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三次函数性质研究

彭西东 素人素言 2022-07-17

我们学过二次函数,而且对二次函数非常的熟悉。在我们学过的所有基本初等函数中,只有二次函数不是单调函数(除了具有周期性的三角函数),因此,难度也是最大的,与二次函数有关的知识点,即便是在高中,也都是我们考试的重点。

今天,我们不讲二次函数,我们专门研究与二次函数有关的三次函数的有关性质。

三次函数与二次函数的关系

只因为

三次函数的导函数

是二次函数

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三次函数单调性研究

我们都知道,

单调性是函数最核心的性质。

因为有了单调性,

我们就能找到函数的最值了。

而最值,

一直是我们研究函数的最终目标。


函*数*图*像

导函数对函数图像的影响

从下面的动图不难看出,随着曲线上的点从左向右移动,切线的斜率在发生着变化,这种变化主要体现在正负的改变

我们发现:

在单调增区间内,切线的斜率为正,

在单调减区间内,切线的斜率为负。

根据导数的定义,我们还知道:

函数在某点处的导数,其实就是函数在该点处切线的斜率。

所以,对于可导函数:

在单调增区间内,导数值为正;

在单调减区间内,导数值为负。

在同一单调区间内,反之亦然:

导函数为正,单调递增;

导函数为负,单调递减。

据此,就可以判断出函数的单调性了。

单调性研究DANDIAOXIN

因此,三次函数的图像将会有以下两种形式(仅以a>0为例)




其实,二次函数的图像还可以是上面这样的。此时,在零点的左边和右边导数值都为正数,故两边的单调性相同,从而函数依然单调递增。

如果两边都是单调递增的,

函数就是单调递增的。

三次函数单调性判断方法

单调性小结


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三次函数零点

函数零点是函数的重要概念。

其实,函数y=f(x)的零点不就是方程f(x)=0的根嘛,

也就是函数图像与x轴交点的横坐标。

零点个数变化

动动图形,思考变化

从上面几组图像不难看出

三次函数的零点个数

可能是

一个、两个或三个

如果三次函数单调时

总是有一个零点的

如果不单调

看看下面的动图

就知道个数变化的原因了

三次函数零点个数确定方法

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三次函数图像对称性

观察动图说对称

从上面的动图很容易看出:不论三次函数是否单调,它的图像都具有对称性,而且是中心对称图形。

那么,它的对称中心是?

第一张

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三次函数图像的切线

切线是什么qiexian

切线,是几何图形中的一个重要知识,

也是考试的常考点。

不过,到底什么是切线?

曲线的切线与曲线的交点真的只有一个吗?

当然,我们从上下两个图像中都不难看出:

现在的直线与曲线的相切关系,

已远远没有当初我们想象的那么纯洁了。

下面这两条直线,就都是曲线的切线。


切线的斜率

讲了导数的定义之后,我们最大的收获之一,就是知道了:切线的斜率就是导数值了。

不过,遗憾的是,很多同学对“在某点处的切线”与“过某点作切线”总是傻傻分不清……

切线典型例题


其实,在求过某点的切线方程时,最后往往会涉及到一个难点,那就是高次方程或超越方程的求解。这种方程的求解在高中阶段并没有一个特定的解法,而根据解题经验,一般可以用观察法或结合待定系数法进行处理。而在用观察法时,往往可以看出方程极大可能会有以下的根{1、2、3、-1、-2、-3}。





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