思维的起点与方向

生长语录

思考问题时，虽然还没有具体解决问题的办法，但准确地判断“起点在何处、方向是什么”非常重要。比如你到一个陌生的城市，你会知道从车站出发，朝什么方向行进，你即使在中途迷路，也容易找回正确的道路。

例（2015南昌卷）.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是ΔABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像三角形ΔABC这样的三角形均为“中垂三角形”。设BC=a，AC=b，AB=c。

【特例探索】（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2√2时，a=_，b=_；如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=_，b=_。

【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a^2，b^2，C^2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式。

【拓展应用】（3）如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2√5，AB=3。求AF的长。

分析问题（1）：

思维的起点在哪里？

当然是新定义中的条件：两个中点，一个垂直。

思维的方向是什么？

当然是用所学知识联系条件与结论：两个中点⇒中位线，垂直⇒勾股定理，特殊角⇒三角函数。

如下图所示：

分析问题（2）：

思维的起点和方向在哪里？

解决问题（1）的方法和经验为我们提供起点和方向，即用中位线证相似和用勾股定理寻找线段关系，把（1）中的特殊值换成变量。

如下图所示：

分析问题（3）：

我们所学过的知识与方法，以前的解题经验，及本问题前面部分得出的规律和结论都可以为我们提供思维的起点。

问题（3）既然名为[拓展应用]，那么一定是以前面的方法和结论为基础的，所以我们一开始就要意识到一定要与前面的内容相联系，已有图形中没有定义中的“中垂三角形”怎么办？显然需要构造出可以应用前面的方法或结论的条件和图形。

①从已知（AB、AD）、未知（AF）出发，以AF、AE为边，构造中垂三角形ΔAEF如下图所示：

显然，中垂三角形三边关系在（2）已求，代入关系式即可求AF。

②以AF、BF为边，构造中垂三角形ΔABF如下图所示：

③同理，如下图：

④如下图：

⑤如下图：

⑥如下图：

⑦如下图：

⑧如下图：

反思：为什么我们可以信手拈来这么多构造方法？

因为我们抓住了问题的本质，掌握了思考的起点与方向，即寻找或构造含已知边和未知边（也可以是其倍数）的中垂三角形，再根据三边特殊关系求出未知边。

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