数学老师，请别做魔术师
数学给学生的印象是什么？
大概绝大多数学生都会答以抽象难懂，深奥难学。
其中的原因当然是多方面的，可与我们数学老师的教学理念与教学方式恐怕不无关系！
在数学课堂上，很多数学老师成了学生眼中的魔术师。
魔术师技艺纯熟、功夫深厚，在台上的表演让人眼花缭乱、目不暇接，一会儿从空气中变出一朵漂亮的玫瑰，一会儿从口袋里变出一只鲜活的兔子。观众不时发出惊叹，“哇，好厉害耶！” 但是除了看个热闹以外，观众没有什么收获，看一百次表演也学不会一个魔术。
数学老师的课堂也是如此，台上老师讲解问题语言流畅、思路清晰，巧法妙招从天而降、层出不穷，台下学生听得如痴如醉、心悦诚服。但是然后呢？学生能清晰流畅地说清已学的知识概念吗？能快速准确地找到相关问题的解决思路吗？
老师是老司机，学生是新手。老司机领着新手在一个陌生的城市里参观了一圈，这个新手就能像老司机那样对城市的交通道路和结构布局了然于胸了吗？显然不能！怎么办？让他自己摸索、自己找路，然后学会认路标、辨方向。这样不但能把这个城市弄清楚，到了另一个新城市也能很快找到目的地。
老师把自己深思熟虑的结果呈现给学生，有用吗？这和魔术师秀魔术是一样的。
大人领着孩子逛街，大人看到的是琳琅满目的商品，孩子看到的是密密麻麻的腿。
站在学生的角度想一想，他们的困惑是：这个新概念怎么理解最简单？这个解题思路怎么才能很快想到？
也许很多老师对这些问题根本没有深究，他们会告诉学生：“概念么，就是这么规定的，背下来记住了就行了”，“解题思路么，你题目做多了，自然就能想到了”。这样回答很不专业，甚至是很不负责任的。凡事必有其理，知其事而不明其理，不是一个称职的好老师。
抽象的理性认识总是建立在具体的感性经验之上，缺乏感性支撑的理性不存在，这是认知的基本规律。
所谓“理解”就是新知识与已有认知经验建立联结，互相支持互相融合。
对感性经验进行分析、抽象、演绎、归纳、综合，从而上升到理性认识，这也是认知的基本规律。
所谓“领悟”就是感性知觉升华为理性认识，特殊现象转变为普遍规律。
这两条规律要求老师要做到最基本的两点：
1.提供适量的范例和操作过程，以丰富其经验。
2.适时显化思维点破玄机，从感性跨越为理性。
第1点要求老师提供合适的材料。数学老师会选题是一个重要的能力，选题不仅要关注到题目所涉及的知识内容，更要关注题目所训练的思想方法和解题策略。这方面工作做好了，对于其中一部分理性水平较高的学生来说已经够了，他们稍加引导便能够从实例中领悟归纳、抽象概括出一般规律和原理，获得较高层次的理性认识。
但是学生的能力是参差不齐的，相当一部分数学理性思维水平较弱的同学仍然停留在具体的感性状态，还没能实现从感性到理性的跨越。就比如牛顿看到苹果落地从中发现了万有引力理论，但是大部分人看到无数次苹果落地、梨子落地、砖头落地，即使把头砸破也不会发现什么万有引力。
第2点主要就是针对大部分学生，他们需要老师的帮助，适时点破那层窗纸，把思维过程显露外化，这样通过长期锻炼逐步提升理性思维的水平。而且即使是思维能力较强的学生他们认知的系统化、明朗化程度是也不够的，也需要老师进行梳理、点明、融合，使隐秘的思维过程和知识联系视觉化，使隐性的认知策略和思想方法显性化。
所以针对于此，数学老师要修炼两项神通：
1.清楚地知道学生学习和理解某个知识或方法过程中的疑难点和易错点及产生的原因，并采取适当措施禁于未发之时。
2.清楚地知道学生学习和掌握某个知识或方法所需要的必要材料和经历及恰当的引导，并促其达到当前的最近发展区。
试举一例：完全平方公式的教学。
1.学生在计算(a+b)^2时往往会得到结果为a^2+b^2，丢掉了2ab。一般老师的办法是让学生记牢公式并反复练习，但时间一长，记忆力和理解力不太强的学生又容易犯同样的错。实际上学生犯这样的错是有合理性的，他们是类比乘法分配律得到的结果。其想法是：(a+b)×2=a×2+b×2把乘法换成乘方得(a+b)^2= a^2+b^2。在试卷上还会发现类似错误如：2ab-ab=2，2a·xy=2ax·2ay=4a^2xy，都是误用运算律导致的。为了预防错误，可以首先让学生思考：(a+b)^2= a^2+b^2成立吗？你怎么知道它不成立的？学生想到可以通过多项式乘法证明，或者用特殊值代入计算验证。但这没有从根本上解决某些学生的疑惑，内在的隐患还没有解决，治病不仅要治标，更要治本。
为什么不能类比分配律(a+b)×2=a×2+b×2得到(a+b)^2= a^2+b^2呢？
(1)思考并比较(a+b)×2与(a+b)^2的意义有何不同。一个是2个(a+b)相加，另一个是2个(a+b)相乘，所以计算的方法不能机械类比。
(2)思考并比较(a+b)×2与(a+b)^2的计算依据是否相同。一个是利用乘法对加法的分配律，另一个是依据多项式乘法法则，乘方对加法没有分配律。
(3)计算并比较(a+b)×2与(a×b)^2的计算方法，你能发现什么规律？容易发现这两种算法很相似，可以看作乘方对乘法存在分配律。规律：上一级运算对下一级运算存在分配律，跨两级运算则不存在。如乘法对加(减)法：(a+b)×2=a×2+b×2，除法对加(减)法：(a+b)÷2=a÷2+b÷2，乘方对乘(除)法：(a×b)^2= a^2×b^2，开方对乘(除)法：
总结感悟：任何规则都要在一定的前提条件下适用，环境变化了规则就不一定适用了。类比是认识理解新事物的重要方法，但要在一定的条件下和特定的方式进行才能得到正确的结论。
通过比较、分析、归纳，学生对分配律、多项式乘法、完全平方公式又多了一层理解，同时还了解了类比的思想方法，既训练了思维的灵活性，又训练了思维的严谨性。
2.结合杨徽三角拓展介绍(a+b)^n公式。通过计算能发现二项式乘方与杨徽三角的关系，但是这仅仅是呈现结论，学生会有惊奇的感觉，然而没有建立在理解的基础上，这种感觉不会带来兴趣。
(1)如何计算(a+b)^3、(a+b)^4、(a+b)^5的结果？
①逐步展开：先算2次方，再算3次方、4次方、5次方。
用竖式计算可以弄清楚各项系数的由来。
上一次的运算结果中各项系数错位相加得到下一次运算结果的各项系数，由此可以更好地理解杨徽三角的系数计算方法。
②树状图排列：从每一个二项式取出一个a或b进行排列并计算。
用图形表示更直观、更有序、更容易理解。
(2)你能发现上面结果中，字母指数、各项系数有什么特征吗？为什么？
①每项中a、b的指数和都等于二项式的指数。解释：回到定义，a+b的n次方代表n 个a+b相乘，每个二项式中拿出一个a或b作乘法，共n个a或b相乘，所以每项a、b的总次数都等于n。从树状图可以看得更直观！
②从计算的角度：各项系数等于上一次各项系数错位相加。
从排列的角度：各项系数等于该项两个字母的排列方式的多少。
(3)观察杨徽三角中数的排列有什么规律？它们与二次式乘方的结果中各项系数有什么关系？
杨徽三角的数列实际上是对上面竖式计算过程的概括与简化，它与二项乘方的各项系数对应相等。
通过以上计算、观察、体验、思考的过程，学生不仅对公式的记忆和理解更加清晰，而且对乘方、乘法运算的本质认识更加透彻；不仅收获了知识，而且学到了从不同角度思考问题的思维方式；不仅锻炼了思维能力，而且感受到数学的和谐与简洁之美，生起对数学的兴趣和热爱。
兴趣的激发、思维的提升和学科素养的发展非一日之功，需要老师以极大的耐心和定力持之以恒地做下去。这样的教学具有复利效应，开始阶段可能效果不明显，长期坚持就能产生惊人的累积效应，越到后来越占有绝对优势。
有形的是表象，无形的是本质。愿所有老师都拥有一双慧眼，不仅能看到外显的知识，而且能看到内隐的思维；不仅能看到外显的结果，而且能看到内隐的原因；不仅能看到学科的实用价值，而且能看到学科的审美价值；不仅能看到学生的外在表现，而且能看到学生的内在体验。
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