一题一世界（4）—来自学生的奇思妙想

本次周练试卷一道压轴题难住了所有同学，题目如下：

对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如,下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.

(1)分别判断函数,,有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;
(2)函数.
①若其不变长度为零,求b的值;
②若,求其不变长度q的取值范围;
(3)记函数的图象为,将沿翻折后得到的函数图象记为.函数G的图象由和两部分组成,若其不变长度q满足,则m的取值范围为          .

此题总体完成较差，特别是最后一问全军覆没，在评讲时我重申了阅读理解“新概念”型的问题的总体原则——”以旧解新“及函数相关问题的思考策略——“数形结合”。

首先要把题目中的新概念用旧知识去解释，p就是函数值等于自变量时方程的解，q就是方程的解的差的绝对值。

然后用相关知识建立数学模型：若函数y=f(x)满足f(x)=x，解为x=x₁，x_2，则p=x₁，x_2；q=|x₁-x₂|。

再把后面的问题用数学模型解决。

（1）问是简单应用。

（2）问①即q=|x₁-x₂|=0，x₁=x₂，解方程2x²-bx=x得x₁=0，x₂=0.5b+0.5，因此0.5b+0.5=0，得b=-1。

②即根据的b取值范围确定q的取值范围，由q==|x₁-x₂|=0.5b+0.5得b=2q-1，建立q的不等式1≤2q-1≤3，解得1≤q≤2。

（3）问查看了一些参考答案发现都是用纯代数方法，比较冗长繁琐，且抽象难懂。下面是网上给的解答：

在解决函数问题时，数形结合是非常重要的思想方法，我们结合函数图象来看，就会发现问题变得直观形象容易理解，可以更好更快地解决问题。

从图象的角度来看，p是f(x)=x的解，因此p可以看成函数y=f(x)和图象与直线y=x的交点坐标，q就可以看成交点之间的最大垂直或水平距离，这样转化成看函数G的图象与直线y=x的交点之间垂直或水平距离是否满足0≤q≤3。

先以直线x=m的不同位置为标准画图，观察如何进行分类（解题时在纸上画图或借助透明纸板进行平移操作，强调一定要多画图）：

第1类：直线x=m在x=3的右侧，即m>3，函数G的图象与直线y=x无交点，即q不存在。

第2类：直线x=m与x=3重合，即m=3，函数G的图象与直线y=x有唯一交点，即q=0。

第3类：直线x=m在x=3与x=1之间，即1<m<3，函数G的图象与直线y=x有两个交点，且0<q<3。

第4类：直线x=m与x=1重合，即m=1，函数G的图象与直线y=x有两个交点，且q=3。

第5类：直线x=m在x=1与x=-1/8之间，即-1/8<m<1，函数G的图象与直线y=x有二三或四个交点，且q>3。

第6类：直线x=m与x=-1/8重合，即m=-1/8，函数G的图象与直线有三个交点，且q>3。(这里的分界点值如何求是难点，一是函数G₂的函数关系式的求法，二是函数G₂的图象与直线y=x的交点唯一时m值的求法，解法如下）

第7类：直线x=m在x=-1/8左侧，即m<-1/8，函数G的图象与直线有两个交点，且q=3。

上面的分类中，临界点可以合并，即分为四个区间：(1)m>3; (2)1≤m≤3; (3)-1/8≤m<1; (4)m<-1/8。由图形易得满足条件的为(2)(4)两个区间。

二次函数关于某直线对称的函数关系式的求法属于拓展内容，课标不作要求，用上述求法稍显复杂。在课堂讲解时，我班的李天尧同学迫不及待地贡献了一种巧妙而独特的方法，可以避免利用对称性求函数关系式的过程。如下图所示：

这种方法巧妙地避开了求函数G₂的函数关系式，比较简洁地求出了当直线y=x与函数G₂的图象有唯一交点时m的取值。