高阶思维之动态视角
为什么很多同学遇到有些深度的问题苦思冥想却一筹莫展？
当被告知答案时仿佛恍然大悟而下次再遇却仍然无从下手！
这是因为老师只告知学生怎么做，并没有教会学生怎么想，思维的策略没有学到，思维的方式没有改变，解决问题的能力自然不会进步。
做题数量的增加并不能带来能力的提升，思维方式的改变才能真正提升能力。
比如，从南京到上海你选择什么交通工具决定了你行进的效率，如果你选择自行车，那么给你全世界最好的自行车也跑不过最普通的汽车！
我们学习数学，要学会有条理，还要学会讲道理，而且要体会事物中蕴含的哲理。
我们还是通过具体问题来看一下如何优化思维方式以获得更高的效率。
例1.（2016•宿迁卷16题）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 ．
解决这个题目如果思维没有条理，不能从运动变化的角度去思考，那么解题的速度就会很慢，而且会导致思考不全面造成遗漏。
有序而高效的思考方法如下：
（1）已知2点再找1点构成等腰三角形是一个常见问题，从全局视角来考虑，满足条件的点在2圆1线上，所以先画出满足等腰三角形的所有点的轨迹，如下图，直线AD上最多有5个点可以与BC构成等腰三角形。
（2）再看问题的另一个条件：只存在3个点与BC构成等腰三角形，那么必然要减少其中的点，很多同学首先想到的是当直线与两圆相切时正好减少2个点，只剩3个点。但是要注意，这是一种静态的思维，弊端是片面、孤立，导致思考的不完整。
（3）图形画在纸上是静止的，但我们要透过条件看到图形的运动变化过程。本题中，BC的长是确定的，所画的2圆1线也是确定的，而AB的长是不确定的，当AB的长度变化时，可以看成直线AD在平面内进行平移运动。我们可以通过想像或画图或用直尺演示，看一下在AD平移的过程中，2圆1线与直线AD的公共点是如何变化的。
（4）很显然，在整个运动过程中，有些点是相互接近直至重合，有些点是先接近再分开，符合条件的是3个点重合和两两重合（相切）两种情况。
在此问题中只要我们想到从运动变化的过程这个角度去思考，就能把握问题的全局，就能很快找到答案而且不会发生遗漏。
例2.（2016•常州卷18题）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是_____．
思路如下：
（1）易证四边形PCDE是平行四边形，且∠EPC=150°，设AP=a，BP=b，则EP边上的高CM为1/2b，面积为1/2ab，发现与△ABP面积相等。
（2）△APB面积最大是多少呢？已知AB为定值，面积随P点到AB的距离变化而变化，又因∠APB=90°，知点P在以AB为直径的圆上运动，如下图，PH≤OP，所以当PH=1时△APB面积最大为1，即四边形PCDE面积的最大值是1.
此外，此题也可根据a2+b2≥2ab，得1/2ab≤1.
例3.（2017•无锡卷18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
分析：因∠BOD的顶点不在格点，若直接计算比较麻烦，从动态的视角来看，只需把其中的一条直线进行平移保证角度不变即可。如下图，把直线CD平移使交点在格点处就可以直接构造直角三角形，从而减小计算量。
总结：我们在解决与图形有关的数学问题时，可以根据条件判断图形中哪些部分的位置大小是可以确定的，哪些部分是运动变化的，然后根据整个变化过程找出符合条件的解或构造出合适的图形解决问题。
世界是运动变化的，事物是变动不居的，它们的变化也是遵循一定的规律，我们必须拥有动态视角才能把握全局、发现规律。
【扫描二维码，关注《生长数学》】