模型那些事
数学世界丰富多彩，数学问题千变万化，但究其根本，都是由数学的基本概念和基本方法构造而成的。它们中某些元素常常亲密结合组成一些固定搭配，从而产生新的特殊联系和结论，形成种种变幻莫测的数学问题。这些固定结构被聪明智慧的数学老师发现了，于是提炼出各种生动有趣的问题模型。诸如：“将军饮马”、”胡不归“、”阿氏圆“、“手拉手”、“一线三等角”、“一转成双”、“主从联动”、“倍半角”、“角含半角”……等等。（其中“一转成双”和“主从联动”是在下我的命名
现在，有的老师热衷于搞各种繁琐的模型，甚至随意把某一道题取了一个名称也成了一种模型。
也有的老师批评说“模型误人”，你搞那些个模型把学生头搞晕了，最后只知死套模型不知动脑子！
那么这些模型到底好不好，要不要？
吃饭好不好？没人说不好，但是有人被噎死了。
菜刀好不好？切菜离不了，但是有人拿它行凶。
知识好不好？答案不用说，但是有人学成了书呆子。
模型好不好？看你怎么用！用得好，大有裨益，用不当，反而有害。
说到这儿，啥叫“数学模型”？
数学模型是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括或近似地表述出来的一种数学结构。模型化是所有的数学应用之心脏。（摘自《数学思想方法》顾冷沅主编）
新课标指出：应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。
中学数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、空间想像、数学运算、数据分析。
说到底，数学就是一门研究模式的学科，数学离不开模型。广义来说，每一个数学概念和数学方法都是一个数学模型。
笛卡尔说：一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，一切代数问题都可以转化为方程问题。
在笛卡尔眼里，方程是最重要最基本的数学模型。
数学中，高级的复杂的模型由基本的简单的模型所构成。
显而易见，要掌握高级的复杂的数学模型，就要先理解和掌握基本的简单的数学模型。
数学老师要不要提炼“问题模型”并进行模型教学？
我认为当然需要，因为提炼一些常见的通用的“问题模型”对思维能力和解题能力的提升有很大的益处。
1.提炼模型本身就是一项高级的思维活动。把不同形式的问题进行比较、归纳、抽象，得到共性的结构和规律，在此过程中训练了学生的思维方法，提升了学生的思维能力。
2.应用模型也是一项蕴含大思维量的活动。应用模型解决问题时，学生要识别提取问题中的相关信息，并调取已有的问题模型按既定程式和规律有序地进行处理，这是训练学生的分析能力和应用意识。
3.模型化方法把纷繁复杂的题海浓缩为有限的模型，帮助学生理解知识之间的联系，减轻了学生的学习负担，提高了学习效率。
4.模型化方法使思维过程组块化，以模型为单位组织和处理问题，把线性思维变成立体思维，提高了解题速度。
模型教学的注意点：
1.注重过程性。
让学生体验和经历模型的归纳抽象过程，让他们深刻理解模型的来龙去脉和构成元素，通过提炼模型培养学生的分析能力和抽象概括能力。
如，从下面4个问题你能概括出怎样一般化的问题结构和解题规律？
2.注重发展性。
模型不是一成不变的，从简单到复杂有一个深化的过程，模型随着学习的深入也在不断地丰富发展。
如从全等变换的“手拉手模型”到相似变换的“一转成双模型”。
此模型详见文章：相似变换之一转成双
3.注重灵活性。
解题的根本是基本概念和基本方法，不能死搬硬套模型，要训练学生既要会把相关元素组合成复杂模型，又要会把复杂问题归结为基本模型，掌握解题的核心原理和策略，灵活选择，灵活运用。
如下题（淮安2018中考第27题），根本不需套用“胡不归”模型，抓住“化同为异”、“化折为直”这个基本原理即可。
数学必然和模型打交道，模型思想是数学的核心思想。构建数学模型解决问题是一项重要的数学素养，数学老师要用好数学模型这个利器，在教学过程中指导学生提炼模型、发展模型、活化模型，帮助学生感悟其中所含的基本思想方法。数学模型本身并不是目的，以之为工具加强知识的结构化、培养学生的思维能力才是目的。
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