简约而不简单－品析2018淮安中考数学压轴题
今年参与淮安中考阅卷工作，经过五天紧张忙碌的奋战，阅卷任务顺利完成。在最后的总结交流会上，我有幸代表阅卷小组针对全卷最精彩的26题作交流发言，在此整理与大家分享。
试题呈现：
（2018淮安卷26题）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
（1）若ΔABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A＝60°，则∠B＝ °；
（2）如图①，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的角平分线，不难证明ΔABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ΔABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且ΔABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长。
本题是全卷的精华之处和点睛之作，值得仔细品味分析。
一、试题特色与主要解法
试题特色：构思独特、设计巧妙，图形简洁、内涵丰富，梯度明显、联系紧密。
试题结构：
（1）定义新概念：2α+β＝90°；
（2）直接应用概念列方程解题（难度：易）；
（3）直接构造图形结合相似三角形解题（难度：中）；
（4）利用变换转化构造图形应用新概念及相似三角形、勾股定理解题（难度：难）。
本道题目包含三层难度的问题，面向全体学生，让他们各施其能各有所得，层次分明，结构清晰。
所含基本知识：三角形内角和、勾股定理、相似三角形、三角函数、角平分线、等腰三角形等初中阶段重点内容。
所含思想方法：分类讨论、转化化归、运动变换、数学建模等。
解法思路：解决阅读理解型问题既要仔细“阅读”又要充分“理解”。在阅读题目中所提供的新概念或新方法的同时，要用已有知识对其进行解释、推理，得出一些新的东西。
如看完定义条件“2α+β＝90°”应该想到什么，作何推理？
（1）α、β只能是锐角，且α+β<90°，因而可知第三个角必为钝角。
（2）α、β中已知一个角度即可求另一个角度。
（3）稍作推理可构造出几种基本图形：
第1种：如下图所示，可构造含角平分线的直角三角形；
第2种：如下图所示，可构造含母子型相似的直角三角形。
第3种：如下图，构造直角三角形+等腰三角形；
第4种：如下图，构造直角三角形+母子相似形。
再作分析推理可知：第2种图形原三角形的各边都包含在直角三角形和相似三角形中，本身已经产生了丰富的数量关系，用此图解决问题应该最为简单有效。
下面讨论一下3个小问题的解法。
第（1）问：因∠C>90°，α、β只能是∠A或∠B，因2∠A+∠B>90°，所以只有2∠B+∠A＝90°，解得∠B＝15°。
第（2）问：存在E点，满足2∠B+∠BAE＝90°，由∠BAE≠∠BAD或BE≠BD知E点不与D点重合。
BE长的求法：
①相似法
②三角法
学生答题中还出现了下面的解法：
③等腰+双高+相似
④建系解析法
⑤K形相似
第（3）问：翻折ΔABC或ΔDBC，构造出与（2）中相同的图形即可。
①翻折ΔDBC转化为（2）中的问题
②翻折ΔABC，解法与①类同
③作BE⊥AB得两对相似
④作BF⊥BC，EF⊥AB，BG⊥AC
二、考试情况与教学思考
从学生答题来看，部分优秀学生思维能力很强，但是用的方法很复杂，过程很繁琐，计算量很大。他们用繁复的方法历经百转千回最终也求出了正确结果，对此我表示既表示佩服，也表示同情，把本来很简单的事做得很辛苦。
本题总体得分率较低，很多学生理解能力、分析能力较差，解题思路不清晰，逻辑推理不严密，失分很严重。
学生答题情况反映了学生的学习存在的问题，也折射出我们平时的教学存在的问题，总结有以下几个方面。
1.审题不明，分析能力弱。
解题思路从哪里来？
任何问题的解决都要从两方面结合进行分析、判断、选择、应用：
（1）问题情境中的信息；（2）所学的知识与方法。
如很多同学感到最难的第（3）问，仔细分析问题，题中至少有5个方面的线索在无声地提示我们作辅助线的方法：
①定义“2α+β＝90°”告诉我们与直角三角形有关，过C作垂线可得ΔACE∼ΔCBE。
②条件“∠ABD＝2∠BCD”告诉我们把ΔBCD沿BC翻折可得∠ABD＝∠DCE。
③条件“AB＝7，CD＝12”告诉我们应该把分散的条件集中同样把ΔBCD沿BC翻折使AB、CD居于同一个直角三角形中。
④由“∠ABD＝2∠BCD＝2x”导角得∠DBC＝90°-x，∠ABC＝90°+x，此两角互补，那么延长AB或DB即可得∠DBC＝∠EBC。
⑤这个想法最巧妙最直接最简单。联系第（2）问，把（2）问图中的ΔACE或ΔABE沿AE翻折即得第（3）问中的图形！！如下图所示，看到这儿是不是恍然大悟？原来题目就是这么命制的，把完整图形中的部分进行运动变换而分离，解题时再把变换的部分再变回来！
从以上角度对问题进行分析，解题的方法不难找到，但我们的学生最缺的就是这种分析能力。
几何综合题作辅助线是一个世界性的难题，原因是学生不能深刻理解作辅助线的根本逻辑，只是依靠记忆模仿或盲目尝试仅着眼于局部图形，而不是依靠分析推理从全局高度思考获得的。这需要平时教学进行相应的培养训练，从整体的角度、从联系的角度、从条件有效利用的角度、从补充完整图形的角度去思考分析问题。我在前面曾撰文，提倡把构造“辅助线”改为构造“辅助形”。一个是从树木到树木，一个是从树木到森林；一个是偶然的，一个是必然的；一个是依据感性直觉，一个是依据理性分析；孰优孰劣显而易见。
相关论述文章详见：
①
2.思维不活，应变能力差。
如第（2）问，很多学生没有看到图中本身已有的相似图形，用最简洁的方法去解决，而是重新构造了含角平分线的直角三角形去解决。出现最多的是下面这种图：
原因为何？
他们是受到图①的影响，产生了思维定势，只想到把相等的两个锐角合在一起，而没有想到另一种更容易做的图形，或者没有看出来图中所含的ΔACE∼ΔBCA，导致整个过程变得很繁琐，把原本简单的事搞复杂了。
第（3）问的答题也存在同样的问题，没有构造出简单易解的图形，而且不知道随机应变及时调整，一条道走到黑，到做不下去的时候，他们宁愿胡乱凑出一个答案也不改变方向重新分析问题寻找思路。
我们在平时教学中不能剥夺学生分析、试错、调整、判断的过程经历，要让学生体验什么时候需要改变思路调整方向，以及如何回到起点重新分析问题改变思路，以获得不同的解决方案，并能判断何种方法最简单直接高效。
3.表达不清，逻辑思维弱。
如第（2）问的解答需先判断存在与否，再说明理由，求出结果。但很多同学在整个解答过程中都没有提及异于D点的E点是否存在，从而导致失分。还有的同学解题过程中逻辑链不完整，所需条件没有证明或计算，结论也没有依据直接得到。另外，有的同学作辅助线使一条线同时满足2个条件，出现了像“作∠BCE＝∠BCD，且CE⊥AB”这样的逻辑性错误。
平时教学中要训练学生有条理有逻辑地表达，解题过程要“条件有来源，结论有依据”。
4.基础不实，推理意识差。
学生对基础知识和基本方法的掌握不熟练，在解决问题时不能自觉地利用所学知识进行推理判断。
如第（1）问的答案很多同学给了“30°”，很明显稍作推理可知“2×30°+60°≠90°”。
再如第（2）问对角的关系稍作推理可知图中含有基本图形－“母子相似形”，很多同学对这种基本图形不熟悉不认识，反而去构造复杂的“二倍角模型”，甚至用了高中的“倍半角三角函数公式”。
又如第（3）问，学生如果掌握解决这类问题要“前后联系、相互转化”的基本方法，就容易想到通过翻折变换得到第（2）问中的图形，再用（2）的方法解决。
数学建模是解决问题的根本方法，那么何为“数学模型”？
广义来说，每一个数学知识和方法都是一个基本的“数学模型”，只要针对问题构造出合适的“数学模型”，问题即告解决。
有些老师在教学中教授了名目繁多的各种“特殊模型”，让学生在解题中去套用模型。模型当然可以总结，也可以用，但前提是：能深刻理解基础知识和基本方法（或称基本模型）并且能对该模型的形成过程熟练掌握。否则模型过多过滥会造成学生死记硬背食而不化，徒然增加负担，还会使思维机械僵化。
教学中要以基础知识和基本方法为重点，只要能深刻理解熟练掌握这些基本模型，其它所有复杂的特殊的模型都可以分解成这些基本模型。引导学生把问题与模型、模型与知识进行融会贯通，形成整体性本质性的认识。这才是教和学的根本所在，以理解为核心，以生长为目的，使学生的思维得以发展，智慧得以生成，综合素质得以提升，从而越学越透彻、越学越轻松。
2018年淮安中考数学卷第26题是一道好题，概念简约、图形简洁，而内涵丰富、思维丰实。此题的解决过程体现了学习新概念的一般方法和规律，能有效考查和训练学生的思维能力和数学素养，可谓简约而不简单。
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