庖丁解牛与数学解题：如何切入和突破
《庄子·养生主》庖丁解牛的故事：差的厨师一个月就要换刀，他是用“砍”的方法。好点的厨师一年就要换刀，他是用“割”的方法。而庖丁总是游刃有余，解牛十九年未曾换刀， 何也？庖丁追求的不是一般的技艺，而是解牛之“道”，所谓“目无全牛”，“以神遇而非目视”。他解牛时循着牛的筋骨结构进刀、行刀、出刀，合乎舞蹈的节奏和音乐的韵律。
解题与解牛是一样的道理，庖丁解牛时目无全牛，所见的只是牛的筋骨结构，我们解题时也应目无全题，见到的只是题的逻辑结构。若只见外在形式不见内在结构，便会迷于表象，难见本质。
数学综合题如何寻找切入点和突破口？自然是根据题的结构特征。庖丁解牛，解的是各种各样的牛，它们有共同的规律；我们解题，解的是多种多样的题，它们也有共同的规律。
下面以一道难住很多同学的综合性试题为例，来反思如何用解牛的道理来解题。
如图，抛物线y=-1/2x^2-√3x+9/2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D为顶点，点Ｅ为点Ｃ关于对称轴的对称点。
（１）点D的坐标为（-√3，6）；点Ｅ的坐标为（-2√3，4.5）。
（２）如图１，若点Ｐ是抛物线上位于点E、D之间的一个动点（不与E、D重合），当四边形DBEP面积最大时，求点P的坐标。
（３）如图２，连接AD、BD，直线BD交y轴于点Ｆ，连接AF，过点D作x轴的垂线交AF于点H，已知点R为线段AD上一动点，连接RH，将ΔARH沿RH翻折至ΔQRH，QH与直线AD的交点为S，若点Q落在直线AD的左侧或直线AD上，当ΔQRH与ΔAHD重叠部分为直角三角形时，求R点的坐标。
（4）在（3）的条件下，将RtΔRHS绕点S逆时针旋转α（0°<α≤180°），记旋转后的ΔRHS为ΔR1H1S，若直线R1H1分别与直线AD、直线AH交于点M、N，当ΔMNA是以∠MAN为底角的等腰三角形时，请直接写出AM的长。
解析：
庖丁解牛的故事告诉我们：弄清结构、循理而行，则事半功倍、游刃有余。数学解题的核心只有一个：问题的逻辑结构。笔者所总结的解题八字策略：“加减、进退、分合、动静”，正是根据题目的结构特征寻找切入和突破的总体原则。
我们看第（2）问：在题目和图形中你看到了什么？仅仅看到四边形DBEP肯定不够，解题者还应看到这个四边形DBEP需要分成切分成可直接计算的几何图形（如三角形等）。从图形本身的表面来看，四边形DBEP可以分成ΔPBD和ΔPBE，或分成ΔBDE和ΔPDE等。很多同学往往在此处彷徨不定难以抉择，正所谓“歧路多亡羊”。为什么会有似是而非的歧路？原因是只看到问题表面的形式，而没有看到背后的逻辑结构：
逻辑推理是数学的核心，当我们运用推理的方法弄清问题的逻辑结构后，切入点和突破口就能迅速找到，思路瞬间清楚明了。就像本题，不少同学不辞劳苦地想办法计算四边形DBEP的面积，其实完全是多此一举，只要计算ΔPDE面积最大时P点坐标即可。爱思考的同学还会进一步推导简化：ΔPDE面积最大只要PL最大即可。然后你知道就可以转化为基本问题：求PL的表达式计算其最大值，这就是本问题的最佳切入点。
第（3）问：按照题目的变换方式想像出不同情况来讨论也不算太难，但就数学来说比想像力更重要的是逻辑推理。想像出具体图形虽然直观形像，但输于不够严谨明确，而且速度难以提升。我们若按重叠三角形三个内角分别为直角进行讨论，则可以很快画出图形得出结果。顺便提一下，无用的背景图形忽略不看，别给自己眼睛找麻烦（如本题的抛物线在后面已与问题的实质无关可直接忽略不看）。
第（4）问最困难，困难在于旋转的过程难以想像，符合条件的图形难以画出。有的同学无计可施，便剪一个三角形进行操作，直观地看什么时候符合条件。这种方法就相当于庖丁解牛中所说的“砍”与“割”的方法，没有遵循规律和使用策略，既费时又费力，而且容易遗漏。我们要回到数学的核心方法：逻辑推理。画图不是全凭直观想像，也需要逻辑推理。推理既要会“进”也要能“退”，“进”是从条件出发顺推，“退”是从结论出发逆推。先假设满足条件的图形已画出，观察下图：
稍作推理：此时∠N=∠MAN=∠NAB=30°，所以MN∥RH∥AB，MN在直线R1H1上，也即RH旋转后与自身平行，推得RH一定是旋转180度，从而容易画出图形并计算。（推理依据：旋转前后对应线段所在直线的夹角等于旋转角。）
同理，当∠AMN=∠MAN=∠ADH=30°时，MN⊥RH，因而应旋转90度。
另外一种情形依同法逆推旋转角分别为30度和120度，再画图求得AM的长。
逻辑结构是数学问题的核心，从条件到结论，或从结论到条件，都有其内在联系。要想弄清问题的结构关系，就要进退有序顺势而为，则思路自通全盘皆活，切忌彷徨不安止步不前，否则易至一叶障目不见泰山。
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