再谈解题的全局思维和动态思维

Original 谈志国数学大思维 2022-07-17

收录于合集

不谋全局者，不足以谋一域；

不知变化者，不足以言科学。

全局思维和动态思维是最重要的高阶思维方式，它决定思维的质量和效率。数学学习和数学解题正是训练这种思维的有效途径，以此思维学习和解题更是事半功倍水到渠成。

老师看到数学题后能迅速判断题目中所含的基本模型，而很多学生往往做不到，这是为什么呢？

固然有老师见多识广经验丰富的因素，但更重要的是老师所站的高度和思考的角度更高。相对来说，老师更能够以全局思维和动态思维思考问题，从而发现问题的本质。

我们以实例说明如何在解题运用和训练全局思维和动态思维。

例.如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，连接BG、DE、AF，分别取它们的中点P、M、N，求证：四边形PCMN是正方形。

审题与思考就是把信息结构化，把混沌信息转化为有序结构。

引导性问题：

（1）怎么看两个正方形的关系？

[其中一个可以看成另一个绕公共顶点旋转任意角度并缩放所得。]

脑补图是这样滴：

（2）图中有三角形关系吗？

[正方形可以分解成等腰直角三角形，得另一对全等三角形，并且是旋转90度。手拉手模型：ΔBCG旋转90度得ΔDCE。]

脑补图如下：

（3）CP与CM是什么关系？由此，能得出CP与CM的关系吗？

[CP、CM分别是ΔBCG、ΔDCE对应边上的中线，当然也是和三角形一样旋转90度的关系，能证CP与CM也是相等且垂直。]

（4）已经成功一半了，再看AF在整个图形中是什么角色？

[AF、BG是共顶点的一对等腰直角三角形的对应点连线，由一转成双知ΔBCG与ΔACF也相似，且是旋转45度并放大1:√2关系。]

（5）继续前进，CP、CN又是什么角色？

[CP、CN是相似三角形对应边上的中线，可得CP:CN=1:√2，且∠PCN=45°。]

（6）到此已得ΔPCM、ΔPCN都是等腰直角三角形，问题得证。

全局视角能看到局部元素在整体中扮演的不同角色，动态视角能看到元素之间的变换生成关系。