先见森林再寻树木：轨迹定位法确定点的位置(1)

复杂化简单，混沌变有序，是数学的基本思想方法，人类拥有理解世界改造自然的强大能力正是由此而来。

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先上题：

1.已知点A（4，3），在x轴上求一点P，使ΔAOP为等腰三角形.

若逐点确定应这样思考：（1）以OA为腰，P点满足OP=OA或AO=AP，（2）以OA为底，P点满足OP=AP，（3）观察尝试画出点的位置求坐标. 

这种方法感觉像雾中前行，逐步寻找目标，不仅效率低下，而且目标有无遗漏心中没底，遇到复杂问题难度更大，思维负荷和信息负载很大，大脑配置不高的同学会感觉眼前一抹黑，于是只能靠碰运气想到一点是一点，往往如盲人摸象挂一漏万.

下面我们用分析－综合的方法寻找解决此类问题的更高效简洁的方法：

分析：分别看满足各情形的P点所在轨迹.

（1）以A为顶点，OA为腰时，P点满足PA=OA，根据圆的定义所有满足条件的P点轨迹为以A为圆心OA为半径的圆.

（2）以O为顶点，OA为腰时，P点满足PO=OA，同理，所有满足条件的P点轨迹为以O为圆心OA为半径的圆.

（3）以P为顶点，OA为底时，P点满足PA＝PO，根据垂直平分线的判定所有满足条件的P点轨迹为OA的垂直平分线.

综合：P点在上述三个轨迹上，同时又在x轴上，取其交点即为所求P点.

如下图，所有满足条件的P点一目了然：

如此，我们再也不担心分类讨论的问题会有所遗漏了！

要找寻一棵树木，先找到它所在的森林，森林都在眼前了，还怕找不到那棵树吗？

来，我们先看看有哪些“树木”与“森林”的关联：常见的四种点的轨迹.

（1）到定点O的距离等于定长a的点的轨迹：以点O为圆心，a为半径的圆O.

（2）到定线l的距离等于定长a的点的轨迹：到直线l距离为a的两条平行线m₁、m₂.

（3）到两个定点A、B距离相等的点的轨迹：线段AB的垂直平分线m.

（4）到两条定线p、q距离相等的点的轨迹：直线p、q的交角平分线m、n.

让我们用例子来体会这种“地毯式搜索”的优越性.

2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为BC上一点，连接AP，将△ABP沿着AP折叠，点B落在B′处，设BP=x，连接DB′，若△AB′D的面积为1，求x的值.

分析：

（1）画动点所在轨迹：

轨迹①：△AB′D的面积为1⇒B'到AD的距离为1/2⇒B' 在距离AD为1/2的两条平行线上；

轨迹②：A为定点，AB′=AB=3⇒B' 在以A为圆心3为半径的圆A上；

（2）确定所画圆与两条平行线的交点，显然有2个，没错，都在这儿了. 哈哈，再也不用担心分类讨论的问题会有遗漏了！

余下的问题构造相似三角形便可迎刃而解了，如下图.

3.如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA=4.若将⊙O绕点A按逆时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现            次.

看下动图演示：

从动图上可以观察到有几次有一个公共点的情况，但我们解题时可没有动图可看，我们怎样才能把运动全程画在纸上呢？答案是仍然用轨迹定位法！

分析：当⊙O与正方形的边只有一个公共点即⊙O与正方形的边相切.

（1）画动点所在轨迹：

轨迹①：⊙O绕点A旋转360°⇒O点在以A为圆心4为半径的⊙A上；

轨迹②：⊙O与正方形边相切⇒O点在与各边距离为1的平行线段上；

（2）确定所画圆与所有平行线的交点，简单！一数便知有6个.

4.（2017无锡卷28题）如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．

（1）问略.

分析（2）问：E点满足的 条件有两 个：

轨迹①：CE=CD=4⇒E点在以C为圆心4为半径的⊙C上；

轨迹②：E点到BC距离为3⇒E点在与BC距离为3的两条平行线上；

如下图，确定⊙C与两条平行线的交点可知：E点运动的最大范围在E₁与E₂之间.

确定两点位置后，构造相似三角形易求得本题中所需的m的取值范围.

（m的最小值）

（m的最大值）

古人云：不谋全局者，不足谋一域. 轨迹定位法的好处在于：把分散归向整体，抽象变为直观，混沌趋于有序.