新初三第一课：学习之道
第一次给新班级新初三的同学们上课，我们来聊聊学习这点事。
让我们来思考几个问题：
1.我们为什么要学习？
2.我们要学习什么？
3.我们应该怎样学习？
老师先采访几位同学。
老师再来谈谈自己的看法。
1.我们为什么要学习呢？
当然是为自己，为了解放自己获得自由。人的自由需要什么条件？要做到知者不惑，仁者不忧，勇者不惧，人才是自由的。换句话说，人要有能力，有智慧，然后才能有自由选择权，而这些都需要学习。
2.我们要学习什么呢？
学习事物运行的规则，学习解决问题的方法，学习如何与世界相处，学习如何与自己相处。
3.我们应该怎样学习呢？
老子说：道生一，一生二，二生三，三生万物。这是世界的形成过程。我们的学习过程要反过来，从认识万物，把万物分门别类，研究它们的共同规律。也就是化繁复为简约，化混沌为有序，化偶然为必然，寻找万物的根本规律，达到归一之境。
一就是规律、就是真理、就是道路！
让我们一起寻找至简至易至大至美的一！
我们再来思考：为什么有些同学知识记不住，题目不会做？
因为还没有达到自然运用必然想到的状态.
如何才能达到这样的状态呢？
我们要把所学知识方法紧密联系融会贯通，寻找不同知识内容的相同点把它们归一，寻找不同方法结构的相同点把它们归一，最后把繁化为简多变为一，一以贯之，解决问题就能达自然必然的状态。
我们以实例来探讨：
如图，ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CD⊥AC，连接AD，在AD上取点E，使AE=AB，连接BE，交AC于点M.
求证：AD=AM+CD
乍看此题是不是觉得难以下手？
不要紧，我们有一以贯之的解题原则：若要问题得解，则须条件用足，模型完备。若条件无法应用则说明模型不完备，需构造完整。从问题情境出发，若发现模型有残缺，则添补完整；若现图形元素有联系，则变换重组。
题中有AD=AM+CD，AD在ΔACD中，AC旋转90度得AB，这就是联系的线索。我们自然想到把ΔACD跟随AC旋转90度。
谁能告诉我证明过程？
再换个思路，题中有AD=AM+CD，我们把AM补上一段AG使之等于CD，再证明MG=AD就行了。大家把图画出来看一看，下面的证明怎么进行下去。
我们再把两个方法放在一起比较，能不能归一？
说说看，这两种方法的共同点是什么？
可发发现：它们都是以相等的边为线索，构造出一对全等三角形，而且产生了一个等腰三角形。一个是顺时针旋转90度，一个是逆时针旋转90度，所以最终两个构造出来的三角形组成了一个平行四边形。
我们来看怎样把不同问题的知识内容归一：
例.下面问题中所求数量如何计算？
（1）n个人参加宴会，每2人要握1次手，问共握手多少次？
（2）从n张不同的纸牌中任选2张，共有多少种不同的选法？
（3）n支球队参加比赛，每2队要比赛一场，共赛多少场？
（4）直线上有n个点，共构成多少条线段？
（5）平面内有n个点，最多构成多少条直线？
（6）平面内有n条直线，最多有多少个交点？
（7）如图，由一点引n条射线，共可构成多少个角？
（8）如图，AB上共有n个点，图中共有多少个三角形？
（9）按如下方式排列圆点，排(n-1)行共需多少个圆点？
（10）n边形共有多少条对角线？
上述问题中，无论是1个人、1张牌、1支球队、1个点、1条直线、1条射线，还是1次握手、1种选牌、1场比赛、1条线段、1条直线、1个交点、1个角、1个三角形、1个圆点，它们在数学关系上都是等价的。2个人握手1次就相当于2支球队比赛1场或2张牌构成1个组合或2个点构成1条直线或2条射线组成1个角。
它们的计算公式都是n(n-1)/2，因此它们是统一的，我们把它们归结为同一类问题。
又如方法结构的归一：
1.如图，D、E分别是AB、BC的中点，AB=a, BC=b, 则DE=?
2.如图，OD、OE分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，∠AOB=α, ∠BOC=β, 则∠DOE=?
它们的计算方法分别为：
同学们能不能看出这两个问题及其解法的结构一致性？
若把第1题图形中的C点移至AB之间，如何表示DE的长？式子结构变吗？式结构与形结构有什么对应的结构关系？
显然，C点到AB内部，则式子中的加号变为减号。
第2题作何对应的变化可以得到与第1题相应的结构关系？
显然把OC移至∠AOB内部，表达式的结构也发生了同样的变化。
这两题有共同的结构形式，同样可以归一：图形的位置变化引起表达式的符号变化。这个规律可以应用到其它很多问题，我们会发现这是一个一般性的规律。
我们经常说的融会贯通是指什么呢？实际上就是我们在学习过程中要会概括原理，弄清本质，这就是归一；再由此迁移创造，推陈出新，这是由一生二。
比如下面两个式子，外形上很相似，为什么一个成立，另一个不成立呢？
我们从内在关系来看，①式是乘法对加法的分配律，②式是乘方对加法，相差两级运算，不存在分配律。那么改成什么样子就可以得到相同关系的式子呢？
变成下面③式显然就成立了，请你解释一下。
可以概括其原理：上一级运算对下一级运算存在分配律。
因此可以判断，下面的式子都是成立的。（字母的取值范围自己判断）
再看一例如何由已知结论迁移创造出未知结论：
前式是乘方运算，后式是开方运算，两者互逆，按其结构关系可推知结论中的运算也应是互逆的，于是得：
最后，再强调一下同学们要养成数学学习的基本习惯。
1.知识学习方面：
（1）多语言表达：对数学知识用图、式、文多种方式表达。
（2）深度理解：搞清楚该知识是什么，为什么，怎么用。（你是谁，从哪里来，到哪里去？）
2.解决问题方面：
（1）可视化思考：在题目中圈划标注，并进行列画推算。
（2）反思归一：该题应用了什么知识，什么方法，思路怎么想到，属于哪一类问题，可概括成什么规律。
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