孪生问题之以静制动

我们经常见到这类问题：当图形中动点（线）的位置发生变化，其它条件不变时，判断原有结论是否成立并证明。由于问题的主体条件没有变化，仅是图形的相对位置及外观发生变化，所以解题思路与原问题相同，相关结论与已得结论相同或相似。这类问题我们可以称之为“孪生问题”，这类问题只要解决第一个，后面产生的第二个、第三个就可以“以静制动”，重复使用前面的方法解决。

例1.（1）如图1，∠AOB=60°，OC在∠AOB内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON.

（2）如图2，若OC在∠AOB外部，其它条件不变，∠MON的度数变化吗？请求出它的度数.

图形及简解如下：

可以发现，两个问题解题步骤几乎一模一样，解决了第1 个问题后完全可以把它的过程照搬到第2个问题，只是其中∠MON与∠AOC、∠BOC的相对关系发生了一点变化，由相加变成 了相减。

例2.（1）如图1，ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE.

判断线段AD、BE、DE的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，若直线DE绕点C旋转到图中的位置，其它条件不变，判断线段AD、BE、DE的数量关系，并说明理由.

（3）直线DE绕点C旋转的过程中，线段AD、BE、DE还有其它不同的数量关系吗，请直接写出结论.

我们通过分析条件可以发现：在直线DE绕C点旋转的过程中，其关键图形关系始终保持不变：ΔACD≌ΔCBE。

对比三种位置的解题思路：

例3.（1）如图，等边ΔABC内有一点P，它到ΔABC三边的距离分别为PD、PE、PF，若ΔABC边长为6，求PD+PE+PF的数量关系。

（2）若点P在ΔABC的外部，求PD+PE+PF的数量关系。

第（2）小题中当点P在三角形外时要进行分类讨论，如下图分成6个区域。

第（1）小题可以用面积法求PD+PE+PF的数量关系，其它情况同样可以原样迁移，举其中2例如下。

反思总结：孪生问题可以一法多用，这类问题虽然图形外观变化较大，但我们只要拥有抓住本质的火眼金睛，就可以发现它们的方法具有惊人的一致性。如果我们解决了第一个问题，后面的问题来个顺水推舟就可以迎刃而解。

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