破解难题3

《老子》曰：图难于其易，为大于其细。天下难事必作于易，天下大事必作于细。基础知识与基本方法理解透彻掌握牢固，是顺利解决难题的前提。

我们继续看第3类难题：增加新颖度，熟悉变陌生，考察理解能力。

这类问题一般以阅读理解的形式先给出一个新概念或新命题或新方法，然后用它解决其它相关问题。解决方法是理解新知识的本质，把它与已有知识相联系，灵活运用相关知识解决问题。

例1.（2017河北卷）对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{-√2，-√3}=       ；若min{(x-1)²，x²}＝1，则x=        ．

解析：题目中给出一个新运算规则，要用已有知识去理解其意义，再选择合适的数学方法建立合适的数学模型去解决相关问题。其中第一空涉及实数的大小比较，第二空涉及一元二次方程模型、分类讨论方法。

（1）由min-√2>-√3得{-√2，-√3}=-√3

（2）(x-1)²=1时，x=2或0（不合题意舍去）；x²＝1时，x=-1或0（不合题意舍去）。

例2.（2017益阳卷第21题）

在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；

（3）在抛物线y=x^2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=-2/x的图象上，直线AB经过点P(0.5, 0.5)，求此抛物线的表达式．

解析：这类问题是先定义一个新概念，然后解决与此概念有关的问题。这里关键要搞清概念需满足的条件及可推出的性质，如本题由定义可知“互换点”的横坐标与纵坐标之积相等，横坐标之差与纵坐标之差互为相反数等，由此再联系相关知识点解决问题。

第（1）问考察反比例函数的概念和变量取值范围。

第（2）问考察一次函数表达式及含参方程的求解。

第（3）问综合应用三种函数的定义求表达式，可直接应用（2）中的结论。考察函数问题中点坐标与表达式的互化（待定系数法）。

例3.（2017连云港卷）

问题呈现：

如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S_{四边形EFGH}=S_矩形ABCD（S表示面积）.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

实验探究：

某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A₁、B₁、C₁、D₁，得到矩形A₁B₁C₁D₁．

如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S_{四边形EFGH}=S_矩形ABCD+S_{矩形A1B1C1D1}．

如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S_{四边形EFGH}、S_矩形ABCD与S_{矩形A1B1C1D1}．之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S_{四边形EFGH}=11，HF=√29，求EG的长．

（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=√10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

（1）问题呈现部分图解如下：

（2）实验探究图2如下。

图3直接迁移图2的方法，见下图。

（3）图4直接应用图3的结论，结合勾股定理计算如下。

（4）观察发现，当G点向点C或D靠近时，矩形A₁B₁C₁D₁的面积在增大，由上面的结论可知当矩形A₁B₁C₁D₁的面积最大时四边形EFGH的面积最大。

本题图2给出辅助线作法，图3直接应用图2的方法得出同样结论；图4、图5都是直接应用前面的结论为依据综合运用相关知识解题。

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