再识一次函数
生长语录
什么是能力强？方法多就是能力强。
什么是理解深？联系多就是理解深。
什么是独立性？批判性就是独立性。
什么是创造性？生长性就是创造性。
对一种事物从不同角度认识它，用不同的方法分析它，我们对它的理解就越来越深刻，就更容易领悟它的本质，并能感受事物之间的联系与统一。
【一】一次函数与三角函数
1.斜坡AB的坡度i为1:2，坡度代表什么意义？它还与什么数量有关？
[ 坡度是指倾斜程度，它还与倾斜角∠B的大小有关，等于∠B的正切值，或斜边所在的垂直高度与水平长度的比 ]
2.直线y=kx+b中的k的几何意义是什么？
[ k代表直线的倾斜程度 ]
3.既然都是倾斜程度，下图中的k与∠ABO的正切（AO：BO）有什么关系？
果然是一回事！k为正时是上坡，k为负时是下坡。
【二】一次函数与等差数列
数列 3，7，11，15，19……第n项表达式是 。
数列的项a与项数n的关系是属于什么函数关系？
如上图，a=3+4(n-1)，a与n的关系也是一次函数关系，其k值就是公差。当k为正时递增，当k为负时递减。
【三】k与速度(单价、工作效率等)的关系
1.如下图表示行驶路程y（km）与行驶时间t（h）的关系，AB段的速度是多少？AB段的k值是多少？
发现：k值即是速度。同理在金额与数量的函数关系中，单价就是k值，在工程问题中，工作效率就是k值。
2.你能直接写出AB段的函数关系式吗？
[ 用实际意义解释，y=80+60(x-1)，y=80-60(1-x)，y=260-60(4-x)，y=260+60(x-4) ]
【四】一次函数、等差数列、坡度、正切、速度（单价、工作效率等）的联系统一
1.一次函数的k值、等差数列的公差、坡度、正切、速度、单价的共同点是什么？
它们的共同点：都是两个量的比值。
2.比值的另一种意义：单位增量。
速度为k千米/小时的意义是：时间每增加1小时，所行的路程就增加k千米。
单价为k元/千克的意义是：数量每增加1千克，商品的金额就增加k元。
坡度为k的意义是：斜坡的水平距离每增加1千米，对应的垂直高度就增加k千米。
公差为k的意义是：数列的项数每增加1，项的值就增加k。
一次函数k的意义是：x值每增加1个单位，对应的y值就增加k个单位。
可见，一次函数是对上述实际问题的抽象和概括。它的本质特征是定比，即每一段函数对应的函数值y的变化量与自变量x的变化量的比值一定。
【五】一次函数表达式的另类求法
1.如图，求直线AB的函数关系，你有哪些方法？
（1）待定系数法列方程。
（2）算术方法列式计算。
k=(3+2)/(3+1)=5/4，或k=tan∠BAC=BC/AC=5/4。
y=-2+5/4(x+1)，或y=3+5/4(x-3)。
2.农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:
请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式;
分析：由于当x成等差数列时，y值也是等差数列，符合一次函数特征。
（1）待定系数法列方程。
（2）算术方法列式计算。
k=(450-600)/(35-30)=-30 ，或k=(150-0)/(45-50)=-30。所以y=600-30(x-30)，或y=450-30(x-35)，y=300-30(x-40)……
3.一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式。
（4）何时两车相距300千米？
分析：函数关系式求法简示如下图：
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