难题的命制与破解

怎样才是一道质量上乘结构优美的综合性难度题？

1.所含知识丰富

2.体现通性通法

3.搭建阶梯层层拓展

4.前后联系相互为用

5.考察思维训练能力

作为老师，命题是一项基本功，不但解题要得心应手，出题也要信手拈来，特别是能够命制高质量的综合题。

作为学生，要想更好地解题，也要了解题目的命制方式，这样思考时站位更高，思路更清晰，解题更高效。

笔者结合实践经验总结了一些关于命题与解题的方法与规律，供读者参考。

一、加法

加法，添加组合多个元素，使单一模型变复合，解决方法：复合问题分解为基本模型。

例1.已知ΔABC与ΔDCE都是等腰直角三角形，BC与CE均为斜边（BC＜CE），B，C，E在同一直线上，过E作EF⊥DE，取EF=AB，连结AF交BE于点M．

（1）求证：AM=MF；

（2）请判断ΔADF的形状，并给予证明；

（3）请用等式表示线段AF，BC，CE的数量关系，并说明理由．

本题图形由两个等腰直角三角形、两对全等三角形组合而成，我们从中分解出两对全等三角形如下：

能够分析出这些基本图形后，几个问题便不难解决。

二、减法

减法，删减条件关键部分，使完整模型变残缺，解决方法：添补辅助图形构造完整模型。

例2.如图，四边形ABCE中，∠A=∠B=90°，AB=BC=12，∠ECF=45°，若BF=4，则EF的长为           ．

本题的原型是等线含半角模型，把图形补充完整如下图：

构造辅助线如下图，在RtΔAEF中即可用勾股定理求得EF长。

三、变法

变法，图形局部运动变换，使紧密模型变松散，解决方法：运动变换使条件产生联系。

例3.如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。

（1）若ΔABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A＝60°，则∠B＝      °；

（2）如图①，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的角平分线，不难证明ΔABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ΔABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且ΔABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长。

问题（2）的解法如下：

问题（3）的图形实质就是把问题（2）的图形沿AE翻折而得到的，如下图：

我们解题时再把图形翻折回去恢复为（2）中的图形即可顺利解决！

四、动法

动法，位置或数量不确定，使结论有多种情况，解决方法：分类讨论通盘考虑各个击破。

例4.如图，在平面直角坐标系中，已知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点,连接AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ΔABC.
（1）求点B的坐标;
（2）当点P运动到点(t，0)时，试用含t的式子表示点C的坐标;
（3）是否存在点P，使ΔOPC的面积等于√3/4，若存在，请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可).

第（2）问构造图形如下，得C（2√3+1/2t，2+√3/2t）。

第（3）问中点P在x轴上的运动过程中点C在不同位置时，面积的表示方式不同，因而要根据C点位置分类讨论，可以这样思考：ΔOPC的底边OP是P点横坐标的绝对值，OP边上的高是C点纵坐标的绝对值（C点轨迹是直线BC），按两个坐标符号可分为：（+，+）、（－，+）、（－，－），然后直接用（2）问结论代入计算:

五、隐法

隐法，线条隐去化为动点，使可见关系变隐藏，解决方法：寻找动点轨迹化为显性问题。

例5.新定义：直线l₁、l、l₂，相交于点O，长为m的线段AB在直线l₂上，点P是直线l₁上一点，点Q是直线l上一点．若∠AQB=2∠APB，则我们称点P是点Q的伴侣点；

（1）如图1，直线l₂、l的夹角为30°，线段AB在点O右侧，且OA=1，m=2，若要使得∠APB=45°且满足点P是点Q的伴侣点，则OQ=      ；

（2）如图2，若直线l₁、l₂的夹角为60°，且m=3，若要使得∠APB=30°，线段AB在直线l₂上左右移动．

①当OA的长为多少时，符合条件的伴侣点P有且只有一个？请说明理由；

②是否存在符合条件的伴侣点P有三个的情况？若存在，请直接写出OA长；若不存在，请说明理由．

本题的真实面目是圆的问题，而圆在题中被隐藏，用符合条件的未知点所代替。解题时需找出符合条件的点所在的轨迹，初中阶段一般为圆弧或直线，画出完整图形把问题转化如下：

问题（1）即为：以AB为直径的圆与直线l交于点Q，求OQ；

问题（2）①即为：以AB为弦的两弧其中一弧与直线l₁相切，另一弧与直线l₁相离，显然分两种情况；

问题（2）②即为：以AB为弦的两弧其中一弧与直线l₁相切，另一弧与直线l₁相交，分两种情况，如下图。

有了完整的图形，再根据切线的性质，OA的长度并不难求。

六、改法

改法，因果交换同类替代，使问题形式变不同，解决方法：总体思路不变局部环节调整。

例6.【发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF.

因为AB=AD，所以把△ABE绕A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．因为∠CDA=∠B=90°，所以∠FDG=180°，所以F、D、G共线．
如果       （填一个条件），可得△AEF≌△AGF．

经过进一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足      时，∠EAF=45°．

【应用】如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=m，点E在边BC上，点F在DC边上，且BE=2．

（1）若m=8，且∠EAF=45°，求DF的长；

（2）若∠EAF=45°，求m的取值范围．

本题把等线含半角模型中的半角条件“∠EAF=45°”改为结论，而结论“BE+DF=EF”变为条件，思路与证法一样。后面的问题进一步把正方形改为矩形，再把矩形的一边改为未知值。构造下面的图形求出x的值即可求得DF的长：

第（2）问当C点与E点重合时m最小，当C点与F点重合时m最大。

求最大值构造如下图：

由相似形得(m-6):(m+6)=2:6，得m=12，所以2≤m≤12。

本题中正方形可以改为一般的四边形，满足：AB=AD，∠BAD+∠C=180，∠EAF=1/2∠BAD，则可证结论BE+DF=EF。

也可以把E点运动到BC的延长线上，同法可证BE-DF=EF，如下图。

七、造法

造法，创造新概念新方法，使问题情境变新颖，解决方法：用所学知识模型转化新问题。

例7.定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形；

（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．

题中的新概念“三等角四边形”还属于四边形，第（1）问用四边形内角和即可解决，设∠A=x，则∠D=360°-3x，0<360°-3x<180°，得60°<∠A<120°。第（2）问结合平行四边形性质容易解决。第（3）问借助平行四边形、相似三角形、二次函数可解决，由（1）中的取值范围确定分类标准：60°<∠A<90°，90°<∠A<120°，∠A=90°（是正方形AB=4），如下图：

综上可得AB的最大值为5，再构造直角三角形可求得AC的长。

上面几种命题方法可以交叉和综合使用，这样命制出来的题目灵活多变方法多样，能充分考察和训练学生的思维能力，解题者若能了解这些方法也可以对解题能力的提升产生莫大的帮助。

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