怎样教思维3

有些老师看了我前面的文章，问：“学生能想到那么多种思路与方法吗？”或”怎样才能让学生想到那么多思路与方法呢？“

言下之意，老师讲得头头是道洋洋洒洒，若离开老师学生很难自己独立想到。

值得一提的是：解题教学一定不是老师一讲到底，一定要让学生充分参与。而让学生参与多少，由学生的知识基础和思维水平决定。我的习惯是多提问，用问题引发思考，同时根据学生的回答情况就可以了解学生所处的层次，再由此调整问题的深度和引导的方法。

这就是所谓：“教之道在于度，学之道在于悟”。

“度”在于所提问题的难度略高于学生当前水平，所用知识的广度略大于学生当前基础，“悟”在于在老师的适当引导下通过思考探索获得更多的知识和更高的能力。

思维培养贯穿于整个教学过程，无论是知识教学还是解题教学都要时刻关注磨砺思维发展思维。无论是知识理解还是能力提升，多数学生都做不到”顿悟“，只能”渐悟“。新教师往往认为自己讲清楚了，学生听明白了，然后学生就能掌握运用了。老教师知道，能让学生听懂离让学生熟练掌握及灵活运用还差得远呢。

老师教的东西，班级中少数几个尖子生会了，老师不要得意，那不是你的功劳，是他们资质高悟性强，你不教，他们自己学可能也会。老师的教学效果主要在中等生身上体现，如果你的班级中中等生逐渐向尖子生的能力水平靠近，那么就说明你成功了。

孔子云：唯上智与下愚不移。

上智者天资聪慧，不教而自悟，只需提供和创造必要的环境。

下愚者呆板顽固，虽教而难知，只能静等花开不必强求结果。

中等资质者是教育效率最高的对象，他们也是学生群体中的大多数。这些人最需要帮助，可塑性最强，进一步可登天，退一步可堕地。老师要重点关注这部分学生，为其提供助力，帮其打通关窍，疏通经脉，则对其成长进步大有裨益。

我认为，老师在教学中训练学生思维的方式主要有二：一提问题二搭台阶。

当然二者不是孤立的，问题可是台阶，台阶也可以是问题。

台阶的高低多少短取决于问题难度与学生水平的差异程度，初期学生思维能力不强时，台阶要低要多，后期学生思维能力增强时，台阶要高要少。直到最后学生能自提问题，自搭台阶。

《学记》有云：

”善问者如攻坚木，先其易者，后其节目，及其久也，相说以解。“

”善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣，待其从容，然后尽其声。“

所以，教学中具体细节如何提问如何引导？不用问别人，问你的学生。

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继续前文例题：

已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，M是BC边上的一点，MN⊥AM.

求证：AM＝MN

前面我们对原题进行了拓展变化，是如何变化的？（条件一般化：对图中的动点位置进行了更为一般化的扩展，M点的位置从线段BC延伸到直线BC）

还可以如何变化呢？通常改编题目的方法有哪些？（条件与结论互换）

变为：

已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，M是BC边上的一点，AM＝MN

求证：MN⊥AM.

猜一猜，前面的方法还能用吗？（不一定，因为出发点变了）

试试下图作法，截AC'=MC，易得∠AC'M=∠MCN=135°，加上AM=MN，条件很接近全等，但只符合“SSA”，我们曾研究过，“SSA”在什么情况下成立？是如何证明的？

于是再次构造全等图形，借助“HL”可以证得ΔAFM≌ΔMGN，得AM=MN。

再把前面用过的解法换一种试一试（沿BE翻折ΔMCN）。

由AM＝MN＝MN‘得∠N=∠N'=∠MAC，于是∠AMN=∠ACN=Rt∠。

把其它方法分别试一试，你发现了什么？

我们发现，前面的方法有的好用，有的不好用，原因是推导的方向正好相反，原命题成立，逆命题不一定成立。

再把CN平分∠DCE与MN⊥AM交换，看能否成立？前面的证明方法是否可以继续借用？

继续思考，改编问题的思路还有哪些？除了条件一般化，交换条件与结论，还可以怎样变？

我们还可以补全图形推导新的结论或叠加条件使问题复杂化。

如上图，连结AN交CD于F，连结MF，还可以得到哪些新的结论？

容易想到∠MAN＝∠MNA＝45°，再看有没有包含已做过的图形？MF与BM、DF有什么关系？

请解答：添加条件“正方形边长为4，DF=1，求BM的长。“

让我们把”条件一般化“的步伐走得大一些，正方形太特殊，把”正方形“换成”矩形“如何？

猜想：AM=MN是因为正方形的条件使图中存在全等关系，那么正方形改成矩形AM与MN还能保持相等吗？CN平分∠DCE需要改变吗？

观察思考：题目原图实质是等腰直角ΔABC进行相似变换得ΔAMN，由双相似模型可推得ΔACN∽ΔABM，因此∠ACN=∠ABM=Rt∠，这是图形的根本特征，正方形条件只是提供了等腰直角ΔABC，D点擦去也无关紧要。

自然得出：如“正方形”变成“矩形”，“等腰直角ΔABC”中“等腰”的特殊性就没有了，就会变成把“直角ΔABC”进行相似变换，试画图并设定条件和结论。

如下图，题目变为：

已知：矩形ABCD中，BC=2AB，M是BC边上的一点，AM⊥MN，AC⊥CN.

求证：MN＝2AM

再试一试证明方法，前面的方法再一次使用：作MF∥AC，构造相似三角形。

由此感悟：前面原题中作辅助线构造等腰直角形是表面现象，其更为本质的是作平行线构造相似三角形ΔBFM∽ΔBAC，从而得AF:CM=AB:BC，只是条件为“正方形”时比值为特殊值1。

还有更简单的方法：作以AN为直径的辅助圆。如下图：

顺势而成，把M点的位置扩展到直线BC上，仍然成立。

题目中D点是多余的，可以把题目精简为：

已知：ΔABC中，∠B=90°，BC=2AB，M是直线BC边上的一点，AM⊥MN，AC⊥CN.

求证：MN＝2AM