策略与模型视角下的中考题解析
《中考数学思维方法与解题策略》（以下简称《策略》）一书虽然不到200页，但它涵盖了初中数学基本问题模型和常用策略方法，各地出现的中考题绝大多数都可以从中找到相应的问题模型或策略方法。知识模型是解决问题的基本工具，策略方法是指导如何选择和使用这些工具，学生如能熟练掌握则解决难题是水到渠成自然而然的事。下面以各地出现的典型压轴题为例，试述如何应用书中的策略与模型解决中考难题。
1.（2019•辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为 ．
此题脱胎于书中练习16第1题（安徽省2018中考题），原题如下：
解法：用“轨迹定位法”思考，△PBE∽△CBO可知∠PBE=∠CBO，得P点在BC上，由△APC是等腰三角形得P点在“两圆一线”上（已知两点的等腰三角形模型），画图可得两轨交于两点，如下图，易求点P点坐标为（－4，3）或（－32/5，6/5）。本题关键是利用“轨迹定位法”确定P点的位置，坐标计算用相似还是比较简单的。
2.（2019•襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则CF：EF＝ ．
解法：本题所含模型有两个：“一转成双·手拉手”（见《策略》模型2）和“X形共边相似”（模型11），如下图，由两对相似形计算得CF：EF=CD：AE=√7：√3=√21/3。
3.（2019•沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
解法：（1）寻找图中的基本模型，发现含有“四点共圆”模型和“母子相似”模型，从“定变分析”判断ΔCEF中已知两边夹角可确定边EF的长，如下图，由ΔECF∽ΔEFP得EF2=EC•EP，EP=13√2/2.
（2）在矩形背景问题中，用“改斜归正”策略可以建立坐标系用函数解决计算问题。如下图，建立坐标系易得G（-10，0）、F（0，-2），得直线GP为y=-1/5x-2，直线AP为y=-x，两线交点P坐标为（-5/2，-5/2），得CP=5√2/2，EP=EC+CP=13√2/2.
4.（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
解法：最值问题在中考卷中常盛不衰，《策略》中总结了线段最值的策略是“化同为异，化折为直”。这里CD两端点都是动点，虽然它们都在以A、B为圆心的圆上，但多了一个定角∠CMD的制约，C、D并不是完全自由的动点，所以不能用圆到圆的最短路径解决。考虑到已知线段AC、AB、BD与所求线段CD被分隔于CM、DM两侧，我们通过“运动变换”的方式让它们转化到同侧使之靠近以产生联系。如下图，沿CM、DM分别翻折A、B两点，产生等边三角形A′B′M，得已知线段CA′、A′B′、DB′，点到点之间的定线段共线时，两端距离最大，得CD最大为14.
本题要注意，CA′、A′B′、DB′共线时，ΔACM∽ΔBMD，所以须满足AC：AM=BM：BD时才可能实现CA′、A′B′、DB′共线，即AC、AB、BD要满足特殊关系才可用此法完成，题目特异性太强，可拓展性较差。
5.（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为 ．
解法：此题是“将军饮马”的变式，两个定点在动点轨迹同侧时，三点共线则其距离差最大，依据是“三角形两边之差小于第三边（共线相等）”，或“两点之间，线段最短（PM≤PN′+MN′）”，如下图，PM-PN=PM-PN′≤MN′=2，得PM-PN的最大值为2.
6.（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则AP/AT的最大值是 ．
解法：（1）转化AP/AT=(AT+PT)/AT=1+PT/AT，由线段比联想到构造相似形，作PE⊥BD、AF⊥BD，得PT/AT=PE/AF，AF为定值，因此求PE的最大值即可，顺利转化为圆到线的最大路径问题（模型9），当PE过圆心时取得最大值，此时PE为圆C的直径，AF等于圆C的半径，所以PT/AT=PE/AF=2，即得AP/AT最大值为3.
（2）作PE∥BD交AD延长线于E，转化AP/AT=AE/AD，AD为定值，则AE最大即可，PE距离BD最远时AE最大，显然最远距离为直径，同样可求AP/AT的最大值为3.
类似地，还可以作下面的辅助线。
这里构造图形的目标是把AP、AT两条不定线段转化为含一条定线段的式子，把问题转化为求一条不定线段的最值，转化为几何最值中的基本问题。
7.（2019•桂林）如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为 ．
解法：这是一道典型的动点路径问题，包含两种路径模型，点A1满足“定点+定长”（A1B为定值），它的轨迹是圆弧，点Q满足QC/A1C=1/2，是“主从联动”模型，从动点Q的路径是主动点A1路径的一半，P在终点D时，∠ABD=60°，所以∠ABA1=120°，可求弧AA1的长为2√3/3，Q点路径是A1点路径的一半，即为√3/3.
我们解题时始终遵循“可视化”“简单化”原则，观察图形特征，联想相关知识模型，构造适当的辅助图形，从条件出发推理得到新结论，把难题转化为易于解决的问题。这种意识和习惯要进行系统化的科学指导和长期练习才能形成，就是所谓的“刻意训练”，《中考数学思维方法与解题策略》继续努力为师生贡献思维训练的科学方案和完整材料。
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