为什么负负得正？
19世纪法国著名作家司汤达小时候很喜爱数学，用他自己的话说，数学是他的“至爱”。但当老师教到“负负得正”这个运算法则时，他一点都不理解，他希望有人能对负负得正的缘由做出解释。
可是，他所请教的人都不能为他释此疑问，而且，司汤达发现，他们自己对此也不甚了了。
司汤达的数学辅导老师夏贝尔（Chabert）先生在司汤达的追问之下感到十分尴尬，不断重复课程内容，说什么负数如同欠债，而那正是司汤达的疑问在：“一个人该怎样把10 000法郎的债务与500法郎的债务乘起来，才能得到5 000 000法郎的收入呢？”最终，夏贝尔先生只得搬出大数学家欧拉和拉格朗日来：
“这是惯用格式，大家都这么认为，连欧拉和拉格朗日都认为此说有理，我们知道你很聪明，但你也别标新立异嘛。”
司汤达所就读的格勒诺布尔中心学校的数学教师迪皮伊（Dupuy）先生对于司汤达的提问，“只是不屑一顾地莞尔一笑”；而靠死记硬背学数学 的一位高才生则对于司汤达的疑问“嗤之以鼻”。
可怜的司汤达被“负负得正”困扰了很久，最后，在万般无奈之下只好接受了它。他一直将数学视为 “放之四海而皆准的真理”，认为数学可用来“求证世间万物”，可是，“负负得正”动摇了他对于数学与数学教师的信心。
记得当初做学生时，学了有理数运算后也产生了同样的疑惑：为什么“负×负=正”呢？老师教这个知识时也没有多解释，只是说这是规定是法则。后来自己琢磨明白了：负表示相反、否定的意义，否定之否定当然是肯定了。
而司汤达问“一个人该怎样把10000法郎的债务与500法郎的债务乘起来，才能得到5000000法郎的收入呢？”他产生这个疑问的原因是没有理解乘法的意义。
加法是同类数据求和，式中两个加数的意义必须相同，如2个苹果加3个苹果结果是5个苹果。而乘法中两个因数的意义是不同的，如a×b中，表示b个a相加，a是数据，b是数据a重复叠加的次数。而符号可以看成是数据的操作方式，正号表示与原操作的方式相同，负号表示与原操作的方式相反。因而算式“负10000法郎×负500法郎”是无现实意义的。可以用“负10000法郎×负500”解释：前一个负号表示对10000法郎的操作方式是支出，后一个负号表示与支出相反的操作方式即收入，从而算式的意义变成了收入500次10000法郎的结果，即为正5000000法郎（收入5000000法郎）。
有人这样用类比的方法解释乘法符号法则的合理性：
好为正，坏为负。
好人好报是好事⇒ 正×正=正；
好人坏报是坏事⇒ 正×负=负；
坏人好报是坏事⇒ 负×正=负；
坏人坏报是好事⇒ 负×负=正。
细想一下，其中的道理确有相通之处，正是日常事理与数学规则的完美结合。
读书时还有一个疑问，在学习无理数时对“无理数”这个名称感觉怪怪的，有理数是“有道理的数”？无理数难道是“没道理的数”？既然没道理我们还学它干嘛？这个疑问直到多年后偶然看到孙维刚老师的解释才迷团顿解。
原来，“有理数”和“无理数”这两个名词是从西方传来，在英语中是“rational number”和“irrational number”。而rational通常的意义是“理性的”，日本人据此把它翻译成“有理数”和“无理数”。中国在近代翻译西方科学著作，照搬了日语中的翻译方法。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非“没有道理”。所以更为合适的翻译应为“可比数”和“不可比数”，有理数都可化为两个整数的比，无理数则不能，这样从名称就可以反映它们的意义和本质。
我想如果老师能对一些不易理解的概念名词作合理的生活化的解释，学生就可以更轻松地接受新概念，更顺畅地理解新概念，也更自然地加深了记忆。
我在讲“平行四边形”定义的时候，这样问学生：“同学们都认识平行四边形，那么你想过没有，它为什么叫‘平行’四边形呢？“这样自然地从“平行”这个名称引入它的核心特征“两组对边分别平行”，这样学生在看到“平行四边形”这个名词就会想到“平行”这一概念中的要点。
如果知识概念与现实体验是和谐自洽的，就容易被理解接受而内化。反之若所学知识概念与现实体验毫不相关甚至是冲突相背的，则很难被真正接受而完成内化。任何概念和规则都是合乎逻辑并能被人的理性所理解和接受，而不是生硬的不讲道理的规定。老师要善于从不同角度寻找适合学生能力和经验的解释方式和联系途径，以助知识概念的理解内化。
当然，有些公理是显而易见可以根据我们的理性和经验直接感知的，如“两点之间线段最短”，这种知识其实是不证自明的，不必过多解释。我是这样说明的：“这个公理同学们肯定都能明白，因为连小狗都知道，想想看，假如你扔给小狗一块肉骨头，小狗会沿着什么路线跑过去？”学生根据自身生活经验自然会理解并确信。
当概念或规则与它的本质内涵或生活经验产生丰富的联系时，理解和记忆就会变得很容易，可以自然而然地实现知识的内化。老师看来天经地义的东西，学生不一定没有困惑和疑问，老师如果能在这方面提供更多信息，就会给学生很大的帮助。
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