用高阶思维解决问题2

高阶思维要具备三种视角：动态视角、本源视角、全局视角。这三种思考角度是相互系相辅相成的，在运动的过程中会发现本源看到全局。这三种视角都是帮我们找到规律看到联系，从而顺利解决问题。

我们要深入把握四种联系：知识与知识之间的联系、知识与问题之间的联系、问题与问题之间的联系、具体题目中的条件与条件及条件与结论的联系。

思维能力就在于对各种联系的理解与运用，建立的联系越丰富、越精细、层次越明晰，那么解决问题的能力就越强。

我们用例题来看如何思考一个陌生的问题，寻找它与已有知识、已知问题、以及该问题内部要素之间的联系。

例1.（2017甘肃兰州28题最后一问）

已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求 1/2AM+CM  的最小值.

看完题目我们要问几个问题：

（1）联系已有知识经验，几何中线段最值问题的基本方法是什么？

通常转化为点到点、点到线、点到圆的最短路径问题（还有用函数表达式求最值，这里不适用）。

（2）本题中的条件结构比较接近哪种基本问题？

图中有两个定点一个动点（A、C是定点，M是圆上的动点），一般转化为点到点之间的路径线段最短。如下图，P是圆O上的动点，A、B是两个定点，则P在AB与圆O交点处时PA+PB最小。

（3）题中的图形与上面的基本图形有何联系和不同，要解决的阻碍是什么？

相同点：都是圆上一动点及圆外两定点的关系。

不同点：定点连线与圆没有交点，而且出现线段的一半。

阻碍有两个： 一是1/2AM需要转化；二是转化后定点连线与圆要有交点。

（4）联系相关条件，如何构造等于1/2AM的线段？

显然这条线段等于1/2AM，且这条线段应以M为端点，且另一端点与C点在圆周的两侧，以使其连线与圆O相交，设这条线段为MN。

我们从动态视角来看此图，在点M运动过程中，MN和AM都在变化，但保持MN：AM＝1：2，再寻找运动中的定值是圆的半径ME=√5，还有与AM相关的线段中有AE=2√5，ME：AE＝1：2，由MN：AM＝ME：AE自然想到构造相似形ΔMNE∽ΔAME，EN：EM＝1：2时可得ΔMNE∽ΔAME，此时MN=1/2AM，顺利把AM转化为MN，N是定点，变成点到点的最短路径问题，易知MN+CM的最小值即为CN的长。

（5）计算如下：

本题还可以求1/2BM+CM的最小值，方法类同。

反思可以发现，这种转化的方法与将军饮马问题本质相同，将军饮马是用翻折的方式把定点置于动点所在图形的两侧，而此题是用相似变换的方式实现的。

例2.如图，CD是直线y=x上的一条动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．

（1）题中△ACD的周长取决于哪些数量？

CD为定值，周长最短时即AC+AD的值最小。

（2）本题与将军饮马问题的联系是什么？

相同点：都是点在线上动，求两条线段的最小值。

不同点：只有一个定点，有两个动点（可以看成一个，因为其中一点确定，另一点随之确定）。

（3）本题与例1的联系是什么？

定点（A）及两条动线段（AC、AD）都在动点（C、D）点所在图形（直线y=x）的同侧。

由此可以借鉴将军饮马及例1的方法，构造相同的图形解决。

①把A点沿直线y=x翻折把AD转化为A'D，以使定点居于动点所在直线的两侧，现在求AC+A'D的最小值。

②“将军饮马”问题中是直线上一动点到两个定点的距离之和，而AC与A'D不是同一个动点到两个定点的距离，C、D要并成一点，且保持A'D长度不变，显然把A'D平移，使C、D重合即可。

③如图，由于CD是定值，所以A''点是定点，即求A''C+AC的最小值。豁然开朗！到此顺利转化成点A到点A''的最短路径问题，即为AA''的长。

④构造直角三角形和相似三角形计算如下，大功告成。

由对称原理（A'D、AD、AC、A'C四条线段都是定点和动点的连线，它们的地位是一样的，对它们的操作可以相互等价迁移），把平移A'D变为平移AD、AC、A'C同样可以，得还有以下三种构造方法。

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