中考压轴必杀技
好吧,我承认做了一次标题党,哪有什么一用就灵的必杀技呀!
当然,必备必会的知识模型和思维策略还是要有的!
从这个意义上来说,必杀技法还是存在滴,前提是:
1.基本知识概念的透切理解;
2.基本方法策略的灵活运用;
3.丰富的实战经验。
在此基础上我们来探讨一下压轴题的高效解决方案。
压轴之“轴”很多人死在压轴题上,为什么?
一、从问题情境看:
1.多动:运动变换晕死你!
问题大多涉及图形的运动和变换,需要较强的空间想像能力和作图能力。
2.多类:分类讨论繁死你!
问题大多需要分为多种类别进行讨论,需要全局思维和严谨细致的分析能力。
3.多参:不定参数抽死你!(抽象的抽)
有些问题中含有较多的未知参数或不定参数,比具体数值的运算处理增加了抽象性,需要较强的代数运算处理能力。
4.多算:大运算量累死你!
压轴题的解答以熟练准确的计算为基础,一步出错,全盘皆输。
二、从解题过程看:
5.多模型:模型叠加难死你!
解题中往往需要应用多种知识概念构造多种数学模型,考生要对基本模型和组合模型熟练掌握并灵活应用,若对其中的某一知识方法想不到不会用则难以完成。(每个基本知识概念和方法都是一个简单模型)
6.多转化:脑筋转弯绕死你!
解题中多需要构造辅助图形或表达式,使问题转化为基本问题或已知问题,不能构造出有效模型则无法解决。
7.多创新:随机应变考死你!
由于压轴大题的内容和形式多是原创新题,解题时也往往需要随机应变创造新方法来解决(其实还是基本知识与基本方法的灵活转化和重新组合)。
如果经历了以上“七多”还大难不死,你就能拿下压轴题了……
压轴题的思考方法:
一、理清关系,分析定变。
分析题中数量关系的方法策略有:进(条件推结论)、退(结论找条件)、分(分解成基本模型)、合(组块成复合模型)、加(所缺部分补充完整)、减(多余部分忽略简化)、动(运动变换以构造模型建立联系)、静(从动态过程中截取静态片断)。
通过分析可判断问题中的的定值和变量,若是定值则一定可以根据数量关系求出结果,若是变量则可以寻找依存关系写出表达式。
二、变换转化,构造模型。
题中的关系一般是隐而不显的,需要变换构造,多步求解。
代数变换是利用公式法则对表达式进行变换转化,构造出所需模型。
常用代数模型有:各种数式运算、方程模型、不等式模型、函数模型等。
几何变换是对图形进行平移旋转翻折缩放等操作,构造出所需模型。
常用几何模型有:相似(全等)模型、直角勾股模型、三角函数模型、面积割补模型、动点轨迹模型等。特殊复合模型有:一线三等角、一转成双、主从联动、将军饮马等。坐标系中求值策略:化斜为直;路径和求最值策略:变同为异,化折为直;图形的变换构造策略:共点等线用旋转,共线等角用翻折。
下面我们进行实战演练,江苏教育看南通,就以2017年南通中考卷压轴题为靶来练一练吧。
例1.(2017南通27题)
我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1)等边三角形“內似线”的条数为 3 ;
(2)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求证:BD是△ABC的“內似线”;
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在边AC、BC上,且EF是△ABC的“內似线”,求EF的长.
我们主要看第(3)问。
①理清关系,分析定变:如图,EF为什么能确定?因为它过定点D。D点是由谁确定的?D点是由角平分线确定的。那么D点的求法必须依据角平分线这个条件。
②变换转化,构造模型:由内心联系内切圆,补充图形构造切线长模型求半径DP。
也可构造面积模型求DP。
D点位置确定后,再来确定EF的长度。由ΔCEF∼ΔCAB(两种对应分类)知,要想求EF需知其相似比,相似比等于线段的比,DP的对应线段是什么?如下图,GQ与DP是对应线段。
再由ΔCEF∼ΔCAB列比例式求得EF。
仍用相似模型换个位置方式看:
另外一种不同的相似对应关系,同法可求。由角平分线的对称性可知第二种情况是上图中的EF沿角平分线翻折所得,其值相等。
例2.(2017南通第28题)
已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D.
(1)若∠AOB=60°,AB∥x轴,AB=2,求a的值;
(2)若∠AOB=90°,点A的横坐标为﹣4,AC=4BC,求点B的坐标;
(3)延长AD、BO相交于点E,求证:DE=CO.
这就是传说中的带参函数,我们先看第(2)问:
①理清关系,分析定变:由点A的横坐标为﹣4,AC=4BC,知A、B点纵坐标均可用参数a表示,由∠AOB=90°可得一个关于a的关系式,从而确定a的值。
②变换转化,构造模型:加线补图构造“K形”相似模型如下:
再看第(3)问:
①理清关系,分析定变:本题中没有任何具体数值,题中DE、CO的长度是不确定的变量,需要利用相互依存关系来把握,此时就需要“参数”出场了!
首先考虑如何设参:参数不需设多,也不应过少,恰好够用且计算不繁最好!
然后考虑如何用参:构造相似模型,借助参数建立关系式,用参数表示关键数量。
②变换转化,构造模型:此类问题的设置往往是台阶递进式的,前面的问题及所用方法对后面的解题有提示作用,第(2)问中思考方法及所用模型在第(3)问中仍可应用。如利用AC与BC的比例关系可推导A与B的横坐标关系,利用三角形相似关系进而可推导DE、CO的数量表达式。简解如下:
压轴题考察对多种知识和方法的灵活运用,它的解决必须建立在对基本知识透彻理解、对常用方法熟练掌握的基础之上。当你能纵观问题全局看清问题各要素的联系和变化的时候,就会发现,其实你也可以拿下压轴题!
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