以通过有限道题目的练习，让学生领悟掌握能解决无限问题的数学思维方法。1.观察一元二次方程的求根公式，有什么感想和发现？这个问题也是我常问学生的，目的是培养学生的感悟能力和观察思考能力。（1）公式具有和谐之美：包含所学的所有运算方式：加、减、乘、除、乘方、开方，是各类运算的完美统一。（2）公式具有抽象性和一般性，方程的不同在于各项系数不同，因而只需要三个系数的值就可以确定方程的解。（3）公式中有开方运算，所以根号内的△值决定了根的情况：△为负时无实数根，△为0时两根相同，△为正时两根不等。（4）公式中只有一项符号相反，两根之和可消项、两根之积可用平方差公式，两种运算都可以得到比较简单的形式且只与其中两个系数有关，因而常常用到这两个式子。我在教学中还常提到几种运算法则与运算律的联系，品味起来富有规律和美感，可以加深对数学本质的理解，体验数学的秩序之美。如果把运算分为三级：加减、乘除、乘方开方，那么积的乘方、商的乘方、积的开方、商的开方都可以看成是乘法分配律的拓展，上一级运算对下一级运算存在分配律，而(a+b)2≠a2+b2是因为乘方对加法相差二级运算。再比如，等差数列与等比数列的表达式结构完全相同，只是后者比前者高一级运算，式中的加升级为乘、乘升级为乘方，这样记住一个公式可以很快类推得到另一个。再如几种图形的面积公式可以归为一个，梯形面积公式最具一般性，上底为０就是三角形，上底与下底相等就是平行四边形，腰与底垂直时就变成矩形，腰与底垂直且相等时就变成正方形，这样梯形公式就可以代表这几个常见图形的面积求法，并且梯形面积公式还可以看成等差数列的求和公式。２.正方形ABCD的中心为O，同样大的正方形OEFG绕点O旋转，试证明重叠部分面积为定值。通常的思考方法是先把图形放在特殊位置，如OE⊥AB时，OE经过A点时，易知重叠部分面积是正方形面积的1/4，证明时通过构造全等把图形向这两种特殊情形转化，如下图：上述处理方法是很有用的，利用图形的特殊位置作为桥梁，把一般情形向特殊情形转化，这种思考方式对解决很多问题都是适用的。但是，就此结束仍没有触及问题的本质：上述两种转化方法的根本是什么？定值产生的原因是什么？稍加观察思考发现，两种转化方式是一致的，都是把图形中的一部分旋转90度，为什么旋转90度？显然是因为正方形的旋转不变性，正方形绕中心旋转90度与自身重合，图中的阴影四边形对应的中心角是90度，所以它的面积为正方形面积的1/4。由此推而广之，若正三角形的中心作120度的角，则所截四边形为正三角形面积的1/3；若正五边形的中心作72度的角，则所截四边形为正五边形面积的1/5；若正六边形的中心作60度的角，则所截四边形为正六边形面积的1/6；……。上述图形的证明方法仍然与上题一致，构造特殊边（中心与顶点连线或中心到边的垂线段），并旋转与中心角相等的度数，这一组问题实质是一个问题。这个问题还可以简化成“邻边相等对角互补”模型，如下图，AB=AD，AC=2，∠BAD=120°，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积。解法完全相同，如下图，把△ACD旋转至△AEB，把原四边形转化为△AEC，这样变成已知顶角和腰长的等腰三角形即可求面积。解题方法又与“共点等线用旋转”的一般规律联系起来，实质也是“一转成双·手拉手”模型。方法一：条件来看a、b、c的值无法确定，取特殊值a=b=c=1，代入得原式=1。从以上三种方式看，法一不具有一般性和严密性，法二方法虽好但难以想到，法三最具通用性，体现解此类问题的本质：消元！此法可以把任意一个字母用其它两个字母代替即可化简求出结果，而法二的实质也是通过分式变形进行消元使之只含两个字母才完成解题的。4.求点P（m-2，m+2）到原点的最短距离.代数方法：OP2=(m-2)2+(m+2)2，求得OP的最小值为2√2。几何方法：动点P所在直线为y=x+4，点O到直线的距离为2√2。数学的代数形式相对抽象，而几何形式直观形象，是对现实物理世界的刻画，比如欧氏几何可以应用于小尺度的近似平直空间，适用于牛顿力学，而黎曼几何可以应用于大尺度的弯曲宇宙空间，是相对论的数学工具。学习数学要把数与形的两方面相结合，才能更深入地理解数学知识和数学原理。（更多精彩内容待续）本人所著修订版《中考数学思维方法与解题策略》剖析思维方法，训练思维能力，把中考数学解题方法与策略系统化组织，为师生打造一款完整的思维方法与解题策略的训练方案，其中包含四大基本原则、四种通用策略、七类常用方法、十四个具体模型，涵盖了中考数学所涉的知识、方法与题型，一书在手，中考无忧，最适合于二轮复习使用，需要的朋友点击下方“阅读原文”或扫下方二维码进入微店购买，不用微店的请加微信“tzg5236”联系。购书读者可加入思维教学交流QQ群：307595472共同探讨交流思维教学与思维训练相关问题。长按扫码购书最新文章推荐：数学解题的道与术数学解题的道与术（续）《中考数学思维方法与解题策略》修订版中考二轮复习要做这件事“鸡兔同笼”竟可以这样讲点击“阅读原文”可进微店购《中考思维》

“鸡兔同笼”这个流传千年的经典问题打开了多少孩子的思维创造力，又启发了多少孩子的数学想像力！用好一题，一题可破千题，参透一理，一理可通万事，打开智慧，一朝彻悟胜十年。这道“鸡兔同笼”题怎样教学才能发挥它的最大效益呢？题目：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？问题设计：1.每只动物都按2只足，根据头数计算足数：(94－35×2)÷2=12，35－12=23，得兔12只，鸡23只。请解释算式，35×2表示什么意义？【每只动物按2只足计算的足数】94－35×2表示什么意义？【比实际足数少算的总足数】÷2中的2代表什么意义？【每只兔少算了2只足】(94－35×2)÷2整体表示什么意义？【少算的总足数除以每只兔少算的足数得免子数】2.请模仿上述算式给出另一种类似解法，并说出算式的意义。【每只动物都按4只足，根据头数计算足数：(35×4－94)÷2=23，35－12=12，得兔12只，鸡23只。】3.每只动物都按2只足，根据足数计算头数：94÷2－35=12，35－12=23，得兔12只，鸡23只。请解释算式的意义。【每只兔算2只足，按足数算则兔数比实际数多了一倍，总差即为多出的数量是兔数的一倍】4.列出与方法3类似的算式，并解释其意义。【每只动物都按4只足，根据足数计算头数：(35－94÷4)×2=23，35－23=12，得兔12只，鸡23只。意义：每只鸡算4只足，按足数算则鸡数比实际数少了一半，总数差即为少掉的数量是鸡数的一半。】5.数形结合：如下图用足数表示面积，则一边长为鸡兔数，另一边长为每只动物足数，由面积与边长关系可先求得兔数，再求鸡数。此法与方法1本质相同，是方法1中算式的图形表达。6.依照方法5用类似方法计算，并指出与前面4种方法的联系。【根据面积关系可先求鸡数，再求兔数】7.如下图，把图形先割再补拼成边长为2的长方形，如何计算？是前4种方法中哪一种方法的图形表达？8.再画出前4种方法中还有一种方法的图形表达。9.设鸡有x只，可以怎样列方程？（1）按足数关系列方程：2x+4(35-x)=94（2）按头数关系列方程：x+(94-2x)/4=3510.设兔有x只，怎样用两种关系列方程？11.设鸡足共x只，可以怎样列方程？（1）按头数关系列方程：x/2+(94-x)/4=35（2）按足数关系列方程：x+4(35-x/2)=9412.设兔足共x只，怎样用两种关系列方程？13.设鸡有x只，兔有y只，怎样列方程组？14.设鸡足共有只，兔足共y只，怎样列方程组？15.通过以上各种方法的解答，你有什么发现？（1）方程方法比算术方法简单易想，所设未知数越多，方程越容易列，因为方程是顺向思维，直接根据题中关系列式，算术方法是逆向思维，根据互逆运算反求答案。方程解法列式简单计算过程多一些，算术方法列式困难计算简单直接。（2）每种方法都要利用四个条件数据：2，4，35，94；每种方法都分别利用了头数关系和足数关系。说明问题要得以解决必须要把所有条件充分利用。（3）解方程时求未知数的式子与算术方法所列式子相同。也就是说方程变形得到求未知的式子可以用实际意义来解释，这说明方程的解法是对实际意义的高度抽象和概括。所有数学规则都是对现实问题的高度抽象和概括，所以它反过来可以应用到各种实际问题中。16.钢笔每支3元，铅笔每支1元，买12支笔共花了22元，问钢笔、铅笔各买多少支？试用前面各种方法解决本题。17.上题与鸡兔同笼问题有何共同点？都涉及两种对象的两种数量关系，且已知两种对象的总数量及单位量：鸡兔的总头数（钢笔铅笔的总支数），鸡兔的总足数（钢笔铅笔的总钱数），每只鸡足数（钢笔单价），每只兔足数（铅笔单价）。这类问题可以称之“双和问题”，是一种很常见的问题。18.试编写一道类似的可以用同样方法解决的问题。如：（1）球赛胜一场得3分，负一场得1分，某队赛了12场，共得22分，求胜负各几场。（2）[2017张家界]某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，每件衬衫的批发价和零售价如下表：批发价/元零售价/元黑色文化衫1025白色文化衫820假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑、白两种文化衫各多少件？19.几个小孩分苹果，每人7个剩4个苹果，每人9个少8个苹果，共多少苹果多少个小孩？试分别用算术解法、图形解法、方程解法至少三种方式解答。（1）算术解法：每人分9个比每人分7个苹果总数多(4+8)=12个，每人多2个，所以人数为12÷2=6，7×6+4=46，共6个小孩，46个苹果。（2）图形解法：用面积表示苹果数，人数为边长，如下图：（3）方程解法：设有x个小孩，7x+4=9x-8，x=6，7×6+4=46，即共有6个小孩，46个苹果。设有x个苹果，(x-4)/7=(x+8)/9，x=46，(46-4)/7=6，即有6个小孩，46个苹果。学生在思考解决上面问题的过程中收获的不仅是解题的经验和方法，还学会了类比归纳探索创新，同时感悟到数学的灵活多样与和谐统一，思想态度得到无形熏陶，能力素养得到同步发展，也许这就是数学教学的根本之道。本人所著《中考数学思维方法与解题策略》剖析思维方法，训练思维能力，把中考数学解题方法与策略系统化组织，为师生打造一款完整的思维方法与解题策略的训练方案，其中包含四大基本原则、四种通用策略、七类常用方法、十四个具体模型，涵盖了中考数学所涉的知识、方法与题型，一书在手，中考无忧，最适合于二轮复习使用，需要的朋友点击下方“阅读原文”或扫下方二维码进入微店购买，不用微店的请加微信“tzg5236”联系。购书读者可加入思维教学交流QQ群：307595472共同探讨交流思维教学与思维训练相关问题。扫码购书最新文章推荐：数学解题的道与术数学解题的道与术（续）《中考数学思维方法与解题策略》修订版中考二轮复习要做这件事点击“阅读原文”可进入微店购书

一般来说中考前各学科都经过了几轮复习，但是从复习效果来看，思维水平有所突破的学生还是比较少，大部分学生还是处在原有的相对阶层。我认为这与很多老师复习时重知识概念轻方法策略有一定关系！知识概念的熟练掌握对解决简单问题很有帮助，但对解决复杂问题肯定是不够的，没有方法策略的解题是盲目的机械的，缺少逻辑性灵活性。复杂问题涉及到对知识概念的选择、组织、改造，以及对问题进行转化、构建，把陌生问题变成已知问题而解决。因而掌握知识概念只是最低要求，真正决定高层次解题能力的是思维方法与解题策略的掌握程度。一般的教学大多注意到知识概念的系统化，对方法策略的系统化没有太多的研究，方法策略的教学零散无序不成体系，这就在很大程度上影响了学生能力水平的有效提升。我认为中考复习至少应该包括：第一轮复习：知识概念的系统化；第二轮复习：方法策略的系统化；第三轮复习：综合模拟训练。当然，知识概念教学与方法策略教学不是截然分开的，要紧密结合互相渗透，而且应该贯穿于平时的常规教学，中考复习只是加以系统化的整理回顾，思维教学要长期坚持才有好的成效。从广义的知识范畴来说，数学的知识概念属于陈述性知识，解题的方法策略属于程序性知识。陈述性知识解决“是什么”的问题，是一种静态的知识，是输入信息的再现，是一个有意的过程；程序性知识解决“怎么做”的问题，是一种动态的知识，是信息的变形和操作，是相对自动化的过程。正因为程序性知识是自动化的操作过程，在某种程度上有“可意会难言传”的特征，所以它往往难以明确不易把握，以致于有些人认为它无法直接教授，只能通过老师反复演示学生反复练习的方式让学生自悟。其实不然，程序性知识可以先以“陈述性”形式表达，再在实践练习中执行、验证、完善，从刻意练习到自动化、习惯化，最终形成程序性知识。数学学习中解决问题的策略方法属于程序性知识，要想让学生有效地掌握这类知识，老师首先要对各种策略方法进行总结归纳，并进行明确表达合理阐述，形成逻辑自洽结构完备的系统，让学生易于理解记忆，然后辅以恰当的习题材料，进行适量的刻意练习，在一以贯之的反复运用中让学生内化掌握。复习时对练习内容和数量的把握很重要，有些老师信奉的“题海战术”并不可取，水可载舟亦可覆舟，简单的“题海战术”是覆舟之术，不仅无益，反而有害。适度的解题训练是必要的，但绝不是简单的数量累积，训练内容要具有良好的结构性，结构不同，效能不同，就像金刚石和石墨虽然组成元素完全一样，决定它们性质呈现巨大差异的原因是其结构方式不同。一般的中考复习资料只是简单地按题型归类或做试题解析，虽然对一些常用方法策略有所提及，但流于散乱无序，缺乏系统的阐述和训练，对思维提升的效果有限。要想扎实有效地提升学生的解题能力，思维方法与策略的系统化训练必不可少。若能把解题的策略方法掌握熟练透彻，则解题时方向明确思路清晰，依靠逻辑分析，较少做无用功，问题的解决是必然的，若方法策略不熟，解题时只能依靠经验和记忆，思考漫无目的没有章法，特别是遇到陌生疑难问题便会一筹莫展无从下手，问题的解决是偶然的。下面试举例说明如何从方法策略层次指导解题。例1.直线y=-√3/3x+1交x轴、y轴于A、B点，以AB为直角边在第一象限内等腰直角三角形ABC，D（a，0.5）是平面内一点，当△ABD与△ABC的面积相等时，求a的值.本题是求符合一定条件的未知点位置，常用方法是“轨迹定位”，从所给条件看，由D（a，0.5）知D点在直线y=0.5上，由△ABD与△ABC的面积相等知D点到AB的距离等于AC，即D点还在平行于AB且到AB距离为2的两条平行线上，这样D点的位置确定，如下图。坐标系中求点坐标主要有两种思考方式：（1）代数方法：方程解析法，AE=2AC=4，图中的两条平行线可看成直线AB分别向左右平移4个单位而得，所以表达式分别为y=-√3/3(x+4)+1或y=-√3/3(x－4)+1，它们与直线y=0.5的交点易求得D1（√3/2－4，0.5）、D2（√3/2+4，0.5）。（2）几何方法：图形构造法，在坐标系中求值时常用“改斜归正”构造图形求相关线段，如下图，易得HE=√3/2，OH=4－√3/2或4+√3/2，同样可得D点坐标。这里的两种思路对于坐标与图形类问题是通用的，从这两方面思考很容易找到解题方法，而且具体方法是有多样的，如求平行线CD的表达式可通过求与y轴的截距向上平移得到，或求C点坐标得到，如求D点横坐标可由下图中黄色三角形的直角边得到。可见掌握方法策略后就能够视野开阔宽广、思路灵活多样。例2.如图，M是线段AB的中点，AC=CE，BD=DE，∠ACE+∠BDE=180°，求证：∠CMD=90°.本题从条件来看，信息孤立无联系，无法进行下一步推理，这种情形适用于常用方法“运动变换”，如何变换呢？显然这里有常见线索“共点等线用旋转”，或用“中点模型”：“X形全等”或“A形相似”。如下图，将△ACM绕点M旋转180°：显然，可得CM=MN，要证DM⊥CN，只要证CD=DN即可，而CD、DN所在三角形可证全等，正好可以充分利用已知条件：CE=AC=BN，DE=BD，如下图：两边分别相等易得，夹角相等似乎不那么容易看出来，但我们确信只要把条件：∠ACE+∠BDE=180°充分转化利用，一定可以推得夹角∠DBN=∠E。如下图，延长BD交AC于P，因∠PDE+∠BDE=180°，故∠PDE=∠ACE，得∠CPD=∠E，由AC∥BN又得∠CPD=∠DBN，终得∠DBN=∠E，问题得证。是怎么想到延长BD的呢？线索1：由∠ACE+∠BDE=180°想到构造∠BDE的补角，即得与∠ACE相等的角；线索2：由AC∥BN想到构造内错角把∠DBN转化，以进行条件的集中。与前法思路相同，如下图把△BDM绕点M旋转180°，请你用“移花接木”的方法试一试如何把上面的方法迁移。用同样的策略方法：“共点等线用旋转”，我们把△ACM绕点C旋转至△ECN，再证△DEN≌△DBM，由CM=CN，DM=DN，易得∠CMD=∠CND，又∠MCN+∠MDN=∠ACE+∠BDE=180°，所以∠CMD=∠CND=90°。这里留个坑：△DEN≌△DBM怎么证得？请读者自证，其思维逻辑与前面完全相同。由边角关系出发，如下图，把两个等腰三角形补成两个直角三角形，构成“一转成双”模型，△AEG∽△FEB，△AEF∽△GEB，从整体上看两个直角三角形是旋转缩放关系，旋转角为90°，因此对应边AF、BG相互垂直，而CM、DM分别为△ABG、△ABF的中位线，所以CM∥BG、DM∥AF，可推得CM⊥DM。导角的具体方法请读者自思。沿着同样的思路，由“共点等线用旋转”，分别把△CME、△DME旋转至△CFA、△DGB，如下图，请读者自行脑补证明方法。（这种方法有点麻烦）有没有发现上面几种解法其内在逻辑与方法是一致的？而且其所含基本图形也是类似的，特别是导角所用的图形与过程都非常相似。值得一提的是，我们的解题并不是一眼看到解题的全过程，而是根据常用策略方法的指引逐步进行构造联系，不断靠近答案，最终完成问题的解决。就像我们开车到远方某地，并不需要直接看到终点，只要把握好方向，正确地走好眼下可见的一段路程，最后必然能顺利到达目的地。方法与策略具有普适性，它既可以为审题提供思考的方向，也可以为解题提供恰当的工具，掌握数学解题的方法策略才是解题能力的真正提升。本人所著《中考数学思维方法与解题策略》正是为了解决解题方法与策略的系统化问题，为师生打造一款完整的思维方法与解题策略的训练方案，其中包含四大基本原则、四种通用策略、七类常用方法、十四个具体模型，涵盖了中考数学所涉的知识、方法与题型，一书在手，中考无忧，最适合于二轮复习使用，需要的朋友点击下方“阅读原文”进入微店下单购买。具体方法：1.点击文末“阅读原文”或扫描二维码可打开微店链接下单购买；2.打开微店APP搜索书名下单购买；3.复制引号内地址“https://weidian.com/item.html?itemID=2695594988”至浏览器打开；4.不用微店的请加微信“tzg5236”联系。扫码购书近期文章推荐：数学解题的道与术数学解题的道与术（续）《中考数学思维方法与解题策略》修订版点击“阅读原文”可进入微店购书

本人所著《中考数学思维方法与解题策略》面世后得到广大读者的广泛肯定与好评，首印本几天售罄，之后收到数百条求购留言，很多朋友多次催促再印。非常感谢大家的认可和支持，这是笔者创作的动力之源，同时也油然在内心生长出一种使命：让数学更易学、更有趣、更有用！让数学更易学，不是降低难度，而是提供方法、搭建阶梯，只要有合适的阶梯引导，哪怕是万丈高山，循序渐进拾级而上，有何难哉！让数学更有趣，就是探索数学问题的内在规律，发现数学方法的神奇巧妙与和谐统一，让思考自然通畅合乎逻辑，让学习成为一种思维的游戏。让数学更有用，是让数学学习成为开发智力的活动，让数学学习中获得的思维方法与理性精神为其他科目学习和后续学习提供有益的帮助。不少人之所以对数学不感兴趣，就是因为没有找到数学的规律，没有领悟数学的本质，没有打开理性思维之门，于是才感觉枯燥无味，进而感到艰深难懂。所以要想学生对数学感兴趣不畏惧，首先要想方设法使数学变得简单，而数学中最关键的不是知识概念，而是思维方式和思想方法，这是数学教育者应该着力研究的地方。学生若能顺利学好数学的思维方法，解题时就能视野开阔思路灵活，数学学习就会变成思想的游戏和成功的体验，大大促进数学学习的效果。这也是笔者编写《中考数学思维方法与解题策略》的初衷，希望读者能以正确的方式用好这本书，发挥它的最大作用！《中考数学思维方法与解题策略》修订版已开始发售，购买请进微店下单。具体方法：1.点击文末“阅读原文”或扫描二维码可打开微店链接下单购买；2.打开微店APP搜索书名下单购买；3.复制引号内地址“https://weidian.com/item.html?itemID=2695594988”至浏览器打开；4.不用微店的请加微信“tzg5236”联系。部分读者反馈：扫描二维码购书点击“阅读原文”购书

总结各类几何最值问题，不管是单线段最值还是多线段和的最值，最终都转化为点到点、点到线的问题（以此为基础还有线到线、点到圆、线到圆、圆到圆几类问题），所不同的仅是转化手段的各有不同.我们还可以总结数学中最基础最常用的六种武器，代数三种：方程、函数、不等式，几何三种：相似（含全等）、勾股、三角.再加上四大顶级招式（几何变换）：平移、旋转、翻折、缩放，大部分数学难题便可以轻松解决了.我们再上两道最值题来享用一下.1.ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD=2，BD=6，E是AC上一点，∠EDF=90°，∠DFE=30°，求BF的最小值.简析：ΔDEF是定形，BD是定长，以BD为边构造30°的直角三角形DPB，或看成把ΔBDF旋转缩放至ΔPDE，两种方式可以互推，是等价的.得BF=√3PE，而P是定点，E是AC上的动点，转化成点到线问题，PE⊥AC时求得PE=√6-√2，所以BF最小为√3(√6-√2)=3√2-√6.再用轨迹法，由主从联动模型可以判断，当E点在AC上运动时，F点的轨迹也是线段，具体怎么证明呢？还是用顶级绝招：变换－旋转缩放，A是E点所在轨迹的端点，用它变换再合适不过了，如下图，把A点旋转90°并放大√3倍，仍然等价于构造ΔADP∽ΔEDF，还是一转成双（手拉手）模型，再证ΔADE∽ΔPDF得∠DPF=∠DAE=45°，因而PF是定线，仍是转化为点到线问题，当BF⊥PF时即为所求最小值.2.如图，正三角形AOB的中点E在x轴上，OE＝6，C是x轴上一点，ΔACD是正三角形，求DE的最小值.简析：图形仍是一转成双（手拉手）模型，容易看出ΔADB≌ΔAOC，DE是AB边上的中线，对应边AO上的中线CF=DE，转化为求定点F到x轴的最短路径问题，是不是太简单了？再从轨迹的角度观察，D点是C点绕A点旋转60度，所以D点轨迹是x轴所在直线绕点A旋转60度.从ΔADB与ΔAOC的位置关系来看，BD与CO的夹角等于旋转角为60度，E点到直线BD的距离即为DE的最小值.在筑路工人的眼里，石头只是铺路的材料，在雕刻家眼里，石头里却藏着一尊神像.在以上问题中，有的同学有困难多数是因为看待问题的视点不够高，如本题中D点不要仅看作是一个点，而是一条线，且与C点所在的线是旋转60度的关系，所谓轨迹或集合就是点动成线而已.我们再看另一类常见问题，满足特定条件的下面几个图形中，AC、BC、DC都存在特定的数量关系.所用构造方法仍是旋转变换－一转成双模型.BC+DC=√2ACBC+DC=ACBC+DC=√3AC实质上ABCD四点共圆，当C点旋转到弦BD的另一侧时，AC、BC、DC仍存在类似的数量关系，如下图.BC-DC=√2ACBC-DC=ACBC-DC=√3AC不难看出，这种“等线定角+对角互补”的图形通过旋转变换可把BC±DC转化为等腰三角形的底边，AC则为等腰三角形的腰，问题转化为求确定形状的等腰三角形的底和腰的数量关系.若设图中∠BAC=α，∠BDC=180°-α（同侧为α），则可得BC±DC=2sin(α/2)AC.我们对这类问题深入研究一下，图中的ΔABD由等腰三角形改为其它任意形状确定的三角形呢？∠BDC由与∠BAC相等或互补改为任意确定的角度呢？从前面问题的解法来看，只要ΔABD形状一定，∠BCD一定，那么通过相似构造必然可以把与AC、BC、DC相关的线段转化到一个定角三角形中.1.如图，∠BAC=∠BCD=90°，tan∠ABD=2，试求AC、BC、DC的数量关系.简析：作∠CAP=90°，P在CB的延长线上，可得ΔABP∽ΔADC，ΔACP∽ΔADB，所以BP=1/2CD，在RtΔACP中，CP=√5/2AP，所以BC+1/2CD=√5/2AP.2.如图，∠BAD=60°，AB=AD，∠BCD=30°，试求AC、BC、DC的数量关系.简析：任意选择三条线中的一条线作等边三角形，如下图，作等边ΔCDP，得ΔADP≌ΔBDC，∠APD=∠BCD=30°，于是同样得到定角三角形RtΔACP，由CP2+AP2=AC2，得CP2+AP2=AC2.3.如图，∠BAD=90°，AD=2AB，∠BCD=45°，试求AC、BC、DC的数量关系.简析：把ΔABD旋转缩放至ΔAPC（或看成把ΔACD旋转缩放至APB），同样得到定角ΔBCP，其中∠PBC=135°，PB=1/2CD，PC=√5/2AC，由ΔBCP的三边关系即可推得AC、BC、DC三条线段的关系.构造含45°的直角三角形即可求ΔBCP三边关系，PH=BH=√2/2BP=√2/4DC，(√2/4DC)2+(√2/4DC+BC)2=(√5/2AC)2，得BC2+√2/2DC·BC+1/4BC2=5/4AC2.由上面的探索，AC、BC、DC中已知其中两条的长度就可以求出另外一条线段的长，我们可以设计下面的问题.4.如图，∠ABD=90°，AB=BD，∠BCD=45°，BC=5，CD=2，求AC的长.简析：如下图，构造等腰直角三角形ΔCBP，得到直角三角形ΔAPC，AP=CD=2，CP=5√2，得AC=3√6.同样，本题有多种构造方式，如下图：这类问题解法的本质是把图形的形状条件与大小条件进行充分结合和相互转化，图中ΔABD与ΔBCD显然是形状大小都能确定的，但所求线段AC所在的三角形缺少与已知条件的联系，而通过旋转缩放把已知条件完美联系叠加，构造出包含所求线段且形状大小确定的三角形，如上题中构造产生的以P为顶点的直角三角形.这就是数学解题中从定和变的角度思考把条件进行转化联系，从而构造出完整的数学模型使问题得以解决，这种“联想推理”“定变分析”“完形构造”等策略在本人所著《中考数学思维方法与解题策略》中均有所阐述.推荐阅读：《中考数学思维方法与解题策略》助你成功站得高，望得远，想得透，看得明思维教学（一）：思维是教学的核心思维教学（二）：策略与方法思维教学（三）：比标准答案更好的解法思维教学（四）：诸法归一一以贯之思维教学（五）：例说解题三境界思维教学（六）：全景视角破解南通压轴题数学解题的道与术【扫码关注“生长数学”】

什么是智慧？智慧就是能够在纷繁复杂的现象世界中看见异同发现规律，再以此解决问题改造现实.这也是我们一切学习的最终目的.而数学提供了最好的工具和方法.在武侠小说中一切功夫以武道和心法为上，以招式为次，兵器更次，若无心法功力，即使倚天剑屠龙刀在三脚猫手中也无甚大用.像《倚天屠龙记》中的九阳真经：“他强任他强，清风拂山岗，他横由他横，明月照大江”，就不是具体的招式，而是武功心法.它虽没有招式，但能产生一切招式，它虽未及兵器，但能役使一切兵器.学习也要从道、法、术、器的不同层面进行深入研究领悟，才能更好地掌握该学科的精髓和本质.多说无益，且看实例，来吧，上题.例.Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3/4，AD=3，CD=4，BD的取值范围为

孙悟空为什么比猪八戒厉害？因为孙悟空有火眼金睛，外看皮相，内观神魂，所以妖魔鬼怪无所遁形，加之七十二变和如意棒，降妖除怪便能轻而易举。我们解题也是一样，视点站位高才能看到整体，方法理解透才能灵活应变，我在《中考数学思维方法与解题策略》中提出的全景思维就是为了培养思维的开阔性和灵活性。全景思维是一种立体的、联系的、变动的思考角度，既见树木又见森林，观其形相求其本质，不拘于一隅，不限于一法，不断突破定势，随时生长创造，从而发现解决问题的最佳路径。下面以中考题为例探讨如何在全景视角下聚焦突破题目的难点。2018南通中考卷第28题：【定义】如图1，AB为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．【运用】如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，√3

解题的三境界“偶然、必然、自然”可以比拟禅宗修道的三个境界：第一境：山就是山，水就是水。此境见到的是山水的外相直感，形态各异，互不相关，在解题是就题论题，只知其然，是偶然层认知。第二境：山不是山，水不是水。此境所见是山水的内在解构，山有山质，水有水性，在解题是寻找规律，求其所以然，是必然层认知。第三境：山仍是山，水仍是水。此境见到了山水的本来面目，山自成山，水当是水，在解题是直见本质，知其何以所以然，是自然层认知。下面探讨南京市鼓楼区的一道模拟题，可以看出思维层次不同，会导致解题效率千差万别。题目：如图，将一副三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°。若三角板ABC的位置保持不动，将三角板DCE绕其直角顶点C顺时针旋转一周，当△DCE一边与AB平行时，∠ECB的度数为

《论语》中孔子多次提到“一以贯之”。子曰：“参乎，吾道一以贯之。”曾子曰：“唯。”子出，门人问曰：“何谓也？”曾子曰：“夫子之道，忠恕而已矣。”

今天做了2018连云港中考卷，评讲第26题时，学生提出了比标准答案更多更好的方法，我也作了适时的总结归纳，同学们对函数与图形问题的解法有了进一步的认识，下面呈现主要评讲过程.师：陆游曾对儿子说“汝果欲学诗，功夫在诗外”，知道是什么意思吗？生：要想学写诗，功夫要放在诗的外面。师：这是字面意思，想想看，诗外指的是什么呢？生：应该是丰富的生活经验、独特的思考感悟之类.师：我想改成“汝欲学解题”，下一句应该是什么？生：功夫在题外.师：题外有什么？生：思考策略和思维方法……师：若改成汝欲学数学，功夫在什么？生：……师：功夫在思维呀！好了，看题.题目：如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．师：第（1）问报个答案略过.第（2）问的思路与方法是什么？生：利用函数表达式设点坐标，再用点坐标表示线段长，然后根据正方形的边长关系建立方程求解，有解则存在，无解则不存在.师：这个正方形的位置有什么特征？为什么？生：各边与坐标轴平行。因为正方形与抛物线都是轴对称图形，所以可判断整体也关于y轴对称.师：是啊，在坐标系中我们最喜欢的就是这样与坐标轴平行的线段，为什么呀？生：因为这样的线段可以直接利用坐标来表示长度，也可以转化成坐标.师：如何判断是否存在内接正方形？生：设出点坐标，再表示出正方形边长，由正方形边长相等建立方程，若方程有符合题意的解，便存在，若无便不存在.师：第（3）问是什么样的问题？已知什么？求什么？生：已知一个确定的三角形，求另一个三角形与它相似，所求三角形已有两点确定，一个点的对应关系确定.师：那就是已知三角形两点，求第三点，所求三角形能确定哪些数量？生：一组对应边已知，所以相似比确定，可求另外两边长度，三个角大小也确定，但另外两边和两角对应关系不确定.师：需要分类吗？如何分类？生：当然需要，只有一点的对应关系确定，另外两点分别有两种对应关系，而且还要考虑到每种对应在已知边的两侧各有一点.师：说说具体解法.生1：先求最简单的一点，当DE1与DC对应时，由∠ADE1=∠BDC=∠ADO知E1点在y轴上，列比例式求DE1=2.5，可得E1点坐标为（0，－0.5）.再把E1点沿AD翻折至另一侧得E2，易知∠E1AE2=90°，构造K形全等容易求出E2坐标，如图，E2（1.5，－1）.师：此法甚妙，在E1点的基础上求E2点坐标，借助一个直角构造K形全等达到改斜归正的效果，直接秒杀了E2点.这个解法比教辅书上提供的标准答案简单多了，你可以写一套更好的试题解析了.师：还有两个点坐标怎么求？生2：换个对应关系，当DE3与BC对应时，由∠DAE3=∠BDC=∠ADO知AE3与y轴平行，AE3=2.5，易得E3（1，－2.5），同样再把E3点沿AD翻折至另一侧得E4，易知∠E3DE4=90°，构造K形全等同理得E4（－0.5，－2）.师：若∠BOC不是45度这种解法还能行么？该怎么办呢？生3：由对称关系得AD垂直平分E1E2，可以构造直角三角形和相似三角形，再求E2点坐标，如图，蓝色、黄色三角形都是直角边为1:3的三角形.师：还有不同的想法吗？生4：E2和E4点与AC构成平行四边形，求出E2后根据平行四边形的顶点坐标关系可求E4的坐标.师：谁还记得平行四边形的四个顶点坐标有什么关系？写出关系式.生5：相对顶点坐标之和相等，E2（1.5，－1），设E4为（m，n），则m+1.5=0+1，n-1=0-3，得E4（-0.5，-2）.（我看了看《江苏13大市中考数学试卷》答案解析，发现书中提供的第（3）问解法是最复杂的……，算了，这种解法不用再说了）师：我们从整体看四个点的位置和四个三角形的特征，换个角度看，这是一个什么问题？生：……师：四个三角形的形状大小什么关系？生：全等.师：由于所求三角形的形状大小确定，且有两点确定，那么第三点的位置有几种情况？它和我们以前在全等三角形中做过哪种作图题实质是一样的？生：有四种情况，相当于已知一个确定的三角形，以一条边为公共边作全等三角形，像下图，已知△ABC，作△ABC的全等三角形△ABD.只要画出一个三角形，其它三角形都可以通过翻折、旋转得到.师：本题运用的方法策略有哪些？生：【定变分析】，利用相似关系看所求三角形能确定哪些数量和位置；【改斜归正析】，向坐标轴作垂线构造直角三角形和相似三角形；【分类讨论】，按对应关系和位置范围进行分类；【移花接木】，借助前面已得结论或方法解决后面问题；【方程解析】，设出点坐标根据图形中线段关系建立方程求解……题目虽有种种不同，知识方法可归为一，诸法归一，一以贯之，则能化难为易，化昧为明.中考数学提优教程《中考数学思维方法与解题策略》是本人从事思维教学研究的实践总结，正在微店热卖中，好评率100%，还有少量剩余，需要的朋友请点击下方阅读原文或扫描下面二维码进入微店购买，或加微信“tzg5236”联系.参考阅读：《中考数学思维方法与解题策略》站得高，望得远，想得透，看得明思维教学（一）：思维是教学的核心思维教学（二）：策略与方法扫码关注“生长数学”

一个基本的教学策略是：高结构的教学对应低水平的学生，低结构的教学对应高水平的学生。结构的高低是指老师对教学内容和教学进程的控制程度，水平的高低指的是学生的思维层次自主能力的高低。当学生能力水平较低时，老师教学应该内容详实要求明确逻辑严密，以使学生能得到相应的收益；当学生能力水平较高时，老师教学中可以减少对具体内容和过程的控制，扩大学生的自由度，让学生自主思考探索、提出方案、反思总结，这也是教学的最终目的：教是为了少教、不教，学是为了会学、创造。在阶段教学进程中，老师应该有意识有计划地降低结构度，以使学生的思维发展逐步摆脱依赖持续成长。思维能力的培养和训练是一个长期的系统性工程，老师要想做好思维教学，要有认知心理学相关知识，要有丰富的教学实践经验，要有系统性思维，要熟悉学科思维方法，要精心选择教学内容，要随机调适教学方式，要实时调控教学节奏，要随时监测评估学生的思维状态。简而言之，老师在思维教学中要做的事用可以两个字概括：“点”和“练”。“点”就是点拨思路、点透原理、点明方法，以达到思维方法的明确化、逻辑化；“练”就是练会、练对、练熟，以达到思维方法的情境化、习惯化。《西游记》中的猴王悟得长生之理习得七十二变筋斗云之后，为什么还要历经十万八千里九九八十一难？佛家与道家的教法都讲究“先悟再证”，要先“点悟”、“点化”，再“历练”、“修练”，这也是教学的一般规律。所以美猴王有两个名号，“悟空”之后，还要做“行者”，才能脱胎换骨蜕变成佛。苏格拉底把教师比喻为“知识的产婆”，他的教学方法被称为“助产术”，这是最早的启发式教育。智力超群的学生或许能够对蕴含在知识学习中的思维方法不言自明，但这种层次的学生只占2%，对于多数学生来说，对思维方法的理解和掌握并不能做到不点自破，需要老师实施“助产术”。“助产术”所接出的“孩子”不是知识结论和题目答案，而是思维方式和思考策略，当学生能明确描述：“这是一个什么样的问题”、“我是如何思考的”、“我为什么要这样思考”、“我遵循的策略和方法是什么”，直至能够评价：“我为什么会失败”、“我为什么能成功”、“这个方法与那个方法的异同和优劣在哪”，甚至有了创造的欲望和能力：“我对这个知识（方法）有新的发现或拓展”、“我总结（创造）出一种新的策略方法”，这时我们的思维教学才是成功的。有经验的助产师能够判断何时对产妇提供何种程度的帮助，这正是老师需要把握的。老师的“点”功也是这样，点早了，学生得到的东西是未发育成熟的早产儿，很容易夭折，点迟了，一是浪费时间和机缘，二则导致发育不良生长迟缓。从数学学科的特点来看，“点”就是概括规律、建立规则的过程，即为“诸法归一”，“练”就是验证规律、应用规则的过程，即为“一以贯之”。从对应的数学素养来说，“诸法归一”是数学抽象，是从特殊到一般，“一以贯之”是逻辑推理，是从一般到特殊，这两种最重要的数学核心素养若能长期坚持训练，学生的数学思维能力必定会得到很好的发展。“点”的工作可以由老师来做，也可以由水平较高的学生来做，而且要不断地发展更多的学生来做这件事。当学生没有方向时，点拨解题的思路和起点，当学生迷惑不解时，点透问题的原理和来由，当学生混沌无序时，点明思维的方法和逻辑。文学中月朦胧鸟朦胧是一种意境，但数学中如果朦胧不清则是一种无知和过失，数学思维方法要明确化、逻辑化，才能被真正理解和掌握，才能在恰当情境中反复迁移和应用，所以老师要创造条件，帮助学生点破那层纸，让学生清清楚楚地看到怎样的思维才是自然合理且快速高效的。逻辑化就是解决问题时有依据有范式有程序，从问题的条件出发，结合数学中常用的策略方法，进行联想推理，建立合适的数学模型来解决，整个过程不是空穴来风无中生有，而是顺藤摸瓜有据可依的。“练”就是训练，是学生操作、验证、应用、修整、强化的过程，这是能力提升的必由之路。训练使学生对思维方法掌握的层次由会到对到熟，最终内化为一种思维方式和思维习惯。当然对思维方法进行合理地总结归纳，使之系统化结构化，层次分明逻辑明确，就会更容易被学生理解内化，让思维方法的运用达到情境化习惯化。情境化就是在具体问题中能够激活所学所知的思维方法，并能恰当地应用相应方法正确地解决问题。要想做到这一点，在解题训练中要让学生先辨别各个问题的情境特征，加以分门别类，弄清“这是什么样的问题”，其次再与相应的知识与方法进行联结，弄清“我是用怎样的方法”，否则，简单盲目的解题训练必是低效的。值得一提的是，老师不能以自己的思维状态去想像学生，学生是走在陌生路途的探路者，老师则是拥有多年操作经验的熟练工。学生不可能再花老师那么多时间浸淫某一个科目，老师要把自己的经验转化为智慧，站在学生的角度思考如何高效地促进学生的深度学习，而且要关注到很多学生并不是一教便知一点便透，仍需要一个反复回顾反复深入反复调整的螺旋式上升过程。笔者计划开发一套数学思维方法教程，结合中考要求和实际教学进度，为思维教学提供参考资料和方法指导，有兴趣有想法的老师可以加入合作。我们的目标是：让数学更易学，让数学更好教。要实现这一目标只有一个途径，就是搞好思维教学，让思维方法更完善，让思维能力更强大。下期讨论思维教学的操作方法和具体案例，敬请关注。欢迎有志于研究探讨思维教学的老师加入思维教学交流QQ群：307595472。目前笔者已编写一本中考数学提优教程《中考数学思维方法与解题策略》，这也是本人从事思维教学研究的实践总结，正在微店热卖中，好评率100%，还有少量剩余，需要的朋友请点击下方阅读原文或扫描下面二维码进入微店购买，或加微信“tzg5236”联系，诚恳希望各位读者对本书提出宝贵意见。参考阅读：《中考数学思维方法与解题策略》站得高，望得远，想得透，看得明思维教学（一）：思维是教学的核心扫码关注“生长数学”

林语堂说：“才干得教养则荣，不得教养则衰。”学生的学科思维一定是需要教之养之，才能得到更好的发展。反观现实，很多老师根本没有“思维教学”这个概念，还局限于“知识教学”，认为把知识学好了能力自然就有了，所以很多老师常讲：“该教的知识都教了，该做的题目都做了，学生还不会，那就是学生的事了。”这种意识还停留在教学的最低层次。布鲁姆提出的认知目标六个层级是：识记、理解、应用、分析、评价、创造。后三个是思维的高层次发展目标，越是高层次的目标就越抽象，越难以把握，越需要长期才能见成效，但这恰恰是老师作用的发挥所在之处，老师对此应该有自己的思考和方案。不管是为学生的终身发展着想，还是为最终的考试成绩服务，思维教学是学科教学的核心，这一点已是大家的共识。教之道在于度，学之道在于悟，教的是思维，悟的也是思维。但如何把握，如何实操，这是很大的问题！记得章建跃博士说过，数学老师要“理解数学、理解学生、理解教学”，可谓指出了数学教育的核心要点。理解数学不等于知道多少数学知识，会做多少数学题目，更要有对数学学科特征和本质的深刻理解，对数学思维方式和思想方法的熟练掌握，对数学解题的原则与策略的高度概括等。老师具备较高的学科素养还远远不够，因为教育的对象是人，教育的成果是人的发展。老师的素养要能够转化为学生的素养，那么须理解教育的对象、发展的主体－学生。老师要理解学生的认知特点，理解学生的心理需求，理解学生的成长规律，这样才可能师生和谐共振、良性互动。做到理解数学、理解学生，就可以修炼教学了。教学的“度”是什么？就是能更好地促进学生的“悟”。对于不同状况的学生要调整不同的“度”，同样的知识或问题，在不同的班级面对不同的学生有不同的教法，但要导向的终极目标是一样的，就是通过创造恰当的教学情境使学生产生持续的“悟”，最终获得最好或更好的思维成长和人格发展。这里的教学情境指的是老师所有的教学行为的总和，包括教学内容的设计、课堂结构的把控、学习过程的引导、练习测试的评价等。谈到教学“度”的把握，虽然没有一个精确的公式来计算测量，但也是有章可循有法可依的。想想我们是怎样教孩子走路的吧，当孩子骨骼肌肉没有发育好时，我们抱着他，当孩子刚学走路时，我们扶着他，当孩子蹒跚行走时，我们护着他，当孩子不辨方向时，我们引着他，当孩子跑跳自如时，我们放开他。教孩子学走路如此，教孩子学其它知识能力也是如此，只不过走路是简单技能，我们一看便知孩子处于什么状态，而思维教学是一项复杂技能，老师不仅需要相应的文化知识和学科素养，还需要更深刻的观察力和判断力才能辨知学生所处的状态和层次，以作出恰当的应对。《学记》有云“大学之法：禁于未发之谓豫，当其可之谓时，不陵节而施之谓逊，相观而善之谓摩。此四者，教之所由兴也。”此言一语道破教育教学的真谛，豫即提前预案做好准备，时即可为则为应机而为，逊即循序渐进顺应规律，摩即交流反思取长补短。首先第一条：有科学系统的方案，教什么？怎么教？如何训练？如何巩固？如何评价？看看吧，第一条我们就没有，专家们编的教材只有知识体系，没有思维体系，我们仅用这样的教材只能进行最低层次的教学。鉴于此，笔者进行了一些研究和探索，阅读了很多关于认知科学、心理学、行为学、数学思想方法、数学解题等相关文章和书籍，并且在教学中进行了思维教学实验。虽然因各种原因，实验未能连续进行，但即便从短期效果来看，所带班级占用时间少、学科成绩提升大、优生群体成长快，效果明显优于常规教学。正确的教和学会让教者和学者都越来越明白、越来越轻松，而非越来越迷惘、越来越艰难。思维教学属于生长性教学，它自带加速度，具有复利效应，所以思维教学的时间越长，优越性越明显。思维教学对学习者的要求是深度学习，它是一种本质性的学习，力求看见事物的内在联系和规律。思维教学也是一种哲学思考，它透过树木看见森林，同时透过森林理解树木，可以经由思考有限的树木而认知无穷无尽的森林，把陌生的森林逐渐变成可以自由玩耍的花园，精神在此成长，理性得以完善。巧妇难为无米之炊，萝卜不可能做出牛肉。思维教学尤需要设计系统化的课程资源，笔者为此做了初步尝试，目前已独立编制了一套用于中考复习提优的数学思维教程《中考数学思维方法与解题策略》，为思维教学提供了较为系统的内容，为有志于思维教学的老师和致力于思维提升的学生提供服务。关于本书的介绍请点击参阅文章：《中考数学思维方法与解题策略》、《站得高，望得远，想得透，看得明》。下期拟推文探讨思维教学的方式和策略，欢迎大家关注讨论。需要购买《中考数学思维方法与解题策略》的朋友请点击下方“阅读原文”链接进入微店，也可以加微信“tzg5236”联系，第一批印本还有少量剩余，欲购从速。探讨思维教学，欢迎加入思维教学交流QQ群：307595472。扫码加作者微信扫码关注“生长数学”

昨晚推文售书后，得到各地朋友的关注和支持，一天不到库存量已销一半，非常感谢大家的厚爱！有朋友发来信息反映书中介绍的解题思路和分析方法非常好，很惊奇怎么能想到那么多种解题方法，有的方法还没怎么看懂。类似问题在这里统一回复解释一下。回想我本人以前没深入思考和领悟解题的本质和高位思维方法的时候，拿到一个疑难问题也要苦思冥想，而且经常不得其解。现在反思，确实是思维方式的局限所致，经过一段时间有意识地深入探索和总结，并且与很多网友大咖交流学习，汲众家之长，寻找规律归纳方法，就能够对中考难题居高临下洞若观火了。《中考数学思维方法与解题策略》书中总结了四大原则、五种策略、六类方法、十四个模型，若能细加体悟，并勤加训练，相信不管是老师还是学生，对解题思路和方法的把握会上一个台阶。公众号中曾发文介绍高阶思维的三种视角：本源视角、全局视角、动态视角。本源视角下三角形的角是用来确定形状的，边是用来确定大小的，四边形的问题实质是三角形的问题，全局视角下动点不是点而是直线或曲线，图形不是散乱的点和线，而是可以组合成模型的整体，动态视角下图形通过运动可以互相转化，构造辅助线往往是图形的变换。很明显，思维视角的差异导致思维状态和效果完全的不同，原本杂乱的变成有序的，原本繁多的变成精简的，原本隐藏的变成显露的，原本无中生有变成探囊取物。如下题，你能在短时间内找到这几种构造方法吗？上面几种构造虽外在形式不同，其实质为一，任找一个与中点有关的三角形（或点或线）绕中点旋转180度（构造“X”形全等），或以线段一端为中心1:2

好消息：《中考数学思维方法与解题策略》开始预售，订购方式见文末。上次发文介绍《中考数学思维方法与解题策略》的编写情况后，多次收到全国各地老师、家长和学生朋友发来消息询问此书何时发售，心中甚感不安，一是对各位朋友的关注肯定感激不已，二是对首部作品的编写心怀兢惧唯恐有负众望，三是因工作繁忙常忧作品不能如期面世，这里再次感谢大家的关注和肯定。作为一名有良知的老师，我一直在思考如何给学生以真正的帮助，这个帮助应该是对其后续的知识学习、思维发展、精神成长能够持续地产生推动，如滚雪球般形成越来越大的能量。作为一名从教多年的老师，我也深知，在学生的人生旅途中，一名老师的影响力是有限的，但不代表可以忽视，也许有不确定的某一部分学生，会因为一位老师而改变今后的人生轨迹。数学学科素以“形式化的抽象”而令不少学生惧怕甚至厌烦，她那“冰冷的美丽”让一部分孩子敬而远之畏而逃之，我也曾想增添生动有趣的元素以增强亲和度，但由于数学的学科特征及初三阶段的时间紧迫性所限，行文语言需要简洁精炼直达主旨，并且要为读者留下一定的思考空间。设想可能在以后的文章中再尝试改变风格，尽力使数学学科语言和日常思维语言以最大限度的契合，以提升多数读者的阅读体验。利用繁忙的工作之余埋头码字，本书编写工作已总体完成。本书特别注重系统性，也许书中所提的观点、方法或模型不是首创，但可以说最具完整性和概括性，数学中考中常用的方法和模型都有所涉及，且逻辑自洽体系完整，线索分明思路清晰，有独特的哲学化的思维方式，对培养整体的、运动的、联系的哲学思维很有帮助。如作辅助线不是从点或线着手，而是从图形整体的联系与运动角度去思考，实质是作“辅助形”而不是作“辅助线”。很多学生对辅助线构造不得要领就是因为见木不见林，没有从整体的、运动的、联系的角度思考问题，所以极易产生迷失感。本书非常注重实用性，针对中考要求，追求通性通法，避免偏怪繁难，每部分内容都精心挑选设计了配套练习（绝大部分来自近年优质中考题），对讲义部分所介绍的策略与方法进行实战训练。配套练习也提供了答案与解析，习题解法没有照搬网上可以搜到的内容，而是贯彻书中所提的策略方法和思维方式，进行多方位的思路引导，尽量提供一题多解，很多解法是网上没有的。关于解题，大概分三种层次：偶然－必然－自然。偶然是本能的、感性的、随机的状态，必然是主动的、逻辑的、有序的阶段，自然是高度理性自觉的境界。我们现在所做的工作就是让学生的解题思维从偶然走向必然，经验是偶然的，逻辑是必然的，所以本书用逻辑化的方式概括了基本的常用的策略与方法，引进了一些或新或旧的名词概念。如常用方法中的“移花接木”法，指前题的结论或方法迁移到后题中，针对的是中考中经常出现的一种题型：几个连续问题虽外在形式变化但所用结论方法不变。概念化是思维的高级形式，概念是对特征的独特组合而形成的知识单元，借助概念层次的不断升级可以使思维的容量和效率大提高，但所提概念要精当简洁通用性强，不宜过多过杂。学生解题要达到必然的阶段需经过系统的训练和指导，在解题实践中不断思考、感悟，把解题的思想策略和方法规则进行抽象概括并充分内化。本书的主体内容已在自己所带班级进行实验试用，尽管新接手的班级原本基础不好，思维能力和学习习惯都有欠缺，但是经过一段时间的持续训练和悉心指导，很多学生反映在思维方法上有很大收获，解难题时思路清楚了、方向明确了，考试成绩上升了，高分段增多了，这也增强了我的信心，坚定了走思维培养之路的信念。下面介绍呈现本书部分内容。目

几何题的解题思路和辅助线构造是学习数学的历史难题。很多同学是：你一讲我就明白了，你不讲我就是想不到。有的同学是：反复训练的题会做，没做过的题就是不会。还有同学是：反复尝试很多次，花了很长时间，偶然间发现了解题方法。上述现象的原因是没有弄清分析问题寻找思路的根本方法和基本逻辑。解题靠记忆模仿、靠盲目尝试、靠灵感突现，都是不可取的。解题要回到数学的核心本质：逻辑推理。让偶然变成必然，找到思路不再难，让混沌变成有序，思维高效速度快。请观看微课，教你三招搞定几何题：组形、补形、变形。相关阅读：完形构造法1－几何题终极技法新初三第一课：学习之道升维思考精准构造：从辅助线到辅助形数学解题：逻辑为王一道经典题的深入解构与多向拓展【有思想的“生长数学”值得关注】欢迎加入QQ交流群：474266851喜欢请点赞

几何题的解题思路和辅助线构造是学习数学的历史难题。很多同学是：你一讲我就明白了，你不讲我就是想不到。有的同学是：反复训练的题会做，没做过的题就是不会。还有同学是：反复尝试很多次，花了很长时间，偶然间发现了解题方法。上述现象的原因是没有弄清分析问题寻找思路的根本方法和基本逻辑。解题靠记忆模仿、靠盲目尝试、靠灵感突现，都是不可取的。解题要回到数学的核心本质：逻辑推理。让偶然变成必然，找到思路不再难，让混沌变成有序，思维高效速度快。教你三招搞定几何题：组形、补形、变形。相关阅读：新初三第一课：学习之道升维思考精准构造：从辅助线到辅助形数学解题：逻辑为王一道经典题的深入解构与多向拓展【有思想的“生长数学”值得关注】欢迎加入QQ交流群：474266851喜欢请点赞

“生长数学”创立一周年了，感谢各位读者长期以来的关注和指导！“生长数学”秉承发展能力生长智慧的理念，传递深度学习的意识，探索思维训练的方法，关注核心素养，倡导人文精神，希望能对广大师生有所启发有所帮助。教育是一项神圣的事业，她关乎文明的传承，关乎心灵的解放，当是智者所为仁者所乐勇者所担。愿与所有爱教育求真理的朋友们共同努力，让教育更美好！声明：教育是公益事业，应持开放交流资源共享的原则，本公众号所有原创内容读者无需授权均可以转载、分享、复制、使用，但不得用于牟利。为方便查找阅读，本文对创号以来的原创文章作甄选整理，以下各类文章按时间逆序排列。一、思维方法类：1.新初三第一课：学习之道2.整装待发－考前最后一堂数学课3.升维思考精准构造：从辅助线到辅助形4.中考压轴必杀技5.一经典道题的深入解构与多向拓展6.再谈解题的全局思维和动态思维7.学生的解题思维差在何处？8.庖丁解牛与数学解题：如何切入和突破9.如何解综合题：从策略到方法再到模型10.以静制动化难点11.动起来，更简单！12.学习之道：从七十二变到如来神掌13.来自学生的大跨度思维14.思维的起点与方向15.数学核心素养—抽象能力16.用高阶思维解决问题217.用高阶思维解决问题118.为什么要一题多变19.为什么要一题多解20.高阶思维之全局视角21.高阶思维之本源视角22.高阶思维之动态视角23.怎样教思维324.怎样教思维225.怎样教思维1二、学法指导类：1.进入初三的正确姿势－致新初三同学2.小升初，你准备好了吗？3.中考防失误手册4.数学解题：逻辑为王5.考生必读：致考场上的你6.考前15天提分方案7.认知结构化：横比纵联前溯后延8.如何让难题不难9.复习解题的纵横捭阖10.解题与建模11.几何计算有三宝12.一题一世界（6）—又见一转成双13.一题一世界（5）—寻找解题的最短路径14.一题一世界（4）—来自学生的奇思妙想15.一题一世界（3）—思维组块化16.一题一世界（2）17.一题一世界（1）—我的教学纪事18.破解难题319.破解难题220.破解难题121.警惕“伪学习”和“假成绩”22.面积公式的理解与贯通23.做题姿势不正确，刷题再多也没用！24.学习之王道与霸道三、题型总结类：1.简约而不简单－品析2018淮安中考数学压轴题2.一道模考题的前世今生3.几何最值问题进阶与补充4.慧眼识图，“圆”形毕露！－隐圆大合集5.难点突破：动点轨迹与路径最值综合题6.倾心之作：几何最值问题大一统7.轨迹定位法的灵活运用8.基本轨迹及用法9.二次函数问题的处理策略10.反比例问题处理策略11.再识一次函数12.套路－思路－思想13.规律探索之奇偶分类14.孪生问题之以静制动15.相似变换之一转成双16.数形相助

第一次给新班级新初三的同学们上课，我们来聊聊学习这点事。让我们来思考几个问题：1.我们为什么要学习？2.我们要学习什么？3.我们应该怎样学习？老师先采访几位同学。老师再来谈谈自己的看法。1.我们为什么要学习呢？当然是为自己，为了解放自己获得自由。人的自由需要什么条件？要做到知者不惑，仁者不忧，勇者不惧，人才是自由的。换句话说，人要有能力，有智慧，然后才能有自由选择权，而这些都需要学习。2.我们要学习什么呢？学习事物运行的规则，学习解决问题的方法，学习如何与世界相处，学习如何与自己相处。3.我们应该怎样学习呢？老子说：道生一，一生二，二生三，三生万物。这是世界的形成过程。我们的学习过程要反过来，从认识万物，把万物分门别类，研究它们的共同规律。也就是化繁复为简约，化混沌为有序，化偶然为必然，寻找万物的根本规律，达到归一之境。一就是规律、就是真理、就是道路！让我们一起寻找至简至易至大至美的一！我们再来思考：为什么有些同学知识记不住，题目不会做？因为还没有达到自然运用必然想到的状态.如何才能达到这样的状态呢？我们要把所学知识方法紧密联系融会贯通，寻找不同知识内容的相同点把它们归一，寻找不同方法结构的相同点把它们归一，最后把繁化为简多变为一，一以贯之，解决问题就能达自然必然的状态。我们以实例来探讨：如图，ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CD⊥AC，连接AD，在AD上取点E，使AE=AB，连接BE，交AC于点M.求证：AD=AM+CD乍看此题是不是觉得难以下手？不要紧，我们有一以贯之的解题原则：若要问题得解，则须条件用足，模型完备。若条件无法应用则说明模型不完备，需构造完整。从问题情境出发，若发现模型有残缺，则添补完整；若现图形元素有联系，则变换重组。题中有AD=AM+CD，AD在ΔACD中，AC旋转90度得AB，这就是联系的线索。我们自然想到把ΔACD跟随AC旋转90度。谁能告诉我证明过程？再换个思路，题中有AD=AM+CD，我们把AM补上一段AG使之等于CD，再证明MG=AD就行了。大家把图画出来看一看，下面的证明怎么进行下去。我们再把两个方法放在一起比较，能不能归一？说说看，这两种方法的共同点是什么？可发发现：它们都是以相等的边为线索，构造出一对全等三角形，而且产生了一个等腰三角形。一个是顺时针旋转90度，一个是逆时针旋转90度，所以最终两个构造出来的三角形组成了一个平行四边形。我们来看怎样把不同问题的知识内容归一：例.下面问题中所求数量如何计算？（1）n个人参加宴会，每2人要握1次手，问共握手多少次？（2）从n张不同的纸牌中任选2张，共有多少种不同的选法？（3）n支球队参加比赛，每2队要比赛一场，共赛多少场？（4）直线上有n个点，共构成多少条线段？（5）平面内有n个点，最多构成多少条直线？（6）平面内有n条直线，最多有多少个交点？（7）如图，由一点引n条射线，共可构成多少个角？（8）如图，AB上共有n个点，图中共有多少个三角形？（9）按如下方式排列圆点，排(n-1)行共需多少个圆点？（10）n边形共有多少条对角线？上述问题中，无论是1个人、1张牌、1支球队、1个点、1条直线、1条射线，还是1次握手、1种选牌、1场比赛、1条线段、1条直线、1个交点、1个角、1个三角形、1个圆点，它们在数学关系上都是等价的。2个人握手1次就相当于2支球队比赛1场或2张牌构成1个组合或2个点构成1条直线或2条射线组成1个角。它们的计算公式都是n(n-1)/2，因此它们是统一的，我们把它们归结为同一类问题。又如方法结构的归一：1.如图，D、E分别是AB、BC的中点，AB=a,

新初一的同学，赶快来了解初中数学都长什么样子吧！超前学习，领先一步，下面的微课就是你预习自学的好助手。更多微课：微课｜七年级数学：1.1生活

数学世界丰富多彩，数学问题千变万化，但究其根本，都是由数学的基本概念和基本方法构造而成的。它们中某些元素常常亲密结合组成一些固定搭配，从而产生新的特殊联系和结论，形成种种变幻莫测的数学问题。这些固定结构被聪明智慧的数学老师发现了，于是提炼出各种生动有趣的问题模型。诸如：“将军饮马”、”胡不归“、”阿氏圆“、“手拉手”、“一线三等角”、“一转成双”、“主从联动”、“倍半角”、“角含半角”……等等。（其中“一转成双”和“主从联动”是在下我的命名）现在，有的老师热衷于搞各种繁琐的模型，甚至随意把某一道题取了一个名称也成了一种模型。也有的老师批评说“模型误人”，你搞那些个模型把学生头搞晕了，最后只知死套模型不知动脑子！那么这些模型到底好不好，要不要？吃饭好不好？没人说不好，但是有人被噎死了。菜刀好不好？切菜离不了，但是有人拿它行凶。知识好不好？答案不用说，但是有人学成了书呆子。模型好不好？看你怎么用！用得好，大有裨益，用不当，反而有害。说到这儿，啥叫“数学模型”？数学模型是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括或近似地表述出来的一种数学结构。模型化是所有的数学应用之心脏。（摘自《数学思想方法》顾冷沅主编）新课标指出：应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。中学数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、空间想像、数学运算、数据分析。说到底，数学就是一门研究模式的学科，数学离不开模型。广义来说，每一个数学概念和数学方法都是一个数学模型。笛卡尔说：一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，一切代数问题都可以转化为方程问题。在笛卡尔眼里，方程是最重要最基本的数学模型。数学中，高级的复杂的模型由基本的简单的模型所构成。显而易见，要掌握高级的复杂的数学模型，就要先理解和掌握基本的简单的数学模型。数学老师要不要提炼“问题模型”并进行模型教学？我认为当然需要，因为提炼一些常见的通用的“问题模型”对思维能力和解题能力的提升有很大的益处。1.提炼模型本身就是一项高级的思维活动。把不同形式的问题进行比较、归纳、抽象，得到共性的结构和规律，在此过程中训练了学生的思维方法，提升了学生的思维能力。2.应用模型也是一项蕴含大思维量的活动。应用模型解决问题时，学生要识别提取问题中的相关信息，并调取已有的问题模型按既定程式和规律有序地进行处理，这是训练学生的分析能力和应用意识。3.模型化方法把纷繁复杂的题海浓缩为有限的模型，帮助学生理解知识之间的联系，减轻了学生的学习负担，提高了学习效率。4.模型化方法使思维过程组块化，以模型为单位组织和处理问题，把线性思维变成立体思维，提高了解题速度。模型教学的注意点：1.注重过程性。让学生体验和经历模型的归纳抽象过程，让他们深刻理解模型的来龙去脉和构成元素，通过提炼模型培养学生的分析能力和抽象概括能力。如，从下面4个问题你能概括出怎样一般化的问题结构和解题规律？2.注重发展性。模型不是一成不变的，从简单到复杂有一个深化的过程，模型随着学习的深入也在不断地丰富发展。如从全等变换的“手拉手模型”到相似变换的“一转成双模型”。此模型详见文章：相似变换之一转成双3.注重灵活性。解题的根本是基本概念和基本方法，不能死搬硬套模型，要训练学生既要会把相关元素组合成复杂模型，又要会把复杂问题归结为基本模型，掌握解题的核心原理和策略，灵活选择，灵活运用。如下题（淮安2018中考第27题），根本不需套用“胡不归”模型，抓住“化同为异”、“化折为直”这个基本原理即可。数学必然和模型打交道，模型思想是数学的核心思想。构建数学模型解决问题是一项重要的数学素养，数学老师要用好数学模型这个利器，在教学过程中指导学生提炼模型、发展模型、活化模型，帮助学生感悟其中所含的基本思想方法。数学模型本身并不是目的，以之为工具加强知识的结构化、培养学生的思维能力才是目的。思维训练相关阅读：升维思考精准构造：从辅助线到辅助形一道模考题的前世今生数学解题：逻辑为王中考压轴必杀技一道经典题的深入解构与多向拓展【有思想的“生长数学”值得关注】欢迎加入QQ交流群：474266851喜欢请点赞

进入初三，知识的综合性和问题的复杂性增强，学习节奏加快，学习强度加大，大部分时间都在复习和训练，同学们要从以下几方面做好准备和调整。一、知识的综合性：结构化学习。初三所学的知识是前面知识的延伸和拓展，与已学内容有紧密的联系。如相似就是全等的推广，圆包含轴对称和中心对称的知识，二次函数是对一次函数、一元二次方程的升级。同学们学习的时候要深入理解新知识与旧知识的联系，形成完整的知识结构，特别是复习阶段，更要注重把知识连成严密完整的网络式结构。一台电脑拆开只是一堆无用的垃圾，一辆汽车拆开只是一堆无用的废铁，因为它们失去了原有的优良结构。坚硬无匹的金钻石与柔软滑腻的石墨所含原子完全一样，区别也在于它们有不同的结构。知识也一样，结构方式不同效用也大不相同。具有优良结构的知识不但有助于深层理解和扎实掌握，还有助于知识的生长和创造。优良结构的特征：联系紧密，组织有序，多向沟通，持续生长。例：一次函数的知识关联【一】一次函数与三角函数1.斜坡AB的坡度i为1:2，坡度代表什么意义？它还与什么数量有关？[

小升初是知识的深入、技能的增加，更是观念的更新、习惯的升级、思维的进化、心志的生长。有经验的老师都知道，小升初、初升高都会有一批人掉队。小学成绩好，不代表中学就能好！原因在哪？小学靠记忆模仿就可以学好，中学必须能融会贯通迁移创新；小学边玩边学也能学好，中学必须勤奋努力持之以恒；小学可以懵懂无知自由自在，中学必须目标明确心志坚定。不少孩子小升初会产生明显的“掉落”现象，很多家长迷惑不解：“孩子在小学本来成绩很好，到了中学怎么掉得这么厉害？”原因是这样的：先打个比方，我们进行比赛，你用两条腿拼体力，我开汽车用科技。三十米赛是看不出差距的，我发动汽车提速到终点时，你也跑到终点了；但是一千米赛呢？十公里赛呢？这差距之大傻子也能发现了！也就是说，有的同学在小学形成了不佳的学习习惯和思维方式，如靠机械记忆简单模仿解决问题，到了中学以后，知识量增多、问题复杂度增加，再靠记忆加模仿的方式就会力不从心无法适应，从而与其他同学拉开差距。另外，还有一部分学生是因为缺乏学习目标内在动力不足而导致厌学弃学，或者心志不坚干扰过多而导致自我堕落，从而学习成绩大幅下降。为了更好地适应中学学习及有利于未来的发展成长，建议小升初的同学和家长做好以下几方面的改变。一、观念更新：从为人到为己小学生往往是为了老师的表扬、家长的夸奖、伙伴的钦佩而学习，受外部影响较大。如果不改变观念，仅依靠外部因素是不能持久的，将会逐渐失去学习的动力。作为家长要让孩子懂得：学习是为了自身的发展和完善，是为了更好地理解世界改造现实，是为了实现自我的理想和价值。所谓观念即是因“观”而产生的“念”，所以观念的改变仅靠说教是无效的。观念的形成需要家长和老师以身作则身体力行，使孩子在春风化雨耳濡目染中自然得到熏陶。老师和家长都要在孩子面前展示负责尽职、终身学习的姿态，以言传身教培养孩子的正确观念。当孩子接受了这样的观念：学习是自己的事，学习是对自己负责，那么他们自然就有了坚持学习自我管理的动力之源。二、习惯升级：从被动到主动为什么很多人宁愿吃生活的苦，却不愿吃学习的苦？大概是因为懒，学习的苦需要主动去吃，而生活的苦你躺着不动它就来了。主动学习、主动思考、主动解决问题，那么问题和困难会越来越少，信心也会越来越强，越学越轻松，越学越快乐，形成良性循环。否则，总是得过且过，被动地等着问题找上门来，困难会越来越大，信心会越越来越弱，形成恶性循环。家长和老师在小升初的开始阶段就要注重培养孩子主动学习主动做事主动解决问题的习惯。家长和老师对孩子自己的事不要一味包办和简单管制，把自己当成保姆或监工。特别要注意培养孩子的判断力和自制力，逐步放手让他们自己安排自己的学习和生活。三、思维进化：从感性到理性小学生的思维理性程度不高，中学阶段是抽象逻辑思维快速发展的关键时期。如果理性思维发展不够，必定会在学习上拉开差距。比如数学学习从算术到代数的跨越，就是从具体确定的“数”到抽象变化的“式”，“式”比“数”更具一般性和概括性。小学到初中的变化，不仅仅是知识技能的增加，更重要的是思维方式的进化。学生在学习中要感悟思维方法、变换思考角度、深入理解所学知识的内在本质和相互联系。要从记忆模仿型学习转变为理解创造型学习，养成深度思考的习惯，凡事追问其来龙去脉。要从接受式学习转变为批判式学习，不以权威和书本为教条，凡事探究其本身的真实性。老师在教学中要让学生认识到的直觉思维的局限性和逻辑思维的优越性，养成逻辑推理的习惯。如对问题“3个人3天喝3桶水，问9个人9天喝几桶水？”，直觉思维主导的学生往往脱而出答案“9桶”，他们只是依据表面信息进行判断，而没有从问题本身的逻辑关系去推理计算。四、心志生长：从燕雀到鸿鹄诸葛亮说：“非学无以广才，非志无以成学”。取法上者得乎其中，取法中者得乎其下，人的志向和胸襟决定人的成就。少年当立鸿鹄之志，切勿满足燕雀的安逸舒适，否则，一生都将难成大器。人的成长的核心是心志的成长和信念的确立，古代读书人就有“格物致知诚意正心修身齐家治国平天下”的抱负和气度，因此才能在前进的征途中勇敢刚毅百折不挠。家长要培养孩子远大志向和高尚志趣，才能让孩子走得更远，实现更大的人生价值。孩子从小要多读名著经典和名人传记，与杰出人物交流，与伟大心灵对话，在潜移默化中得到熏陶。若沉溺在个人狭小的圈子中，贪图安逸享乐，就会目光短浅思维受限，难以获得个性的解放和自由，也享受不到真正的人生幸福。小升初的过渡期非常重要，特别是学习习惯和思维方式不佳的同学，要在假期做好准备。可以适当进行热身训练，提前感受初中知识在思维方式和学习方法方面的变化。【扫码关注有思想的“生长数学”】欢迎加入QQ交流群：474266851喜欢请点赞

今年参与淮安中考阅卷工作，经过五天紧张忙碌的奋战，阅卷任务顺利完成。在最后的总结交流会上，我有幸代表阅卷小组针对全卷最精彩的26题作交流发言，在此整理与大家分享。试题呈现：（2018淮安卷26题）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。（1）若ΔABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A＝60°，则∠B＝

应试者，为考试而教，为考试而学，以考得高分为终极目标。考试不是错，应试却有毒，差之毫厘谬以千里，致今日神州大地一片触目惊心荒诞之景，而众人竟不觉不悟！故哀而记之。应

后天上午数学开考，准备了明晚最后一堂数学课，梳理必考常考的知识方法和思维策略，PPT在QQ群分享。祝初三的同学们中考成功！推荐阅读：中考防失误手册考生必读：致考场上的你中考压轴必杀技考前15天提分方案再谈解题的全局思维和动态思维【扫码关注有思想的“生长数学”】欢迎加入QQ交流群：474266851喜欢请点赞

中考防失误手册还有几天中考就要开始，那么考试中最重要的事是什么？引用一位老师的话：“不怕难题不得分，就怕题题都扣分。不怕难题不会做，就怕会做也做错。”每次考试，因为各种各样的失误而产生的丢分情况是惊人的。不少人所得的最终成绩与自己的预想相去甚远，就是由于各样失误和疏忽而产生的，如审题出错、计算出错、表达不规范、步骤不完整等。如果每次考试同学们都能够把会做的题做对，做对的题得满分，那么你的成绩就算是超常发挥了。考试中有失误也是正常的，但我们要尽量把失误减少到最低，这也是决定考试成败的关键。有效防止失误产生，请过好以下几关。1.心态关心情保持适度兴奋有利于激活思维，但考试时若过于紧张焦虑会影响水平发挥。为什么会紧张焦虑呢？一般是因为注意力放在结果上而不是过程中，目标感过强，求胜心过切。对此，一方面要进行理性思考：注意力放在结果上对事情毫无帮助，反而会干扰过程的顺利进行，踏实做好过程中的每个细节本身就等于成功。另一方面把心胸放宽放大，自我暗示：考试只是寻常事，自信冷静必成功，鸿鹄志向在远方，何须在意小难关。战略上藐视敌人，战术上重视敌人，做到举重若轻，不骄不躁，冷静思考，坦然应对。考试时若心情紧张，可以放松身心做深呼吸，默念暗示：“全身自然放松，丹田充满能量。”2.审题关审题关把握不住，后面所做的一切都是无用功。审题出错的原因往往是：思维不是完全与当前题目内容相联结，而是与记忆中的信息相联结而产生错觉，或者是信息摄入不完整不清晰导致出错。特别是碰到有些题目一看就会反而要小心！错误往往就在此时发生。题目一看就会说明类似题目做过很多，考生会不自觉地用记忆中的题目代替当前题目，如果过快下结论容易忽视其差异导致出错。此时切勿沾沾自喜飘飘然，应再看一遍问题，确认问题条件及所用知识无误后再下结论。同学们平时审题就要养成好习惯，如逐字逐句读题，防止思维定势，圈划关键条件，标注图形关系。另一方面还需调整心态，稳定心情，专注于眼前问题，不思前不忧后，做好当前这一步是最重要的事。3.计算关计算是一项基本功，除了平时训练速度和准确性外，还要形成良好的计算习惯和防错意识。1.增强简化意识，合理安排算法，减小计算量。如下题，有的同学直接拿原数据进行计算或按一般顺序计算就会导致很繁琐。2.增强防错意识，及时发现明显的低级错误。我们在操作电脑或手机程序时都会弹出一个确认操作的对话框，就是为了防止我们进行误操作，同学们在计算时也是这样，在进行下一步之前有一个确认检验的步骤，花很少时间就可以防止造成不必要的错误。检验时可采用逆向验证的方式，如方程的解代回方程，因式分解回头展开，代数式取特殊值代入等。3.注意易错环节，如去括号变号时，方程去分母时，确定运算顺序时，多项合并时，分数计算时。4.检验关1.对题目答案合理性的检验：答案符合情境意义吗？答案在限定范围吗？答案有遗漏吗？结论交待完整吗？2.对解题全程准确性的检验：题意理解正确吗？解法思路有疏漏吗？解题格式和步骤完整吗？计算过程无误吗？3.对整张试卷全面性的检验：考试时间有剩余时，要对全卷进行检验。此时应先对自己拿不准的重点题目进行检验，检验时也不一定按原有过程重做一遍，最好换种方法或寻找更快捷的验证方式，因为按原思路重做容易受定势影响。4.熟悉的知识记不清怎么办：有时脑子一时短路，熟悉的公式或定理记不清了，这时不要用正误不明的公式或定理。可以追溯公式或定理的来源，思考它是如何推导出来的，有没有另外的算法可以替代。如圆锥侧面积公式是由扇形面积公式推导的，扇形面积公式是由圆面积公式推导的，可以简要推导一遍或直接改用扇形或圆的面积公式计算。再如特殊三角函数值可以画图用勾股定理算一下，幂的运算法则可以根据乘方意义推一下。5.时间关1.时间顺序：先易后难。前面遇到难题不要死磕，可以先放过，把后面的容易题先完成，最后啃难题。对于一些能力一般的同学，遇到试卷中无法解决的难题不妨放弃，确保会做的题目做对做全。2.时间分配：审题要充分，易题勿过快，勤动笔勤演算，难题分步完成。压轴题若想不出完整思路，则应步步为营，先求相关中间结果，再逐步求出最终结果。这样即使最终结果没能求出来，求出中间结果也可以得分。对于难题也不要轻易放弃，要分析题目中的条件信息与知识模型的联系，若题目条件与数学模型没有明显的关联，则需要进行补充、变换必要元素构造相关数学模型，如此经抽丝剥茧顺藤摸瓜就可能找到解题思路。6.规范关考试答题是考生与阅卷老师的交流，表达清楚、条理、完整、规范有利于为自己争取更好的得分。1.计算题要按顺序写出中间步骤，这样即使结果错了，中间有正确步骤也可得相应分数。2.证明题条件有来源结论有依据，要有严密的逻辑性，所需条件要进行推证，不能跳跃步骤。3.应用题要设好未知数，注意单位是否统一，检验所得解是否符合题意，最后交待题目所求结论。4.综合题要合理安排解题过程，具体计算细节可以简略，关键步骤须书写清楚，最后一定要把结论交待明白，存在多解的，交待结论时要列举所有符合要求的答案。预祝中考金榜题名青春无悔

数学解题的实质就是构造数学模型（每个数学知识和方法都可以看成一个数学模型），有些题目中所含模型明显而单一，属于简单题，有些题目所含模型隐蔽而复杂，属于难题。前者找出模型应用即可，后者一般需添加新元素构造相关模型，在几何题中即所谓添加辅助线的问题。有些难度的几何问题一般需要添加辅助线，据说这是学生感觉数学题最难的地方，很多学生往往苦思冥想没思路，而当别人把辅助线作好之后，他便恍然大悟，似乎突然明白了。但这种明白其实不是真明白，只是“事后诸葛亮”而已，下次再遇类似问题，仍然想不到，于是很多学生惧怕需要添加辅助线的题目。在他们眼中，“辅助线”是一个神奇的东西，每当它横空出世，就会迅速化腐朽为神奇，然而自己却无法掌控，只能凭经验碰运气，可遇而不可求。为什么会这样呢？先想想，作辅助线的目的是什么？当然是为了构造出新图形，形成已知的数学模型从而产生联系。既然如此，那么在作辅助线之前脑中应该先有成型的图形。就像盖房子，先有蓝图，再来建造。问题就出在这个地方，学生在作辅助线之前脑中并无完整图形，就像暗室寻物，谈何容易。什么样的题目需要作辅助线？显然是模型不全以至条件无法联系运用的题目。而作辅助线就相当于把数学模型补全。那么什么情况下才能熟练高效地作出辅助线呢？要么先前有类似经验解决过相似问题；要么能根据题意推理判断题中所含模型，然后对照添加辅助线补全残缺部分。显然前者需要大量的训练及记忆套路，而且仅此无法解决复杂问题和新问题。而后者可以根据一般策略和基本模型解决各类复杂问题和新问题，此方为根本之道。我们来探讨后者具体应该怎么做。1.理解－存储模型：理解并掌握所学的基本模型和常用的复合模型。2.分析－联结模型：解析问题中的各种信息元素的联系和作用，明确它与相关模型的联结。3.判断－重组模型：重组问题中的相关元素，判断属于何种模型，确定数学模型中的已知部分。4.构造－补全模型：运用各种方式构造图形以补全模型，如进行添补、平移、旋转、翻折、缩放等操作。因为几何模型有确定的图形结构，所以这里的思考方式可以称为构造“辅助形”。它与“辅助线”思维最大的不同是：辅助线着眼于局部的线，辅助形着眼于整体的形。“辅助形”在作图之前，脑中已有完整的图形；“辅助线”在作图之后，眼中才呈现出完整的图形。孰优孰劣，孰难孰易，显而易见。“辅助线”是一维的线性思维，“辅助形”是多维的立体思维，升维思考，降维打击，效率不可同日而语。下面我们仍以实例说明。例1.小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且BD=AC，CD=AE，BE与AD的交点为P，求∠BPD的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF//AC且BF=AE，连接AF，DF，从而构造出△BDF与△CAD全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠BPD的度数为__．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB、CA上的点，且AE=1/2CD，BD=1/2AC，BE与AD交于点P，求sin∠BPD的值．我们首先看下题目的结构和命题者的意图。命题者认为此题的辅助线作法对于学生来说很难想到，所以给出了思路和方法，为学生搭建台阶。其实这种台阶价值很小，即使学生作出了辅助线做对了题目，也只是机械模仿，对于解题的根本原理和思考逻辑并没有真正理解。图2中辅助线的作法“BF//AD且BF=AE”是如何想到的？这其实是最难的一步。其背后逻辑题中并没有说明，仿佛从天而降凭空出现。如果老师也这样教学，学生必然难以理解，只能死记硬背，在新问题情境中只有盲目尝试，做对辅助线只是靠运气。我们从“辅助形”的角度思考，问题就可以轻松解决。（1）判断条件“BD=AC，CD=AE”与哪种几何模型相关？边角相等关系自然会与“全等”模型产生联结，那么全等三角形在哪里？（2）把条件“BD=AC，CD=AE”中各元素进行重组（AC与CD构成三角形），可以确定全等三角形中必包含ΔACD。那么另一个与之全等的三角形在哪里？（3）不用盲目猜测尝试，逻辑推理才是王道。还是从条件出发，由“∠C=90°”推得“BD⊥AC，CD⊥AE”，即全等三角形的对应边互相垂直。看看，这就是逻辑的力量，辅助线还没画，我们就已经“胸有成竹”：那个在迷雾之中还未出现的三角形，它必然是ΔACD旋转90度所得到的。（4）从未知寻找未知很困难，从已知寻找已知很容易。我们已经知道那个神秘的三角形是由ΔACD旋转90度所得，并且必以BD或AE为边，它还难找吗？画图就可以了，如下图，先把ΔACD旋转90度再平移至BD或AE处即可。试想，学生如果具备这样的思考方式，还需要在题目中设置解法提示吗？即使第一次遇见这样的新问题，也完全可以解决。图3的问题可以用这样的思考方式轻松解决。由条件“AE=1/2CD，BD=1/2AC”知”AE：CD＝BD：AC＝1：2“，自然与相似模型相联结，再由“∠ACB=90°”知需构造的相似三角形是ΔACD旋转90度并缩放为1/2所得。值得一提，通过运动变换的方式构造全等（相似）模型之后，除全等（相似）三角形外一般会产生一个新的特殊图形，如图2、图3中都会产生一个新的特殊直角三角形，图2中直角边为1：1，图3中直角边为1：2。这样我们可以把这个问题进行一般化，改编为“AE=m/n

《西游记》中的孙悟空比猪八戒高明在何处？妖怪千变万化，孙悟空的火眼金睛总能识得它的本相，而猪八戒的肉眼凡胎只能看到表象，这就是“迷”与“悟”的区别。对于数学解题，我们同样要有火眼金睛，看清问题的内在逻辑结构，那么问题就不难解决。以近期刚考的一道模拟题为例，我们从其内在逻辑关系分析解构它的前世今生，寻找它的本来面目。原题呈现：如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C在ΔABC外作射线CE，且∠BCE=α。（1）利用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）。①作点B关于CE的对称点D。②连接AD、BD、CD，其中AD、BD分别交CE于点M、N。（2）在（1）的条件下，当α=30°时，∠AMC=

逻辑、知识、信息逻辑是人对事物进行理性认识的利器，可以帮助人把混沌变为有序，从已知获得未知，从看得见的事物中找到看不见的真相。比如科学家们确认宇宙中96%以上的成分是暗物质和暗能量，而暗物质和暗能量无法直接观测，科学家们是依靠各种间接数据的计算推理证实这一结论的。这就是逻辑的力量，它可以帮助人认识到看不见的东西。知识是组织处理信息的工具，逻辑是组织运用知识的方式。解决问题时是用逻辑分析问题的内在关系，调动知识处理信息，使信息结构化而形成模型以便解决。学生不会解决问题的主要原因往往不是知识不足，而是思维逻辑有缺陷。逻辑是串起知识和信息的链条，如果逻辑思维能力不够，则既不利于知识的理解记忆，也不利于问题的有效解决。数学教学的核心是教逻辑思维，逻辑思维需要有计划有目的循序渐进地训练。大多数老师在知识教学中能够意识到知识之间的逻辑关系，帮助和引导学生进行逻辑思考。但在解题教学中往往会忽视训练学生运用逻辑进行组织、判断、调整、提炼的能力，以至题目做得虽多，能力提升却很有限。学生的逻辑思维能力愈强，知识的学习理解就愈透，知识的学习理解愈透，又促进思维能力的进一步发展，结果就造成了强者愈强，弱者愈弱的局面。对于能力一般的学生，自己是无力突破惯性的浅层思维的，需要老师帮助引导点破那层窗户纸，从外显的知识和信息中，寻找内隐的逻辑链条。也就是帮助学生不仅知道“怎么做”，而且明白“怎么想”，从记忆型学习走向思维型学习。我们以中考压轴题为例试探讨如何用逻辑链串起问题情境和知识概念使问题得以解决。例1.（2017徐州卷27题）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点.[（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若P、N分别为BE、BC上的动点.①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；②如图③，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN+NP+PD的最小值=

致考场上的你考试，是知识和能力的较量，也是身体和心态的比试。积极而平稳的身心状态，有助于考生发挥出最佳水平。考前熟悉考试环节和应考方法，预演考试流程和心理情境，能产生积极正面的自我暗示，保持自信平稳的心理状态，获得和谐充沛的心灵能量。【考前三十分钟：候场】眼前聚集着熙熙攘攘的考生，有的在焦急等待，有的在相互交谈，有的在专注看书。你轻吸一口气，望着天上飘忽的云彩，默默告诉自己：生活本是一个大考场，人生就是一张大试卷，坦然面对每一场考试，但自努力，不问前程。【考前二十分钟：进场】你带好文具和证件，快步走向考场，阳光依然明朗，你的心愈发安定，无悲无喜，步履从容。【考前十五分钟：分发答题卡】你如虔诚的教徒，把崭新印制的答题卡端端正正地平放在课桌上，你平静地扫视着答题卡的正反两面，检查有无污损、缺印。验毕，你拿起0.5毫米的黑色签字笔工整地写下了姓名、准考证号。然后你略略浏览一遍答题卡，看到了一些熟悉的式子和图形，于是你自然地忆起了那些相关的知识和方法，记忆的仓门打开了，你的思维开始活跃起来。【考前5分钟：分发试卷】你郑重地接过试卷，检查无误后填好姓名和准考证号，并按老师要求放下了笔。离开考还有一点时间，聪明的你当然不会浪费，你快速地浏览整张试卷，看见很多熟悉的面孔，也有一些不太熟悉的陌生客，但你相信，通过思维的碰撞，你与他们会很快熟悉并愉快相处。你的记忆和思维渐渐兴奋，跃跃欲试，蓄势待发。【考试开始】铃声响了，你拿起笔。此时，天地一片沉寂，只有你，试卷，和轻快跳舞的笔。你成了魔法王国的魔法师，你的笔就是一根魔法杖，所过之处，黑暗变成光明，混沌变成清晰，思路在心头展开，答案从笔尖飞出。你懂得，审题，需要准确感知排除干扰，若有一丝大意恍惚，错觉就会趁虚而入。你一字一句清晰地读取有用信息，圈注关键，划明重点，严密推理，准确计算，不给错误留一点可趁之机。跟随一道道试题，你一路披荆斩棘高歌猛进，不觉生出一丝得意和飘忽。突然，你的心中响起一个声音：“遇易不喜，见难不惧，稳中求快，细致谨慎。”你深吸一口气，沉入丹田，心神更加清明。【考试中】前进的步伐慢了下来，你遇到了它－传说中的压轴小题。它的样子并不完全陌生，对付它，你已经有充分的准备。分析条件－寻找思路－构造模型，有条不紊地推导、计算，很快，你得到了想要的结果。你深深地吸进一口气，能量布满全身。继续一路前行，知识在心中闪现，逻辑在脑中运行，你心无旁骛，专注而执着。……（1）你终于来到它的跟前，压轴题化身为拦路的猛虎，挡住你轻快前行的脚步。你注视着它，看上去，它似曾相识却又无从下手，近在眼前却又无路可走。你仔细地分析，严密地推理，变换转化，构造模型，建立关系式，计算中间量，一步步探索，一点点逼近。柳暗花明，峰回路转，渐渐地，云开雾散，光明显现。于是你一鼓作气，乘势进击，终将猛虎驯于脚下，龙珠收于囊中，难题得解，大功告成，进而悠然自得，踌躇满志。然而，你知道还没到庆祝的时候，现在仍需你掌控全局确保无失。你再次静下心来，从头细心检查。（2）你终于来到它的跟前，压轴题化身为拦路的猛虎，挡住你轻快前行的脚步。你注视着它，看上去，它似曾相识却又无从下手，近在眼前却又无路可走。你知道它难以对付，在平时的训练中你曾很多次败于它的手下。但你没有畏惧，你安定心神，冷静地分析、推理、计算，终于得出了一些有用的中间结果。然而，还有重要的关卡未能突破，你苦思冥想却一筹莫展。你看了看时间，考试进入倒计时。“算了吧，”你轻吸一口气，虽心有不甘，但仍果断决定：放弃这块难啃的骨头，做最后的检查。【考试结束】终场铃声响起，你放下了笔，也放下了这门科目的得失喜忧。你收摄身心，暗暗告诫自己：过去的就让它随风而去吧，不论成败得失，努力了，也就无愧了。明天还有新的挑战，你仍会微笑面对，全力以赴！【有思想的“生长数学”值得关注】欢迎加入QQ交流群：474266851喜欢请点赞

好吧，我承认做了一次标题党，哪有什么一用就灵的必杀技呀！当然，必备必会的知识模型和思维策略还是要有的！从这个意义上来说，必杀技法还是存在滴，前提是：1.基本知识概念的透切理解；2.基本方法策略的灵活运用；3.丰富的实战经验。在此基础上我们来探讨一下压轴题的高效解决方案。压轴之“轴”很多人死在压轴题上，为什么？一、从问题情境看：1.多动：运动变换晕死你！问题大多涉及图形的运动和变换，需要较强的空间想像能力和作图能力。2.多类：分类讨论繁死你！问题大多需要分为多种类别进行讨论，需要全局思维和严谨细致的分析能力。3.多参：不定参数抽死你！（抽象的抽）有些问题中含有较多的未知参数或不定参数，比具体数值的运算处理增加了抽象性，需要较强的代数运算处理能力。4.多算：大运算量累死你！压轴题的解答以熟练准确的计算为基础，一步出错，全盘皆输。二、从解题过程看：5.多模型：模型叠加难死你！解题中往往需要应用多种知识概念构造多种数学模型，考生要对基本模型和组合模型熟练掌握并灵活应用，若对其中的某一知识方法想不到不会用则难以完成。（每个基本知识概念和方法都是一个简单模型）6.多转化：脑筋转弯绕死你！解题中多需要构造辅助图形或表达式，使问题转化为基本问题或已知问题，不能构造出有效模型则无法解决。7.多创新：随机应变考死你！由于压轴大题的内容和形式多是原创新题，解题时也往往需要随机应变创造新方法来解决（其实还是基本知识与基本方法的灵活转化和重新组合）。如果经历了以上“七多”还大难不死，你就能拿下压轴题了……压轴破解技法压轴题的思考方法：一、理清关系，分析定变。分析题中数量关系的方法策略有：进（条件推结论）、退（结论找条件）、分（分解成基本模型）、合（组块成复合模型）、加（所缺部分补充完整）、减（多余部分忽略简化）、动（运动变换以构造模型建立联系）、静（从动态过程中截取静态片断）。通过分析可判断问题中的的定值和变量，若是定值则一定可以根据数量关系求出结果，若是变量则可以寻找依存关系写出表达式。二、变换转化，构造模型。题中的关系一般是隐而不显的，需要变换构造，多步求解。代数变换是利用公式法则对表达式进行变换转化，构造出所需模型。常用代数模型有：各种数式运算、方程模型、不等式模型、函数模型等。几何变换是对图形进行平移旋转翻折缩放等操作，构造出所需模型。常用几何模型有：相似（全等）模型、直角勾股模型、三角函数模型、面积割补模型、动点轨迹模型等。特殊复合模型有：一线三等角、一转成双、主从联动、将军饮马等。坐标系中求值策略：化斜为直；路径和求最值策略：变同为异，化折为直；图形的变换构造策略：共点等线用旋转，共线等角用翻折。下面我们进行实战演练，江苏教育看南通，就以2017年南通中考卷压轴题为靶来练一练吧。例1.（2017南通27题）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．（1）等边三角形“內似线”的条数为

距离中考还有十几天，最后一段时间如何复习、如何调整，以达到最佳的竞技状态？本文根据多年实践经验给各位考生及考生的老师和家长提一些建议，希望能有所帮助。考试成功与否关键可归结为两方面：一是知识和能力，决定你能达到多大高度；二是心态和习惯，决定你能发挥到多大程度。把握试题结构：做到胸有成竹一、必考基础题：熟练准确提速度。复习进入到最后阶段，同学们的能力水平基本定型，此时应凝神聚力在重点核心处下功夫。各地中考试卷的基本结构是保持稳定的，不会突然产生大的变化。如考察的核心知识，出现的基本题型，至少有80%是可以把握的。如淮安中考第1题，2011－2017年的试题设置如下：再如解答题常考必考的基础内容与题型有：1.实数计算题；2.解方程（组）、不等式（组）；3.整（分）式化简；4.全等证明；5.概率；6.统计；7.方程应用题；8.三角函数应用题；9.圆的证明与计算；10.函数应用题。这些基础题所用知识单一、解题思路明确，最容易把握，同学们要把它们分类型吃透弄熟。对于中上等学生，这些基础题不但要会做，要做对，而且要熟练，要提高速度，以便为难题留下思考和运算的时间。二、综合能力题：明确策略有方向。综合题类型有：1.阅读理解题；2.几何操作题；3.动态探究题等。这些问题的具体形式变化较多，解题过程环节较多，考察知识应用能力和理解创新能力，综合性很强，但所用的知识和方法模型是不变的。常用的代数模型有：方程模型、函数模型、不等式模型等；常用的几何模型有：相似（全等）模型、直角勾股模型、三角函数模型等。阅读理解题的基本策略是“以旧解新”，用已有知识对新概念新规则进行解释推导，并运用新概念、新规则解决相关问题。几何操作题的基本策略是“变换构造”，综合运用平移、翻折、旋转等变换方式构造数学模型，用所学知识模型解决问题。动态探究题的基本策略是“以静制动”，纵观运动全程的不同状态，把临界图形确定，再进行分类讨论，构造基本模型解决。此类题一般是图形与函数相结合，要能够在长度、坐标、函数表达式之间灵活转换。三、几种技巧：突破常规，速解小题。1.特值法：取符合条件的特殊值代入不定参数求结论。（1）（2017连云港卷第7题）已知抛物线y=ax^2(a>0)过A（-2,

为什么负负得正？19世纪法国著名作家司汤达小时候很喜爱数学，用他自己的话说，数学是他的“至爱”。但当老师教到“负负得正”这个运算法则时，他一点都不理解，他希望有人能对负负得正的缘由做出解释。可是，他所请教的人都不能为他释此疑问，而且，司汤达发现，他们自己对此也不甚了了。司汤达的数学辅导老师夏贝尔（Chabert）先生在司汤达的追问之下感到十分尴尬，不断重复课程内容，说什么负数如同欠债，而那正是司汤达的疑问在：“一个人该怎样把10

思维能力培养非一朝一夕之功，需老师于每一堂课每一道题每一个知识点之中渗透、引导、点化。人的理性虽然与生俱来，但往往是潜藏不露的，仍需老师引导、发掘、训练。未经训练的人多依赖直觉和感性，凭记忆和习惯做决定，缺乏批判精神和理性思维。学生的思维方式和思考习惯要及早培养，一旦形成不良思维定势要想改变将事倍功半。如解题时第一反应应该是分析与推理，而不是回忆与模仿。回忆与模仿是活在过去，属于固定型思维，分析与推理是活在当下，属于成长型思维。问题是培养思维的基本工具，本文以一道经典题为例带你探讨如何用好一道题，充分发掘它在知识理解和思维方法诸方面的多种作用，达到以一敌百一通百通之效。【原题】已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，M是BC边上的一点，MN⊥AM.求证：AM＝MN【一、题中有法】解题总策略：加减、进退、分合、动静。策略口诀：少则加之，多则减之，能进则进，难进则退，分析解构，整合组块，以动破静，以静制动。1.加法：少则加之，图中有部分全等条件，将之添加补全即可得证。法（1）：如下图，添加AC'=CM，得ΔMCN≅ΔAC'M。

笔者前期撰文《几何最值问题大一统》，较为全面地归纳提炼了几何最值问题的各种类型，得到广大朋友的喜爱，阅读量和转发量都较大。在此对支持和赞赏的各位朋友表示感谢！除上文所述类型外，几何最值问题还有一些较为复杂难度较大的类型，在此作一归纳补充，供学有余力的同学参考阅读，以使对此类问题的理解更为透彻。下面是几何最值问题的分类情况：读者可以看出，上图是按解题的方法策略为线索进行分类，我认为对于题型的分类按方法策略分类优于按知识背景分类。因为知识背景比较杂乱繁多且不能反映问题的本质结构，而方法策略简洁精炼，适用性广，操作性强，能够统率组织不同的知识内容，容易把握和理解问题的本质特征。下面在前文的基础上以实例对“轨迹叠加”类、等值变换类问题中的“旋转”“拼接”类、“轨迹+变换”类问题进行补充。没有阅读前文的读者请点击参阅：解题｜倾心之作：几何最值问题大一统轨迹叠加例.如下图，ΔABC中，AB=6，BC=4，在AC一侧作等边三角形ΔACD，求BD的最大值和最小值。解析：先确定AB的位置，BC是定长，C是动点，则C点轨迹是以4为半径B为圆心的圆。再判断D点轨迹：D点由C点绕A点逆时针旋转60度所得，所以D点轨迹也由C点轨迹（即圆B）绕A点逆时针旋转60度所得，画出D点轨迹圆E（圆心E同样由圆心B绕A点逆时针旋转60度所得）。此时，BD的长转化为定点B到圆E的最短（长）路径，作穿心线BE与圆E相交即得。本题也可以看成把ΔABC逆时针旋转60度至ΔAED，利用ΔBED的三边关系可得BD的取值范围：2≤BD≤10，最小值为2，最大值为10。本题的两个动点轨迹是依存关系，需先确定一个动点所在轨迹，再由之确定另一个动点所在轨迹。等值变换一、旋转（典型问题：费马点）例.△ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC

不谋全局者，不足以谋一域；不知变化者，不足以言科学。全局思维和动态思维是最重要的高阶思维方式，它决定思维的质量和效率。数学学习和数学解题正是训练这种思维的有效途径，以此思维学习和解题更是事半功倍水到渠成。老师看到数学题后能迅速判断题目中所含的基本模型，而很多学生往往做不到，这是为什么呢？固然有老师见多识广经验丰富的因素，但更重要的是老师所站的高度和思考的角度更高。相对来说，老师更能够以全局思维和动态思维思考问题，从而发现问题的本质。我们以实例说明如何在解题运用和训练全局思维和动态思维。例.如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，连接BG、DE、AF，分别取它们的中点P、M、N，求证：四边形PCMN是正方形。审题与思考就是把信息结构化，把混沌信息转化为有序结构。引导性问题：（1）怎么看两个正方形的关系？[其中一个可以看成另一个绕公共顶点旋转任意角度并缩放所得。]脑补图是这样滴：（2）图中有三角形关系吗？[正方形可以分解成等腰直角三角形，得另一对全等三角形，并且是旋转90度。手拉手模型：ΔBCG旋转90度得ΔDCE。]脑补图如下：（3）CP与CM是什么关系？由此，能得出CP与CM的关系吗？[CP、CM分别是ΔBCG、ΔDCE对应边上的中线，当然也是和三角形一样旋转90度的关系，能证CP与CM也是相等且垂直。]（4）已经成功一半了，再看AF在整个图形中是什么角色？[AF、BG是共顶点的一对等腰直角三角形的对应点连线，由一转成双知ΔBCG与ΔACF也相似，且是旋转45度并放大1:√2关系。]（5）继续前进，CP、CN又是什么角色？[CP、CN是相似三角形对应边上的中线，可得CP:CN=1:√2，且∠PCN=45°。]（6）到此已得ΔPCM、ΔPCN都是等腰直角三角形，问题得证。全局视角能看到局部元素在整体中扮演的不同角色，动态视角能看到元素之间的变换生成关系。相关阅读：高阶思维之动态视角高阶思维之全局视角高阶思维之本源视角用高阶思维解决问题1用高阶思维解决问题2【扫一扫关注有思想的“生长数学”】【扫描二维码，加作者微信】欢迎加入QQ交流群：474266851喜欢请点赞

学生面对同样的老师学习同样的内容，效果却大不相同，原因为何？除去天赋因素，最大的差别在于其思维方式和思维习惯的不同。对于数学教学，如何培养科学的思维方式和良好的思维习惯是一个重要的课题。两种思维系统康纳曼的《快思慢想》一书提出：人类处理问题使用两种思维系统，称为系统1和系统2。系统1代指人类的非受控或曰无意识的思考模式，系统2代指受人自身控制的或曰有意识进行的思考模式。用系统1思考或判断是非常快捷的，因此人们往往第一时间通过它在脑海中形成观点。但有时系统1可能得不到结论或是得到错误的结论，因此人类也经常求助系统2进行更为复杂和费力的思考过程，以图补充或纠正系统1。但是，上述说法不等于系统1是感性的、系统2是理性的。实际上系统2经常受到系统1的影响。这种影响可能是正确的，也可能是错误的。而且系统2很懒惰，经常疏于校验，从而无法纠正系统1形成的错误。以此观点分析不同层次的学生发现，数学能力较弱的学生更习惯于使用系统1处理问题，依赖直觉和定势反应；数学能力较强的学生则更多使用系统2进行工作，会通过推理寻求依据。记忆模仿型学生的学习以系统1为主，思维创造型学生的学习以系统2为主。学习中寻求知识的来龙去脉，思考时严谨推理细致检验，解题后进行反思总结，这些过程都需要系统2高度参与。数学思维的核心是逻辑，正是系统2的思考方式。若思维过程中系统2参与的少，一些未经思考验证的观念将会形成错误的系统1，而系统1的本能反应反过来会影响系统2，形成不良循环。教学中要不断培养学生的元认知能力，经常有意识反思校验自己的第一反应有无科学的依据，以养成经常调用系统2的习惯。系统1是直觉的本能的笼统的习惯反应，快速且不费力，而系统2是有意的复杂的有序的逻辑推理，速度慢且费力。教学中一方面要培养学生的勤于思考不怕吃苦的精神，另一方面要使用一些花招激发思考的兴趣以抵消辛苦思考而引起的疲劳。看出来与推出来我们再来看数学解题中两种思维：一种学生是根据问题的外部特征在记忆中搜索相同或相似的现成模式，依靠直觉采取切合的动作，若无相关信息就会一筹莫展不知所措；另一种学生是分析问题中的内在的数学结构，据此应用基本知识和方法解决问题，若不成功则反复在条件结论之间进行推理寻求联结。当然实际情况中这两种思维也是互相交织的，只是所占比例不同。一种学生是“看”出解题思路和方法，另一种学生是“推”出解题思路和方法。显然，对于新颖陌生的或隐蔽性强的或比较复杂的问题，只依靠“看”是解决不了的。必须引导学生根据题中的信息进行“推”，顺推是“进”，逆推是“退”，进退有序才是解决问题的好方式。还是以实例来说明。例1.已知ΔABC、ΔEFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点。直线AG、FC相交于点M，当ΔEFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值为

《庄子·养生主》庖丁解牛的故事：差的厨师一个月就要换刀，他是用“砍”的方法。好点的厨师一年就要换刀，他是用“割”的方法。而庖丁总是游刃有余，解牛十九年未曾换刀，

定点定长走圆周，定线定角跑双弧。三点必有外接圆，对角互补也共圆。有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“圆”出“缘”生关系现，“圆”成“缘”通真相明。圆是宇宙中最奇妙最完美的图形，大到星球、星系，小到细胞、原子，到处有它曼妙的身影。圆具有最美妙的对称性，圆中的相关元素会产生丰富的数量关系，可以帮助我们寻找各种联系。在数学问题中，如果你能慧眼识图，找出其中隐藏的辅助圆，则必事半而功倍，无往而不利。1定点+定长1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。2.应用：（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD=√15。（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是