思维教学（五）：例说解题三境界
解题的三境界“偶然、必然、自然”可以比拟禅宗修道的三个境界：
第一境：山就是山，水就是水。此境见到的是山水的外相直感，形态各异，互不相关，在解题是就题论题，只知其然，是偶然层认知。
第二境：山不是山，水不是水。此境所见是山水的内在解构，山有山质，水有水性，在解题是寻找规律，求其所以然，是必然层认知。
第三境：山仍是山，水仍是水。此境见到了山水的本来面目，山自成山，水当是水，在解题是直见本质，知其何以所以然，是自然层认知。
下面探讨南京市鼓楼区的一道模拟题，可以看出思维层次不同，会导致解题效率千差万别。
题目：如图，将一副三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°。若三角板ABC的位置保持不动，将三角板DCE绕其直角顶点C顺时针旋转一周，当△DCE一边与AB平行时，∠ECB的度数为 。
一、偶然境：画出所有存在可能情况的图形，分别计算各个角度，这种做法思考无序，过程复杂，速度慢，容易漏。如下图6种情况：
∠ECB=120°
∠ECB=60°
∠ECB=30°
∠ECB=150°
∠ECB=165°
∠ECB=15°
二、必然境：探求平行与旋转的性质与规律，求∠ECB的度数即是求旋转角的大小，过C作AB的平行线MN，只要△DCE任意一边落在直线MN上或与MN平行即可，因此转化为求△DCE各边与直线MN的交角，显然各边与直线MN的交角是互补的两个角度，这种求法简洁直观清晰有序，逻辑严谨不会遗漏。
三、自然境：看得再深一层，求旋转角即是求各边初始位置与最终位置的夹角，最终位置是与AB平行，平行关系可以看成夹角为0度，那么角度的变化值就是各边初始位置与直线AB的夹角，这样转化成求△DCE的各边与直线AB的夹角，不用画辅助线，直接看原图即可。显然，BC与AB的夹角为60°或120°，CD与AB的夹角为30°或150°，DE与AB的夹角为15°或165°，直接秒杀完毕。这种解法直达本质，直接了当，简易自然。
同样完成一道题，得到同样的分数，却存在思维层次的云泥之别，以及思考效率的巨大差异。可以看出思维层次越高，抽象能力和推理能力越强，这两种能力是最基本最重要的数学核心能力，对此的训练和培养要贯穿于整个教学过程之中，解题时不能满足于得到题目的答案，还要致力于思维层次的提升，高层次思维需要通过不断的深度学习和深入思考进行长期训练。
通知：本文所著《中考数学思维方法与解题策略》基本售罄，好评率100%，不管是教师读者还是学生读者，大家一致反映书中所述思维方法视角独特站位颇高，学后获益非浅。目前只剩几十本，售完后可能要等待一段时间才能出版再印，大家有什么想法和建议可以在文后留言。
点击下方阅读原文或扫描下面二维码进入微店购买《中考数学思维方法与解题策略》，或加微信“tzg5236”联系.
参考阅读：
扫码关注“生长数学”