高阶思维之全局视角

古人云：不谋全局者，不足以谋一域。任何事物只有放在整体结构中，才有助于产生联系并拥有完整的意义，才有助于被深刻理解认识，才有助于做出合理的选择。

所以行军打仗要有整个地区的地图，城市规划也要根据整个地区的地图。

我们解决数学问题也是一样，要看到问题要素的整体结构才能更好地打开思路解决问题。

余不赘述，且看例题。

例1.已知⊙O半径为3，点A、B在⊙O上，∠BAC＝90°，AB＝AC，求OC的最小值.

分析：

（1）点A、B、C都不确定，从全局的视角看，通常我们要思考：点C的运动轨迹是什么？

（2）若点A当成定点，点B当成动点，则点C是由点B绕点A逆时针旋转90°而来，所以此时点C的运动轨迹也是由点B的运动轨迹绕点A逆时针旋转90°而得，即⊙O绕点A逆时针旋转90°，如下图，[此类问题祥见文章：探本求源－秒解旋转缩放型的动点路径问题]由此可以转化为点O到点C所在圆的最短路径。

（3）若点B当成定点，点A当成动点，则点C是由点A绕点B顺时针旋转45°并放大√2倍而来，所以此时点C的运动轨迹也是由点A的运动轨迹绕点B顺时针旋转45°并放大√2倍而得，即⊙O绕点B顺时针旋转45°，如下图。同样转化为点O到C点所在圆的最短路径。

（4）实际上，上述两圆还不是点C的全部轨迹，因为A、B都在圆上运动，如下图所示，我们让上面两个轨迹圆再运动得到点C的轨迹是两圆扫过的部分。

通过上面两种方式都可以发现，点C的运动轨迹是以O为圆心的圆环内部所有点的集合，此时可以很容易地确定O与圆环的最短或最长路径。

（5）再来换个角度思考

①把ΔACO绕点A顺时值旋转90°得ΔABD，看出这样有什么好处吗？

CO转化为BD，并且BD在ΔBOD中，最关键的是BO、DO为定值，由三边关系易得：DO-BO≤BD≤DO+BO。此种方法的巧妙在于通过旋转得到一个大小确定的等腰直角三角形ADO，从而为解题带来方便。

上图本质上还是转化为圆到圆的最短路径，DO=3√2，所以点D在以O为圆心3√2为半径的圆上，而点B也在以O为圆心3为半径的圆上，BD最小值为3√2-3。

②同样可以把ΔABO绕点A逆时针旋转90°得ΔACD。（此时OD为定值）

③亦可把ΔABO绕点B顺时针旋转45°并放大√2倍得ΔCBD，得CD=√2AO=3√2，OC≥CD-OD=3√2-3。（此时CD为定值）

④仿上题，把ΔACO绕点C逆时针旋转45°并放大√2倍得ΔBCD，得OC=OD ，BD=√2AO=3√2 ，OC=OD≥BD-BO=3√2-3。（此时BD为定值）

⑤还可以把上面两种旋转的方向反过来，同样可以。（此时AD、BD分别为定值）

上面几种旋转的方法不是割裂的，它们是统一的，即绕已知确定形状的三角形ABC各个顶点旋转该内角的度数使其中一边与另一边重合（若两边不相等，则放大或缩小后重合），同时旋转所带三角形至少有一条已知边。

如上图，把三角形BCO绕点B旋转的角度为45度，BC边缩小√2倍与AB重合，此时所带三角形BCO中BO为已知边，因此得对应边BD（OD）亦为已知边，所以在三角形ADO中可求AD的取值范围，再进一步求得OC的取值范围。同理，每个顶点有顺逆两种旋转方向，共有六种旋转方式，都属于同一个方法。

这种图形的相似变换应用非常广泛，我概括之为“一转成双”，即把一个三角形绕一个顶点旋转一定角度再进行缩放得它的相似三角形，必然会产生另一对相似三角形。如上图，三角形ABD与CBO，三角形ABC与DBO是两对相似三角形。

例1稍作变化如下，请读者尝试完成。

已知⊙O半径为3，点A、B在⊙O上，∠BAC＝90°，AB:AC=4:3，求OC的最小值.