几何最值问题进阶与补充
笔者前期撰文《几何最值问题大一统》，较为全面地归纳提炼了几何最值问题的各种类型，得到广大朋友的喜爱，阅读量和转发量都较大。在此对支持和赞赏的各位朋友表示感谢！
除上文所述类型外，几何最值问题还有一些较为复杂难度较大的类型，在此作一归纳补充，供学有余力的同学参考阅读，以使对此类问题的理解更为透彻。
下面是几何最值问题的分类情况：
读者可以看出，上图是按解题的方法策略为线索进行分类，我认为对于题型的分类按方法策略分类优于按知识背景分类。因为知识背景比较杂乱繁多且不能反映问题的本质结构，而方法策略简洁精炼，适用性广，操作性强，能够统率组织不同的知识内容，容易把握和理解问题的本质特征。下面在前文的基础上以实例对“轨迹叠加”类、等值变换类问题中的“旋转”“拼接”类、“轨迹+变换”类问题进行补充。
没有阅读前文的读者请点击参阅：
例.如下图，ΔABC中，AB=6，BC=4，在AC一侧作等边三角形ΔACD，求BD的最大值和最小值。
解析：
先确定AB的位置，BC是定长，C是动点，则C点轨迹是以4为半径B为圆心的圆。
再判断D点轨迹：D点由C点绕A点逆时针旋转60度所得，所以D点轨迹也由C点轨迹（即圆B）绕A点逆时针旋转60度所得，画出D点轨迹圆E（圆心E同样由圆心B绕A点逆时针旋转60度所得）。
此时，BD的长转化为定点B到圆E的最短（长）路径，作穿心线BE与圆E相交即得。
本题也可以看成把ΔABC逆时针旋转60度至ΔAED，利用ΔBED的三边关系可得BD的取值范围：2≤BD≤10，最小值为2，最大值为10。
本题的两个动点轨迹是依存关系，需先确定一个动点所在轨迹，再由之确定另一个动点所在轨迹。
一、旋转（典型问题：费马点）
例.△ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
解析：
此类问题的基本策略是化分散为连续、化拆线为直线，PA、PB、PC需转化为连续折线。我们运用全等旋转变换把△APC旋转60度至△AP'C'，可以实现把分散线段PA+PB+PC转化为连续折线PB+PP'+PC'。
易知三折线共线时最短，便可转化为求线段BC'的长。
二、拼接
例.ΔABC中，∠BAC=45°，AB=3√2，BC=6，D、E是BC、AC上的动点，且BD=CE，求AD+BE的最小值。
解析：
此类问题思考的基本策略不变，仍是需把分散的AD、BE转化成连续折线段，考虑到有BD=CE这一条件，可以把ΔABD和ΔBCE拼接在一起，使AD、BE构成连续折线，再把折线拉直。
思考：能够拉直需具备什么条件？
[连续折线的两端是定点，动点及其所在轨迹位于定点之间。（这是这类问题变换的目标模型）]
如下图，把ΔABD移至ΔBCE处使BD与CE重合即可拼接，转化为定点B到定点F的最小路径问题。
根据两点之间线段最短，当动线段BE、EF共线时，AD+BE最小。
上述两种变换方法目的都是把线段拼接成连续折线，再求两点之间的线段得到最小值。
轨迹&变换例1.矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、P分别是AD、CD边上的动点，AF⊥BE，求PF的最小值。
解析：
本题中E是动点，F点是动点，需先确定点F的轨迹，显然由定线对定角得F点轨迹是以AB为直径的圆：
折线AP、PE在CD同侧，无法拉直，再把点A进行翻折变换即可转化为点到圆的最短路径：
如下图，把PF、PA'拉直并过圆心得A'F即为最小值：
例2.如图，ΔABC中，∠ACB=45°，AC=8，BC=6√2，D是平面内一点，且CD=4，求0.5AD+BD的最小值。
解析：
由条件易知ΔABC的形状大小一定，D是动点，需先确定D点的运动轨迹，由定点&定长知D点在以C为圆心4为半径的圆上。
再把0.5AD用相似变换进行转化，取CE=1/2CD，由CD:CA=CE:CD判定相似得DE=1/2AD，变为定点B到定点E的最短路径。
如下图，B、D、E共线时，得BE=2√13。
当然，如果上题如果不考虑轨迹圆，只构造相似三角形同样可以根据三边关系得解。建议还是要明确点的轨迹，使问题更清晰，更见整体和全局。
上述问题都是需要先确定动点轨迹，再变换折线位置使之居于动点两侧，以便化折为直得到最短路径。
1.边长为4的正方形ABCD中，P是内部一点，求PA+PB+PC的最小值。
2.矩形ABCD中，E是AD上的动点，F在BE上且∠BAF=∠AEB，G为BC的中点，在FG右侧作等边ΔFGH，求CH的最小值。
3.矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P、Q两点分别从B、D两点出发以相同的速度向A点运动，求CP+BQ的最小值。
4.如图，直角坐标系中，等腰直角三角形ABC中∠C=Rt∠，AB⊥x轴，AB=6，P是y轴正半轴上一动点，在运动过程中保持AP=PO，已知D（-2, 0），求BD+OB的最小值。
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