解题与建模

生长语录

用数学解决问题就是从问题情境中抽象整理出数学模型的过程，要求学生用不同的模型解决同一个问题既可以巩固数学知识，也可以训练数学思维。

例题.（1） 当m为何值时，关于x的方程 |x²-4|=m有2个不相等的实数根。

（2） 当m为何值时，关于x的方程 |x²-4|=m有3个不相等的实数根。

（3） 当m为何值时，关于x的方程 |x²-4|=m有4个不相等的实数根。

解法1.

从问题本身形式上看，是绝对值和一元二次方程的综合。

绝对值模型：若|x|=a(a≥0)；则x=±a。

一元二次方程模型：Δ<0时无实数根；Δ=0时有相等实数根；Δ>0时有两个不等实数根；

解：（1）原方程转化为：x²-4=m，x²-4=-m，即x²=4+m，x²=4-m。

①一个方程有2个不等实根，另一个方程无实根，得4+m>0，4-m<0，所以m>4。

②两个方程都有相等实根，得4+m=0，4-m=0，不存在。

③两个方程都有2个不等实根，但它们的根相同，即4+m=4-m，m=0。

（2）一个方程有2个不等实根，另一个方程有相等实根，得4+m>0，4-m=0，所以m=4。

（3）两个方程都有2个不等实根，得4+m>0，4-m>0，所以为0<m<4。

解法2.

转化为函数模型，|x²-4|=m的解即为抛物线y=|x²-4|与直线y=m的交点横坐标，图象交点的个数即为方程实数根的个数。

函数y=|x²-4|转化为y=x²-4(y≥0)，y=4-x²(y≤0)的组合。

画出图象

观察图象易得符合条件的m的取值范围。

解法3.

转化为函数模型，|x²-4|=m先转化为x²-4=±m，再转化为抛物线y=x²-4与两条直线y=±m的交点情况。

画出图象

观察图形容易得出m的取值与交点个数的对应情况。

学习就是知识的生长，生长的奥秘在于联系与沟通，生物体失去联系就会生病死亡，知识失去联系也会僵化遗忘。

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