数学解题的道与术（续）

总结各类几何最值问题，不管是单线段最值还是多线段和的最值，最终都转化为点到点、点到线的问题（以此为基础还有线到线、点到圆、线到圆、圆到圆几类问题），所不同的仅是转化手段的各有不同.

我们还可以总结数学中最基础最常用的六种武器，代数三种：方程、函数、不等式，几何三种：相似（含全等）、勾股、三角.再加上四大顶级招式（几何变换）：平移、旋转、翻折、缩放，大部分数学难题便可以轻松解决了.

我们再上两道最值题来享用一下.

1.ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD=2，BD=6，E是AC上一点，∠EDF=90°，∠DFE=30°，求BF的最小值.

简析：ΔDEF是定形，BD是定长，以BD为边构造30°的直角三角形DPB，或看成把ΔBDF旋转缩放至ΔPDE，两种方式可以互推，是等价的.

得BF=√3PE，而P是定点，E是AC上的动点，转化成点到线问题，PE⊥AC时求得PE=√6-√2，所以BF最小为√3(√6-√2)=3√2-√6.

再用轨迹法，由主从联动模型可以判断，当E点在AC上运动时，F点的轨迹也是线段，具体怎么证明呢？还是用顶级绝招：变换－旋转缩放，A是E点所在轨迹的端点，用它变换再合适不过了，如下图，把A点旋转90°并放大√3倍，仍然等价于构造ΔADP∽ΔEDF，还是一转成双（手拉手）模型，再证ΔADE∽ΔPDF得∠DPF=∠DAE=45°，因而PF是定线，仍是转化为点到线问题，当BF⊥PF时即为所求最小值.

2.如图，正三角形AOB的中点E在x轴上，OE＝6，C是x轴上一点，ΔACD是正三角形，求DE的最小值.

简析：图形仍是一转成双（手拉手）模型，容易看出ΔADB≌ΔAOC，DE是AB边上的中线，对应边AO上的中线CF=DE，转化为求定点F到x轴的最短路径问题，是不是太简单了？

再从轨迹的角度观察，D点是C点绕A点旋转60度，所以D点轨迹是x轴所在直线绕点A旋转60度.从ΔADB与ΔAOC的位置关系来看，BD与CO的夹角等于旋转角为60度，E点到直线BD的距离即为DE的最小值.

在筑路工人的眼里，石头只是铺路的材料，在雕刻家眼里，石头里却藏着一尊神像.在以上问题中，有的同学有困难多数是因为看待问题的视点不够高，如本题中D点不要仅看作是一个点，而是一条线，且与C点所在的线是旋转60度的关系，所谓轨迹或集合就是点动成线而已.

我们再看另一类常见问题，满足特定条件的下面几个图形中，AC、BC、DC都存在特定的数量关系.所用构造方法仍是旋转变换－一转成双模型.

BC+DC=√2AC

BC+DC=AC

BC+DC=√3AC

实质上ABCD四点共圆，当C点旋转到弦BD的另一侧时，AC、BC、DC仍存在类似的数量关系，如下图.

BC-DC=√2AC

BC-DC=AC

BC-DC=√3AC

不难看出，这种“等线定角+对角互补”的图形通过旋转变换可把BC±DC转化为等腰三角形的底边，AC则为等腰三角形的腰，问题转化为求确定形状的等腰三角形的底和腰的数量关系.若设图中∠BAC=α，∠BDC=180°-α（同侧为α），则可得BC±DC=2sin(α/2)AC.

我们对这类问题深入研究一下，图中的ΔABD由等腰三角形改为其它任意形状确定的三角形呢？∠BDC由与∠BAC相等或互补改为任意确定的角度呢？从前面问题的解法来看，只要ΔABD形状一定，∠BCD一定，那么通过相似构造必然可以把与AC、BC、DC相关的线段转化到一个定角三角形中.

1.如图，∠BAC=∠BCD=90°，tan∠ABD=2，试求AC、BC、DC的数量关系.

简析：作∠CAP=90°，P在CB的延长线上，可得ΔABP∽ΔADC，ΔACP∽ΔADB，所以BP=1/2CD，在RtΔACP中，CP=√5/2AP，所以BC+1/2CD=√5/2AP.

2.如图，∠BAD=60°，AB=AD，∠BCD=30°，试求AC、BC、DC的数量关系.

简析：任意选择三条线中的一条线作等边三角形，如下图，作等边ΔCDP，得ΔADP≌ΔBDC，∠APD=∠BCD=30°，于是同样得到定角三角形RtΔACP，由CP²+AP²=AC²，得CP²+AP²=AC².

3.如图，∠BAD=90°，AD=2AB，∠BCD=45°，试求AC、BC、DC的数量关系.

简析：把ΔABD旋转缩放至ΔAPC（或看成把ΔACD旋转缩放至APB），同样得到定角ΔBCP，其中∠PBC=135°，PB=1/2CD，PC=√5/2AC，由ΔBCP的三边关系即可推得AC、BC、DC三条线段的关系.

构造含45°的直角三角形即可求ΔBCP三边关系，PH=BH=√2/2BP=√2/4DC，(√2/4DC)²+(√2/4DC+BC)²=(√5/2AC)²，得BC²+√2/2DC·BC+1/4BC²=5/4AC².

由上面的探索，AC、BC、DC中已知其中两条的长度就可以求出另外一条线段的长，我们可以设计下面的问题.

4.如图，∠ABD=90°，AB=BD，∠BCD=45°，BC=5，CD=2，求AC的长.

简析：如下图，构造等腰直角三角形ΔCBP，得到直角三角形ΔAPC，AP=CD=2，CP=5√2，得AC=3√6.

同样，本题有多种构造方式，如下图：

这类问题解法的本质是把图形的形状条件与大小条件进行充分结合和相互转化，图中ΔABD与ΔBCD显然是形状大小都能确定的，但所求线段AC所在的三角形缺少与已知条件的联系，而通过旋转缩放把已知条件完美联系叠加，构造出包含所求线段且形状大小确定的三角形，如上题中构造产生的以P为顶点的直角三角形.这就是数学解题中从定和变的角度思考把条件进行转化联系，从而构造出完整的数学模型使问题得以解决，这种“联想推理”“定变分析”“完形构造”等策略在本人所著《中考数学思维方法与解题策略》中均有所阐述.

---

---

推荐阅读：

《中考数学思维方法与解题策略》助你成功

【扫码关注“生长数学”】