思维教学（六）：全景视角破解南通压轴题
孙悟空为什么比猪八戒厉害？因为孙悟空有火眼金睛，外看皮相，内观神魂，所以妖魔鬼怪无所遁形，加之七十二变和如意棒，降妖除怪便能轻而易举。我们解题也是一样，视点站位高才能看到整体，方法理解透才能灵活应变，我在《中考数学思维方法与解题策略》中提出的全景思维就是为了培养思维的开阔性和灵活性。全景思维是一种立体的、联系的、变动的思考角度，既见树木又见森林，观其形相求其本质，不拘于一隅，不限于一法，不断突破定势，随时生长创造，从而发现解决问题的最佳路径。下面以中考题为例探讨如何在全景视角下聚焦突破题目的难点。
2018南通中考卷第28题：
【定义】
如图1，AB为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
【运用】
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，√3 )，B(－2，－√3)两点．
（1）C(4，√3/2)，D(4，√2/2)，E(4，1/2)三点中，点______是点A，B关于直线x＝4的等角点．
（2）若直线l垂直于x轴，点P(m，n)是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB＝α，求证：tan(α/2)＝n/2．
（3）若点P是点A，B关于直线y＝ax＋b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB＝60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．
解析：问题（1）简单略过，主要看后两问。
我在《初中数学思维方法与解题策略》一书中总结了解题的四大基本原则：观察联想、猜测推理、可视化、简单化，这几者当然不是截然分开相互独立的，而是相互交叉有机融合的。我还提出了两种重要的思维方式：完形构造和全景思维，完形构造应用条件用足原理力求模型的完整性，全景思维培养多解择优意识力求思维的灵活性。
（2）问网上和教辅的解析多是通过△APF来求的，过程较为繁琐计算较为复杂。其实稍加观察就会发现，在下图的Rt△PMH中求解最为简洁利索，简直是秒杀的节奏，只用了一个简简单单的转化：∠PA′F=∠PMH=1/2∠APB=α/2，再求MN=1/2BE=m，MH=MN-HN=m-(m-2)=2，即得tan(α/2)=tan∠PMH=PH/MH=n/2。
那么这么好的解法怎样才能很快找到呢？先根据条件观察寻找等于α/2的角，图中有不少与α/2相等的角，选择哪一个用呢？做个简单的推理，PH=n，按题意则MH必为2，显然两边长度的表示简单易求，因此选择△PMH计算其正切值最为简便。这就是全景思维：看到多个图形、多向联系、多种思路，从而能够选择最优方案。很多同学在解题时往往一条路走到底，不反思这条路好不好走，有没有其它的路可以走，导致思路单一、思维定势，所以平时解题就要视野开阔，保持思维开放，进行全景式思考，培养多解择优意识，这样可以提高解题效率，同时提升思维的灵活性和发散性。
（3）问：首先由∠APB＝60°判断是定线对定角模型，得点P在以AB为弦的圆上（AB所对的优弧），再判断直线y=ax+b(a≠0)随着P点变化是怎样运动的。我们知道，解决动态图形问题的策略是：“以静制动，动中寻定”，依据定义参照图1的方法画出图形，这里的直线作法实质就是作∠ABA′的角平分线（或作AA′的垂直平分线），如下图。
如果在做题时一时难以发现直线y=ax+b(a≠0)的变化特征，可以多画几个P点进行观察猜测，同时也进行了可视化处理：
通过画图会发现此直线在运动过程中始终经过一个定点，那么这个定点在什么位置呢？为什么会经过这个定点呢？结合条件和图形稍作推理计算可得∠BPC＝60°，所以弧BC的大小是确定的，B是定点，所以C必是定点，易知△ABC是等边三角形。
图形的变化规律已经明朗，P点运动时直线PC实质是在绕点C旋转，所求b的取值范围只需看直线与y轴交点的位置变化情况，观察图形可以想像出，P点在优弧AB上从B至A运动时，直线与y轴交点先由BC与y轴交点处（不重合）向下无限下降，再从上方无限高处下降至直线AC与y轴交点处（不重合），实际运动情况如下图：
观察可知，直线与y轴交点在直线BC与y轴交点下方，在直线AC与y轴交点的上方，而且当PC平行于x轴时，a=0，故把此点舍掉。下面的问题就简单化为：求直线AC、BC的函数表达式。C点坐标通过“改斜归正”易得C（3，－2√3），再求得直线AC为y=-3√3 x+7√3，直线BC为y=－√3/5 x－7√3/5，所以b>7√3或b<－7√3/5且b≠－2√3。
本题也可以看A′点的运动轨迹是以AB为弦所含圆周角为30°的圆弧，所求直线为AA′的垂直平分线，所以必过圆心C，同样可知此直线过定点C，极端位置为直线AC、BC。
本题综合了轴对称、圆、等边三角形、一次函数等知识，考察空间观念及数形结合、分类讨论的思想方法，要顺利地解决这样的问题除了基本知识方法要扎实掌握，还要具备全景思维，看到题目所有条件信息并对关键部分进行聚焦处理，联系所学知识方法进行推理，根据问题情境构造恰当的模型不断加以转化，使复杂问题分解成一个个简单问题。学生要想拥有使问题简单化的能力可不简单哦，需要有计划地加以系统训练才能获得，笔者编著的《中考数学思维方法和解题策略》就是为了提供一个完整的指导训练方案，希望对各位读者有所帮助。第一批印本数量有限已基本售完，没能及时购得的朋友请等待修订再版。
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