卷第16题2019全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

卷第16题2019全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

其实，有了正（余）弦函数作铺垫，尤其是将y=Asin(ωx+φ)这个函数放到了前面讲解，正切函数这节课就容易多了吧？所以，从实用性上讲，本节课，就应该会加强对例题的处理了。复习回顾正（余）弦函数相关复习正(余)弦函数图像及相关性质，巩固旧知，并由此引导学生进一步了解正切函数相关性质。复习回顾正弦曲线的作图思路复习回顾正（余）弦函数的相关应用，并通过对三角函数线的复习，再次回顾正弦曲线的作图思路，从而引导学生探寻正切曲线的作图思路。新课讲角正切函数性质探索通过加强对正切线的理解，师生研讨、探索正切函数的相关性质。新课讲解正切曲线作法

作结束疫情加油早日返校这几次的网课，一直在讲正（余）弦函数的图像及性质。也不断地有同学要PPT进行复习。其实我知道，不少同学用手机是打不开PPt的。也许只是寻求一种心理上的安慰吧。总结了下几次的课件，便做成这个样子，希望对想复习的同学有帮助吧。复习回顾利用正弦线做正弦曲线的过程复习正弦线概念及用正弦线做正弦曲线的思路和过程，体会正弦函数的周期性、对称性及函数值的变化规律，为函数性质讲解埋下伏笔。复习回顾复习“五点法”做图根据正（余）弦曲线的形状，复习五点法做图的基本方法，强化思维过程，规范做图思路。复习回顾“五点法”作图标准示范找点过程中体会五点的真正含义为后面由图写式中求φ作准备习题分析预习题解析答疑解法分析：①依据题型特征，用特值验证法寻找正确答案；②利用图像变换法得正确答案。③利用“五点法”做图得正确答案。强调：图像的左右平移主要依据原式中的变量x换成了x±α，务必要将系数提出。如y=f(2x+4)=f(2(x+2))其图像应由函数y=f(2x)图像向左平移2个单位得到。

在这非常时期这篇推送能给宅家的孩子们送去小温暖么直线与圆三种位置关系：相离、相切、相交直线与圆，在不同的位置关系下，会产生相应的问题。本文旨在通过对不同位置关系的研究，全面清理直线与圆的重点问题，同时探索在解析几何基本思想下几何问题的一般性解题思路。位置关系判定01几何法：利用圆心到直线的距离判断位置关系。设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R,则：相离：d>R,相切：d=R,相交：d

突然的一场疫情牵动着亿万人民的心有人奋战在抗疫一线有人宅家配合做防疫因为这场灾难社会变得更向心且团结教育一个关乎国家未来的行业在这个特殊的时期特例独行彰显自己独特的魅力停课不停学让老师自觉成了网络主播虽全力以赴满腔热血却总时有力不从心的感觉不要指责教学效果的不好不要抱怨4G网络总掉师生齐心坚定自己的理想和目标一切也会慢慢变好武汉加油！中国加油！01复习回顾同角关系和诱导公式：①同角关系：给值求值解决已知角的某一三角函数值求其它三角函数值的问题，特别强调求值过程中遵循“先定正负，再求绝对值”的原则（绝对值的计算可借助直角三角形）②诱导公式：任意角转化为锐角利用诱导公式可将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值。基本程序：任意角↓正角↓(0,2π)角↓(0,π)角↓锐角.记忆方法：函数名不变，符号看象限。02以三连问的形式给出公式5和公式6：公式的证明：学生思考后再证明。进一步体验三角函数线的图形优势，重温确定任意角终边的方法，进一步体会角的旋转定义。公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。公式可以简化将k·90°+α转化为α的过程。特别提醒：奇偶指90°的奇数倍或偶数倍看象限时将α看成锐角公式的作用：提醒学生自行思考两组公式仅是在转化角的过程中起到了简化的作用，其深层次的作用到底是什么？给学生留下思考的空间。03通过例题的讲解和作业的答疑，给学生以示范，让学生体会使用诱导公式时的两个关键——定名称、定符号。04正弦函数图像做法分析：函数图像的做法：列表、描点、连线复习回顾函数做图方法，并分析这种方法作图的弊端，提醒学生在做图之前必须适当分析函数的性质。正弦曲线的研究：定义域、值域、单调性进一步通过正弦线，分析正弦函数的三大性质，明确正弦函数值取得±1和0时对应角的位置，为五点法做图做好铺垫。学生观察总结单调区间后，肯定并完善单调区间的写法，使学生体会正弦函数与众不同的周期性的感觉。05描点做图：为做图的精确，列表时须取一些特殊自变量。特殊角的三角函数值记忆：提醒学生可以通过三角函数线和终边对称性的特征，熟练记忆常用特殊角的三角函数值。列表、描点、连线以给学生以示范。如何精确做图?观看提醒学生精确做图的方法为尺规做图，并视频讲解。如何做出实数集上的正弦函数图像？学生观看音乐视频，体味正弦函数的周期性。06三角函数做图方法讲解：①③图的做法五点法：结合视频讲解，并进行示范，进一步强调在做正弦曲线时五个关键点的作用。图像变换法：复习并讲解图像变换的规则（左加右减），用图像变换法做出①图。②图做法分析余弦函数图像的作法，体会化归意识的重要性，进一步明确诱导公式5和6的作用是实现不同名三角函数之间的转化。观看视频加以验证。函数性质比较：通过对两个图像的观察，分析定义域、值域和单调性的差异，并简单指出周期性的概念。07利用图像变换做图：①图：利用图像对称变换做图，并通过观察其周期，让学生进一步了解周期的意义。②图：明确做图时要首先就函数式进行化简。08此例主要是对前面例题的巩固，提醒学生先化简为分段函数后，再利用五点法或图像变换做图。09END“素人素言”是由安徽省阜阳市红旗中学彭西东老师建立的个人公众号，该公众号旨在用最朴素、简洁的语言讲述数学，以适用性为目标，介绍高考备考和教学经验。该公众号为免费学习、交流平台。联系微信：pengxidonghongqi原创不易，转载请注明出处。长按下方二维码，点击关注，进入公众号相关链接：我的《双曲线》课堂是这样的。课堂实录｜组合问题处理策略课堂实录｜排列问题处理策略这样的课堂实录，会喜欢吗？椭圆及其标准方程（课堂实录）阜阳首张联考卷：这是要赶超合肥的节奏！2019年高考卷，一线教师第一遍做。15分钟搞定｜2019年高考数学（文）全国I卷客观题一题多解｜深度解析2019全国

。终于坚守阜阳22年看到了阜阳地区自己的高三质量检测卷继2019高考辉煌之后这是不是意味着阜阳教育的强势崛起已指日可待势不可挡每一位高三人都要记住这张阜阳的首张考卷让它成为阜阳教育人心中永远的记忆阜阳市2019~2020年度高三质量检测数学（理科）01集合运算考卷再难，集合运算好像总是会考的，是个容易题，就绝对不能失误了。记住了，如果不等式不便求解时，就用排除法处理吧！02复数运算复数，似乎是高考必考的考点，往往考查其运算和几何意义，当然也是送分题啦！熟悉复数运算的规则，提高运算速度，应该是你要所追求的。03统计图表统计，在高考中的地位可谓是蒸蒸日上了，它的原理其实不难的，只是文字是不是总会太多了点呢？送分题，除了有必要的信心，更需要耐心和谨慎，否则，也是可以功败垂成的。04三角变换因为统一化总是三角部分的基本思路，所以，我就莫名喜欢上了万能公式。也希望同学，别信某些人的。生在一考定终身的年代，还是别忘了它。05线性规划不太理解为什么会考它，因为据说线性规划不考了其实总认为这个知识点还是挺实用的。06二项分布山东人民会感谢吧，咱的苹果都正态分布啦讲真的，3σ法则要理解

其实对于高三学生备考来说，三角函数这一模块主要可视为三个模块：三角变换三角函数图像及性质解三角形每个模块都有各自主打的题型，确实，认真总结和归纳下，还是很有必要的。而三角变换主要考查三角公式尤其是角的变换的应用，主要题型为给值求值题.今天咱们就说说这个“给值求值”.例题讲解必修40102030405其实，如果用心体会，你会发现在三角函数问题中，只要关注了这一篇章的基本思想，有些问题甚至是技巧的处理往往都会显得顺理成章了。所以，对很多同学来说，多思多想多总结，才是解决高考备考的关键。END相关链接：三角恒等变换，你不得不知的公式大全。“三角公式”微专题

教师节快乐在这个特别的节日里，感谢曾经用心教导过我的恩师们。对你们最大的报答，就是一直努力活成你们的样子。1一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分；01方程虽然这种方程还是有较多的思路的，但，一般而言，遇到指数中有变量的，我还是比较喜欢取对数。02集合昨天将这个题给新高一的学生做了，学生做的也是挺好。也相信，参加考试的学生应该表示没压力吧。03向量其实，向量运算中最喜欢的当是几何运算了，只可惜画了好长时间的图，觉得还是不理想。所以只好用了这样的方式，虽常规了点，但还是比较有效的。04解析几何题中涉及到两条焦半径，当然是要考虑第一定义的。焦点三角形的面积，也是一个常考方式了。05概率这个概率题确实是比较麻烦的，不过幸亏两个集合中的数字都不太多，否则还真不知道有没有更好的办法了。06三角函数看动图，找思路▼对于擅长做动图的我来说，感觉这题是真心的好！当然，对相关条件的挖掘，也是简化过程的一个重要因素。07立体几何看动图，找思路▼既然考了截面，原以为会在截面的做法上加大难度的，结果失望了。棱台的体积公式，是不是还会有很多准高三生记不太清楚呢？不过记不住也没多大关系

可点击标题下方蓝色字体直接关注「素人素言」学生关注，帮你答疑解惑；教师关注，与您共促进步欢迎转发到朋友圈有老师建议做个文科试卷的解析，今天就抽空做了个客观题的讲解视频。其实，更希望有更多的学生能看到这个视频，也许或多或少对他们的应试会有一定的启发，可以助力他们的高考。毕竟在目前各校以考评教、高考录取以高考成绩作为主要参考指标的背景下，学的好还是不如考的好的。视频讲解附：全国I卷文科数学卷END相关链接：一题多解｜深度解析2019全国

高考过去好多天了才终于有心情做了下全国II卷最近见过很多人都会一致地问着同一个问题高考数学挺难吗？其实认真做了高考卷没来由地可怜自己的学生回想起三年无数个难熬的夜晚和那成堆的资料和试卷最后换来的却是无尽的忧伤和懊悔全国I卷真心不是传说中的难用心做了全国II卷才知道苏豫皖的孩子们实在太苦太冤01点评：这个集合的运算，和预期的一样，当属低级送分题了，确实挺容易给学生以信心的。02点评：嗯，和全国I卷一样，感觉复数加点对几何意义的考查，要显得稍有深度和内涵点。03点评：向量的基本运算，先字母再几何后代数，这样的顺序要记牢了。考场上就看谁又快又准了。04点评：这题放在这儿，明显不会太难吧。但怎么就有种一直不想看下去的感觉了呢，也许因为字母太多，怎么看怎么感觉象是物理题的。其实，这个我没有看太明白，因为这是物理老师写给我的，据说是一年物理竞赛的原题！05点评：有最大和最小值，当然与中位数有关了。但特征数这样考，估计也是因为实在是没有其它的考法了吧，不然又怎么照顾考II卷的考生呢。所以也不要问我怎么条件好象没用，这是物理老师告诉我的。06点评：这个大小比较，比全国I卷要容易点是正常的，只是也在容易了。07点评：这样的立几题，我一般都是打手势、找模型，也不知道你们在考场上会是怎样想的？08点评：只要知道两个曲线焦点的求法，再细心点，那么就拿到这5分了。只是做到这我已经很觉无聊了，都已经是第8题了，还是这样的难度，真的觉着这样命题对得起做I卷的孩子们么！09点评：这个简单的排除和做图就可以了的。不过从位置和难度上看，倒是和I卷的第11题挺是匹配的。10点评：嗯，这个还算稍微好点，一个二倍角公式就搞定了，但起码用了两次吧。11点评：作为第11题，这样的难度还是勉强可以接受的。只是感觉无论是I卷还是II卷，今年的离心率问题都还算是比较简单了，实在是后悔课堂上花的那些时间。12点评：总觉着这样的题好。因为对于喜欢函数的我来说，也只有在比较麻烦的作图或图形分析中，才能找到点优越感的。13点评：从这个题看，高铁的准点率真心是不错的。作为一名中学生，在做到这题时，是不是不自觉地在心中就默默为中国高铁点赞了呢。14点评：这个考查函数奇偶性，虽不难，但加上指对数的运算，估计有些学渣可能也会很难受的。15点评：嗯，这个题，第15题了，确实有点送分了，也有点过分了……16点评：曾经，金石文化，是我所喜爱的。不过这样的印信，也实在是独树一帜了，很少见的。还上网百度了下，但确实因为这增长了点见识。可是从立体几何的角度看这个题，应该还不会有难度吧。17点评：这个题，以长方体为背景，确实就大大拉低了难度。看来对于高考立几来说，是要练成一个熟练工的感觉了。18点评：这个题相较于I卷来说，难度岂止是低了一点呢，完全不在一个起跑线啊。不过讲真啊，也是个挺容易出错的题。19点评：看到两个数列交叉，本以为是挺难的……20点评：嗯，这个考题就挺好的，难度不大，但考查的尽是函数热点。要是给安徽考生就好了……21点评：终于来了个磨人的。第2问的垂径定理看出来了么？第3问题我用了夹角公式，现在还有多少老师能想起来呢？22点评：这个相较于I卷的消元，幸福的是太多了。我都很同情考I卷的孩子……还有那个角的范围，能看出来吗？23点评：绝对值不等式，绝对和平时备考准备的一样一样的，只是第二问稍微有点变化。这个题，可以点个赞了。我看高考高考不过是人生的一个小站如果觉得不好就好好用心再来一年要么奋斗在一个全新的起点相关链接：2019年高考卷，一线教师第一遍做。高考数学，一线教师二十分钟完成选择题高考前，一位数学老师的最后提醒

市考研室今天举行了高考试卷分析会，虽然时间比较紧张，有些观点也能不完全赞同，但也确实或多或少接受了些好的东西。毕竟一个人的力量太有限了，关键时候还是要吸取百家之长，取长补短。所以，很感谢这次的会议。作为更侧重于解题方法的我来说，更加关注的是一题多解的思维扩展，因为这样的东西可能会更加乐于让学生接受并引发思考。所以，就填空的这个压轴题，做了下更细致的思考，也重新做了整理，以期对新高三的学生有一点启发。附：2019年全国卷理科数学（II）卷其实解析几何题的处理，不外乎三种思路：1.单纯用平面几何的方法；2.单纯用代数方法；3.几何与代数的结合处理。下面就从这几个思路来分析，但因此题相对还是比较简单的，所以诸多方法之间牵连甚广，甚至大同小异。几何思路一般来说，几何问题的处理首先还是考虑几何法。相对而言，几何法的思路会更加的简洁，计算量更少，在解题时常会有更多的优越性。

其实，每一年的高考，同样是对老师的一份考验。这不，高考数学科才一结束，不少老师就在网上各种搜索，期望能在第一时间找到高考真题，并认真作答，以总结自己这一学年高三复习备考的经验。而我，也是一样的。01这个集合的运算，一如平时一样的简单，也是没什么可说的了。02复数的考查平时总以运算为主，此题却捎带考查了复数的几何意义，确实要“显得”更有水平点，但其实，大家都知道的，所以还是送分题。

高考来了今天是6月4日距离高考仅有3天高考真的来了曾经最繁忙的时节总是期望高考能早早的来到以让满身的倦怠有缓冲的机会曾经最烦心的夜晚总是幻想高考能早早的来到以让零乱的心境有平复的空间可是高考真的来了却有更多的不安和焦躁总觉得自己不够最好今天，讲了最后一卷的选择题，总觉得不放心，也总是不信，在距离高考仅有3天的今天，学生们还能用心听老师的讲课。所以回来想了想，录了个微课，以供高考生借鉴，为后来者示范，足矣。先附视频讲解。如视频字迹不清，请参考下面附卷。时间仓促，如有失误，亦敬请理解。附：原卷选择题

高考心语还有4天，高考便如期而至了。都说，家有考生，家长是最紧张的，但其实，你想过有几十个学生的老师，他们此时的心情吗？这个时候，最最紧张的，其实，莫过于高三的老师了。三年的陪伴，三年的同甘共苦，他们之间，也许早已积累了超越父子亲情的不一样的情谊。今天，又翻了一遍高三一年的笔记，高考复习的知识点，过电影似地，在脑海中快速闪过。没来由的，就总想着从考点的梳理上，最后再给孩子们讲点什么。可时间，却来不及了……这篇高考数学的知识点清单，虽然不一定很全面，但仍希望能对翻到的孩子们有一定帮助。120问，我来问你来答1.

也许是高考即将来临了，最近总感觉精力不怎么够用了，就这个三模试题，隔了那么多天，却实在是提不起精神去做它了。只好凑和着将最难的导数压轴题做了个视频。估计，也是不少中等生们所需要的吧。希望能对他们的点帮助。21函数与导数思路三视频解答：附：文字答案其实，对于导数的应用，虽然来来去去就几个考点，但因为代数式的形式变化实在太丰富了，所以难度是可以很大的。中等生基本上在考试时可能就直接放弃了吧？但是，总觉着导数中通性通法的东西不少，还是可以好好总结下的。考纲核心要求：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数图像理解和研究函数的性质；3.知道指、对数函数是一类重要的函数模型；4.理解导数的几何意义，能利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求仅限于f(ax+b)形式的简单复合函数的导数；5.了解函数单调性和导数关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；6.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最大值及最小值；7.会用导数解决某些实际问题。

今天才真正拿到合肥三模试题，认真看了看，感觉这次的三模卷给人不一样的感觉，更有深度、有内涵。时间的关系，这次的试题解析分两个部分了。01集合运算集合运算除了集合本身的交、并、补运算之外，一般会涉及解不等式。如果解不式的能力差点，可以考虑用排除法，有时也是挺好的。考纲要求：1.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩图表达集合的关系及运算。02复数■附相关链接：学霸们不能不知的复数知识复数主要考查乘除运算、模的计算、共轭复数及复平面内的几何表示，要熟记复数里一些常见公式或法则，争取提高本题的速度。考纲要求：1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义。03程序框图程序框图，好像最近很少见了。一般要先试算开始值找找规律，再试算下终止条件前后的一个或两个值进行验证，除了时间的问题，正确率上一般是不会出现多大问题的。考纲要求：1.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。■附相关链接：1.数学老师的算法都是假算法04数列性质数列小题的考查，好像总是以性质为主了，要牢记等差等比数列的中项性质。另外，有时数列的函数性质也是很好的考查点。考纲要求：1.理解等差、等比数列的概念；2.掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系，并能用相关知识解决相应问题.■附相关链接：1.一种思想，解决数列递推问题2.期末复习：数列前n项和的最值研究05回归直线其实，统计的知识，虽然记忆是很重要的，但重在理解。还记得回归直线与折线图之间的联系吗？考纲要求：1.了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用；2.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。3.会用两个变量的数据的散点图，能根据给出的散点图认识变量间的相关关系；4.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.■附相关链接：1.睢，最全的统计清单来了……2.统计不是你想学，想学就能学……06线性规划线性规划也是很久没见的题了，关于线性规划中目标函数的几种常见形式，还是要烂熟于胸的。考纲要求：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.■附相关链接：1.高二学生福利

这世上没有谁比谁活的容易只是有人在哭天喊地有人在静默坚守每个人心中都有一团火只是别人只看到了烟一直想写个递推公式的东西，却一直在犹豫。原因当然是在现行高考要求下，总觉得这个知识点有点太尴尬了：原本很难、很有技术性的东西，难度竟然压缩到了初级阶段。可想了好久，还是决定写一点，毕竟代数变形，我总认为是代数的精华所在，不能丢。其实，要想处理好数列的递推公式，也不是特别的艰难。首先对四种基本形式递推式的处理方法要非常熟悉。剩下的，就交给化归了。叠加法熟悉吧？累积法怎么样呢？迭代法也是不错的构造法应该是最常用了你可以了分式型最讨厌了啦不动点可以用吗得亏了高考降低了难度其实四种基本形式并不难的6666666等差型01迭代法02叠加法例题小试————等和型01迭代作差，分奇偶项例题小试————等比型01迭代法02累积法例题小试————等积型01迭代作商，分奇偶项例题小试————好了，有了这四个基本形式，那我们就可以依据它们，随心所欲地处理递推式的一般形式了。当然，其中对代数变形能力的考查，也是会让学渣们欲哭无泪的。▼变1称为常系数一阶线性式，但与等差型相比，也只是系数之间的差异，故首先考虑消除这种系数差异。常见两种变化方法:1.等式两边同除以An，将递推式转化为等差型，用叠加法或迭代法处理。2.用待定系数法，将递推式转化为等比型，利用等比数列通项公式处理。变2此递推式与常系数一阶线性式的区别，主要为an-1项系数不再为常数，故不能再按“变1”的方式进行改造,但依照化归思路，必须将其通过代数变形后，转化为四种基本形式之一。此种形式递推式常用待定系数法将其转化为变3此递推公式与一阶线性式的区别，仅是多了一个项，故可先将其转化为“常系数一阶线性式”，再进行处理，转化为“常系数一阶线性式”时依然用待定系数法。特别补充①形如形式递推公式称为二阶常系数齐次线性递推式这种形式递推式可用特征根法▼特征方程为当然如果在实数范围内无解时可用虚根高中阶段一般不研究变4这种常系数非齐次递推公式，主要思路首先要将项的次数降为齐次，主要方法可采用等式两边取对数，将递推式转化为四种基本形式之一。变5此递推式与“变4”相同之处为“常系数二次非齐次式”，但等式两边不为乘方形式，达不到两边取对数的条件，故首先考虑将式子两边都整理为这样，就可以取对数了。变6这种含有交叉项的“常系数二次非齐次式”，首先当然要考虑消除交叉项了，因为这样就可以转化为前面的某些形式。因为没有常数项，一般可有两种思路：1.两边同时除以交叉项，达到转化为“常系数一阶线性式”：再构造等差型或等比型处理。2.将等式转化为分式型：再通过取倒数，达到化为“常系数一阶线性式”，再构造等差型或等比型处理。变7和“变6”相比，递推式中不仅有交叉项，同时有常数项，此式已不再具备两边同除以交叉项的条件，但转化为分式型：因分子中出现常数项，也不符合“变6”取倒数的条件，这时就需要用到待定系数法，构造取倒条件。特别补充②形如

作为一名苦逼的高三学生是不是一听数学老师说三角函数是最简单的了就忽然地感觉头大了呢是不是就突然觉得自己实在是没用了连老师眼中最基本和简单的东西都觉得太难了而且最难过的是距离高考真的越来越近了……

《立体几何》知识网络图：最近学生参加了几次的联考不少同学都感觉自己是不是要被立几给废了？不然为什么好几次的立几小题都让自己有想哭的冲动其实立几的核心考点也只是三视图、空间几何体位置关系、空间量的计算而空间几何体的考查除了三视图主要以组合体为素材考查多面体的外接球所以确实的多面体外接球的问题还是要处理好我也是一直想写点什么以助力孩子们的高考奈何好像懒散了拖到了今天必会知识点01球的截面平面与球相交产生的截面为圆过球心的截面圆为截面大圆不过球心的截面圆统称小圆据老师的经验但凡涉及到球的计算问题截面大圆还是非常重要的只因为大圆的半径就是球的大小就象下面这个例题▼球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，过正方体的两条棱AB和A1D1的中点P、Q作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（

教师提醒：平面向量的客观题，好象总免不了几个考点：基本定理、数量积、三角形四心问题。关于基本定理，一直说是最最重要的，那你还记得，如何记忆，才能让我们写的更快速点么?05统

曾听不少同学说，一做三角形“四心”问题，总感觉心里空落落的，没有感觉。确实，自从有了向量，三角形的“四心”就变的神秘了。离高考还有74天，也是时候和它做个了结了。01三角形重心“G”三角形三边的中线相交于一点1.重心到顶点距离与重心到对边中点距离之比为2：1。2.重心和三个顶点构成的三角形面积相等。即：重心到三边的距离与三边的长成反比。3.重心到三角形三个顶点距离平方和最小。4.三角形重心坐标是顶点坐标的算术平均。5.三角形重心的向量式：

空间轨迹问题昨天听了张老师的一场报告，是有不少感慨的。作为一线教师，相信大都如我一样，疲于课堂教学，恐怕极少会有教学之外的、更深层次的思考吧。当然，也可能只是缺少了契机而已。专家的解惑，更让人体会到理论与实践、理想与现实的差异。面对高考升学的压力和社会急功近利的关注，让我们感觉到了更多的困惑。深深的自责之后，更有深深的不安。虽然因为视角的不同，有些观点可能还不太一样，但最终的目标是相同的。深有同感下，就想陆续的写点什么。所以，就首先有了今天的这个“空间的轨迹”了。也是应前几日学生的要求，而做出的回应。例

01集合运算教师提醒：此种题直接法不难，若稍微复杂可用排除法。容易题，务必求快求对哟。02复数运算教师提醒：熟记复数的几个常见运算结论多么重要！再也不要笨笨地化简后求模了……再也不要傻傻地求共轭复数了……03圆锥曲线1教师提醒：能熟练掌握二次曲线的基本特征，对某些同学来说，也不一定能很好的做到吧。04解三角形

新年开学后，学生认真做了“合肥一模”卷，在课堂上我也着重讲了几个题。今天，就这道解析几何题，就课堂上的解法，抽空做下整理，以供同学们进行总结和感悟吧。01最过劲的一定是硬解：解析几何的基本思路是“几何问题代数化”，但是很多时候，说起来容易做起来却是很难的，因为这样的计算量确实不是一般人能够忍受得了的。所以我认为，能够硬解这道题的同学，一定是最过劲的！当然，下面的硬解中，充分利用了二次函数的双根式进行简化计算，你还有印象吗？02懂得迂回才是真智慧：如果在代数化以后，计算量确实过大了，那就要在条件转化的过程中想办法了，你看下面用到了切线长公式，是不是就很爽了呢！所以说，条件转化时，遇到困难懂得迂回，才是最具智慧的同学啊。03能用几何才显功底深厚：其实，又有多少同学对初中那丁点的几何知识记忆深刻了呢！确实，下面用到的这个直角三角形中的射影定理，确实是值得称道的。04向量引用彰显思维深度：下面用到的向量数量积，想来也是飞来之笔吧，这样的知识综合运用能力，没有一定的思维深度和知识积淀，铁定是想破脑壳也不行的。所以，着实佩服！05参数方程也不容忽视：直线的参数方程，也是我们应该要掌握的哦。当然，也希望你能根据题目的特征，认真体会何时才可用到这个方程吧。特别订正：本题中没有考虑直线倾斜角为90度的情况。（当然，如果你有好的解法，也不妨贡献给大家欣赏下吧。）End

抛物线是大家都熟悉的一个圆锥曲线，毕竟从九年级就开始接触了。所以说，以前我们所熟知的二次函数的图像——抛物线，其实就是我们现在所说的抛物线，只是以前的抛物线对称轴都是与x轴垂直，且大多都是经过平移的。知道吗，抛物线的所有知识点，其实都集中在两个方向，那就是“一条弦”和“三个点”了。今天，我们就按照这种形式，来系统整理下抛物线的知识清单。当然，更希望通过它，在这个压力山大的假期，给你一点安慰和鼓励。“一弦”敲重点应该说，焦点弦是圆锥曲线中最重要的一条弦，可以说但凡是重要些的性质，都与焦点弦有一定的关系。所以，对焦点弦的把握，必须是最至关重要的。01坐标相关COORDINATE02长度相关LENGTH03切线相关TANGENT

介绍了圆锥曲线的很多性质总感觉缺了点啥又难以说清楚所以今天啥也不说了直接就上图吧……过焦点且与焦半径垂直的直线与焦半径端点处切线交点在准线上。焦点在焦半径端点处切线上投影的轨迹为圆。圆锥曲线焦半径中点轨迹形状与原曲线形状相同

要问孩子一张综合卷最怕哪个题，估计解析几何题应该跑不了吧。能认真做一问都算正常，能完整做两问的，应该就算学霸了。因为，它的计算量也确实是太大了啊！所以很多时候，计算上如何优化，应该才是我们做老师的应该多研究的。当然，江湖上那些所谓的“硬解定理”，就算了，因为对正常的孩子们来说，记起来也确实是太难了。天天用还可以，要隔好久才用一次，谁还能记住呢。正经老师要求●弄清题目条件，联想相关结论；●理清解题思路，逐条进行转化：

专题：椭圆焦点弦解析几何，对于许多学生来说，可能是倍觉无奈的。仅计算量的问题，就凸显了自己的不足吧。而且因为对图形性质的认识不足，在做题时就会显得底气不足，会常常因为知识的储备问题，备觉捉襟见肘。所以，解析几何，知识的整理是必要的。那么今天，就讲讲椭圆的焦点弦。当然，双曲线与抛物线的焦点弦，就自行脑补了。【焦点弦】：过椭圆、双曲线或抛物线焦点的弦1焦半径公式①

切线，无疑是圆锥曲线中一类重要模型，在考题中是最常见的了。而对圆锥曲线切线的深入研究，对我们快速解决这类问题是非常有帮助的。这两天看画板群里，板友们都在尽情玩转”蒙日圆“，就突然地，想写一写这个特殊的“圆”了。夹汤圆右边这个图形，象不象用一双筷子，夹住一个汤圆了呢?我们不妨就将类似这种图形的问题，叫“筷子夹汤圆”问题吧。对，就叫筷子夹汤圆！其实，如果注意观察，目前这种方式，夹汤圆时筷子的位置虽然不同，但两双筷子之间的关系好像总是不变的。对，两双筷子总是互相垂直。1除了这个，你还能从图中观察出什么呢?对，P点在旋转过程中留下的痕迹，竟是一个漂亮的圆呢！偶然的，还是必然?当然就值得有心人去研究了。蒙日圆的证明在证明之前，首先在几何上，普及两个有关四边形的结论。①在平行四边形中，各边的平方和等于对角线的平方和。

轨迹问题，是解析几何中最基本，也是最重要的题型之一，熟练掌握轨迹方程的求法，是掌握解析几何的基本技能。本文旨在通过轨迹问题最常见的四种求法，以期能让学生体会处理轨迹问题的基本思路。01▶直译法如果题目中直接告之了动点所满足的条件，可用直译法。按照解析几何的基本思想——几何问题代数化，直接将几何条件转化为代数等式即可。一般可分为五个步骤：①建系设点：坐标系是几何问题代数化的基础，同时，求哪个点的轨迹就设出其坐标；②寻找几何等式：按题意找出动点满足的几何等式；③几何等式代数化：利用距离、斜率等公式，将几何等式转化为方程；④化简：轨迹方程一般都是方程的最简形式；⑤验证：根据曲线与方程的关系，要对所求方程及动点满足的条件进行比较，确保点和方程的解之间一定是一一对应的关系。02▶定义法定义法一般而言，所求轨迹均为我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，可以根据这种结果去观察动点会否满足其中某曲线的定义。一般要关注题中的定点、定直线类型条件。这种执果索因的思路，往往会大大优化解题过程中的计算量。定义法求轨迹方程的步骤：①判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义；②设标准方程，求方程中的基本量；③求轨迹方程；④适当验证，确保完备性和纯粹性。图形的折叠，属对称问题，且图中有定点，可考虑从定义的角度寻找突破。103▶相关点法相关点法求轨迹问题时，弄清动点运动的原因是至关重要的。如果因为点M的移动导致点P发生运动，这个点M叫作点P的相关点，可以采用"设点-求点-代点“三步法去求得动点的轨迹方程。这种方法称为“相关点法”或“转代法”。相关点法求轨迹方程的步骤：①动点M(x,y)的相关点P(x0,y0)在已知曲线上运动；②寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y);③将x0,y0代入已知曲线方程；④整理关于x,y的关系式，得点M的轨迹方程。04▶参数法参数法如果动点的移动是因为某一参数的变化而引起的，可采用参数法。将动点的坐标用参数表示，然后通过消参达到求得轨迹方程的目的。参数法求轨迹方程的步骤：①选取参数k，用k表示动点M的坐标；②得动点M的轨迹的参数方程：③消参数k，得M的轨迹方程；④由k的范围确定x,y的范围，确保完备性和纯粹性。轨迹问题，根据计算量上的考虑，一般首先验证能否用定义法。此时要关注题给条件中是否含有定点和定直线的条件，同时要充分利用某些几何性质（线段垂直平分线、角平分线、平行线等）积极寻找隐含的定义条件；如果不能用定义，则要研究动点运动的原因，考虑采用相关点法或参数法。完

愿你历尽千帆，回首尽是功成。连着的两次联考，都因为客观题的难度设置，让学生连续受挫了。其实，很多时候，也并不是因为试题难度的问题，可能更多的还是学生对于知识和方法的熟练程度，与老师的要求尚有一定距离吧。这不，再见等和线，不是一如既往的晕菜么！所以，今天忍不住的，以这个考题为引子，再次讲讲等和线这个常考点。向量的关键，永远是基本定理如果问你：向量中最重要的知识点是啥?你会回答是基本定理么?其实一直认为，平面向量基本定理，是平面向量的灵魂，很多向量或几何问题，若舍弃了基本定理这一根本，是会走很多弯路的。当然，今天要说的等和线，其实就是平面向量基本定理的重要推论——“共线定理”而已，但是一旦单独拿出来，其作用却是不可小觑的。等和线相关知识其实，式中λ和μ正负的确定，和平面直角坐标系内点的横纵坐标正负的确定方式是相同的。好啦，有了上面的结论，我们就可以用这条等和线肆无忌惮地解决平面向量基本定理中基向量的系数和问题了。好题赏析01说明：因为四边形为长方形，故也可考虑用向量坐标运算。02此题λ+μ应为定值，故也可考虑用特殊值处理。03当然，此题也可考虑用向量坐标运算。04050607“等和线”解题步骤2019.01.01①确定值为1的等和线；②过动点作该线平行线，结合动点的可行域，分析在何点处取得最值；③利用长度比或该点的位置，求得最值。完

这些天太忙了，断断续续地写完此文，思维上可能并没有连贯性，但还是希望能对的孩子们掌握直线知识有帮助的。1直线的倾斜角①定义：直线向上的方向与x轴正方向的夹角。②范围：[0,π)(规定：直线与x轴平行时倾斜角为0)

平面的法向量应该说，高考中立体几何的考查，线面角是必考内容。其实说到底，立体几何也就两个问题：①位置关系的判断或证明；②空间距离及角的计算。而细究这些问题，就不难发现，通用的方法应该都会用到平面的法向量。所以，对法向量的深入研究，就显得至关重要了。01

二元线性规划问题，是高考的常考题型，主要处理二元目标函数的最值，考查学生数形结合的能力。线性规划问题的处理，关键在于正确理解不等式表示的区域，以及对于各种二元代数式特征的认识，尤其是对代数式几何意义的理解。不等式表示的区域01作图关键：线定界、点定域0203一般来说，线性不等式组表示的区域如果是封闭图形，一定是多边形。在寻找该区域时，要遵循“线定界、点定域”的原则，可将直线表示成斜截式的形式：ykx+b表示直线上方区域。04作出不等式表示的区域，是解决线性规划问题的基础，除了线型不等式，曲线型不等式表示的区域，也须能够处理。但其实，处理的思路基本都是不变的：线定界、点定域而已。线性规划模型截距型其实，如果仅是客观题，可以直接将区域的三个顶点坐标代入，得到的值中最大或最小值即为目标函数相应最值。目标函数取最大值时，直线处于最高还是最低处，主要取决于斜截式中的纵截距中是否含有负号。距离型凡是平方和的形式，都可构造为两点间的距离公式，或圆的半径。绝对值的问题，除了直接用截距型方法，求得绝对值内代数式范围后再转化为绝对值外，也可以看作点到直线的距离，用几何法处理。我一般认为，在代数式中具有几何意义的量，主要有三个：平方和、绝对值和分式。平方和一般可理解为两点间距离，绝对值可理解为点到直线的距离。当然，分式就是大家所熟知的直线的斜率了。斜率型直线斜率由两种算法可得，一是倾斜角，另一便是两点坐标。因此，分式型代数式最基本的几何形态便是斜率。分式的几何形态是直线的斜率，但有时并非表象，可以作适当化简后，结合直线的知识，重新构造斜率。其实，线性规划问题，有时在考题中出现还是比较隐秘的。那么，我们解决的关键就在于对线性规划的理解了。一般我认为，对于二元代数式的最值或值域问题的处理：首选方法为基本不等式法，只是它的作用是有限的，只能求代数式单侧的最值；其次可以考虑消元法，尤其是如果有条件等式的话，消元法应该是一种常规解法了。当然，如果没有条件等式，换元消元也是一种很好的思路；再其次应该就是线性规划了，只是线性规划中一般含有条件不等式，如果只有条件等式，但又不便于消元，那么就可以按照线性规划的思路去处理，只是我们一般说叫数形结合，但其本质依然是线性规划。总之，条件不等式下的二元代数最值问题，肯定是线性规划问题了。相关链接：1.最强学霸体验：条件等式求最值2.二元代数式的最值问题，我从这些角度思考。3.数学解题方法

2018/11/05Monday今天下雨课间尤其无聊就想起了前两天想写的这个关于二元代数式的问题其实我们在做卷时是经常会遇见这类问题的只是大部分时候都觉得做出答案就可以了很少会想到将它做的更细致点再细致点但其实做为老师觉得还是有必要研究一下并将它献给我们的学生因为代数的东西重在感觉很多时候我们的那些感觉啊都是在代数变形过程中积攒起来的所以这类总结表面虽无意义但对我们思维的启迪相信会大有裨益▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓░░░░努力加载中……消元法函数角度关于最值问题，最喜欢的还是从函数的角度去分析。尤其是我们接触到导数以后。其实，函数的核心不还是最值么？所以，这种消元得一元函数的角度，应该是最常规的了。因此，还是强烈建议，记住代数变形的基本原则吧：有分母的去分母有根号的去根号多元的消元高次的降幂……“1”的替换“1”的魅力相信大家对这种“1”的替换的思路，都是印象深刻，甚至有条件反射吧？其实，两种解法虽方式不同，但其思路是一样的。感觉，“1”的替换的本质，应该与齐次式有关系。记得好像在圆锥曲线中，就给学生演示过这个功能，可以秒杀“双斜率问题”的。换元法换元的姿势换元法的姿势其实是很多的。但我最喜欢的还是换元的同时兼具消元功能的换元。所以，我选择了三角换元。另外的原因，应该就是三角公式比较多了。但其实，还有一种换元，也是很过劲的，如果是我的学生们，就一定会猜到了……确实，那就是均值代换了。如果用它，这题就可以这样了：是不是觉得，这样，也很简洁了呢！基本不等式法童年其实不少高二新生，可能都还不太清楚，不等式中还有个不等式大链吧?其实它还是很重要的。它们分别叫作：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数我感觉，如果想成学霸，这个，还是要知道的。否则，有一类不等式的证明，你可能会一筹莫展的。当然，相信你一定会遇见的。相信我

November

数量积是向量的一种高级运算。但其实，数量积运算与向量的加法及减法运算也是有着极强的关联性的。最直观的关联恐怕就是平方差了，也叫广义平方差。它是下面这个样子的：其实，我认为，这个还不是最好的东西，如果将它放在三角形中，结合向量的三角形法则和平行四边形法则，倒是可以很潇洒地找找它的几何意义。如是，就得到了下面这个非常漂亮的结论：不知为什么，有人把它叫做极化恒等式，但不管怎么说，这个结论还是挺让人满意的。当然，如果你看见它秒杀一类数量积问题，才会发自内心的为它叫好。01－常规解法－老师说，三角形中的中线，它的向量表示是非常重要的。确实，在我们平时遇到的题目当中，中点、中线是常见的。/////干净干练

椭圆是圆锥曲线中最常考的曲线了而涉及椭圆的问题大多因其计算量大而为诸多同学所不喜但是几乎是所有同学应该都喜欢圆的吧不仅因从初中就开始接触更因为圆比椭圆更圆的特征让圆具有更直观、更美好的性质比如切线、直角就连圆中所涉及到的计算都被圆独特的个性给完美的弱化了那有没有想过椭圆与圆的关系呢更深一点的如果能将椭圆变成圆那该是多美好的事情呢其实这也不是不能达到而牵涉其中的只要一个变换就可以了这么美好的事情不交流一下真的是可惜了的所以今天就讲讲这个变换伸缩变换伸缩变换，是人教版教材选修4-4的内容。教学时，很多老师都是一带而过的处理了。但从伸缩变换的几个性质可以看出来，圆锥曲线中关于直线的斜率、图形的面积，直线与直线的平行关系、直线与圆锥曲线的位置关系等，都是可以考虑用伸缩变换处理的。当然，鉴于学生对于圆锥曲线问题处理的定性思维，不到万不得已之时，我们也不提倡学生使用这种变换去答题，以免弄巧成拙了。但作为人师，还是有研究的必要的。确实没有比较就没有伤害原来椭圆变成了圆很多东西更真相大白—END—

昨天，安排学生做一小单元卷《导数及其应用》，可能缘于客观题的原因，测验结果不太理想。想了想，晚上还是录个小视频吧，让学生周末时可以再细心揣摩并思考：考场上，客观题到底应该怎么处理，才能让自己的答卷质量尽可能提高点。毕竟，平时随意的做题和考试答题，心理上还是有很大差异的。简析高中阶段不等式的处理，主要考虑其几何意义，从图像上观察更直观且迅速。当然本题中主要涉及到切线问题的处理。【详细解法见视频讲解】简析此题条件较长，考场上读题不易。考虑到结论是通过不等式求参数的范围（即解不等式），可从不等式与方程之间的关系着手，通过排除法处理。【详细解法见视频讲解】简析导数题中凡涉及原函数与导函数共存的条件不等式，一般采取的办法是构造函数法，再通过条件不等式判断新构造函数的单调性。虽然要根据具体条件式的特征去进行构造，但对一些常见的可构造条件特征还是要求要熟悉。如：【详细解法见视频讲解】简析极值（点）问题是考试常考题型，极值点个数主要涉及到方程根的判断或根的分布，因此要求考生对函数零点的处理要更灵活。本题中涉及到参数范围问题，首先考虑分离参数后通过图像观察零点个数。函数的做图主要参考四个方面：01函数定义域02特殊的点或线：零点、极值点、纵截距、渐近线03函数单调性04函数值的分布【详细解法见视频讲解】请观看视频讲解∨简析通过数形结合，将问题转化为切线问题后，主要涉及对方程的处理。对于超越方程或高次方程，要能够通过观察或猜想找出其根。【详细解法见视频讲解】温馨提示如果你喜欢本文，请分享到朋友圈，想要获得更多信息，请关注我。

很多的同学都说三角函数太难了。其实我们老师都知道，他们只是畏惧对公式的记忆。而所有的三角公式，如果真的认真推导一下，其实也并没什么新意。而且也不是所有的三角公式，在考试时都能用到的。但是，作为一名高三党，对三角公式，还是要有一个整体上的把握的。这样，才能做到自信满满而百战不殆。今天，就讲讲三角公式那些事。两角和与差公式01证明遇见是一种缘分珍惜是一种幸福二倍角公式02在两角和公式中令β=α，我们就很容易的得到了二倍角公式。记得传说中的升幂和降幂公式吗?

众所周知的，解析几何题因为计算量太大，常让学生望而却步。但在老师的心目中，做解析几何其实并没有同学想象中的那么艰难，因为毕竟它的基本思想“几何问题代数化”是我们所熟知的，那在解题时，只要紧抓基本思想不放松，过程虽艰难，但问题，总是会迎忍而解的。当然，为了避免计算量的问题，我们总是会在解题过程中想尽办法进行解法的优化，比如大家熟知的“点差法”，因为计算量非常小，就深为大家所喜爱。今天，我还想给大家介绍一个小妙招，专门针对圆锥曲线中的“双斜率问题”。偏方治大病啊，希望大家能够喜欢。斜率不存在时，可以通过验证的方式进行确认。平移后

单位圆单位圆指的是平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为1的圆。在很多人的意识里，教材中单位圆的引入，仅是为了准确作出正弦曲线，但其实，单位圆在解题中，也有着非常重要的作用。今天主要通过单位圆的几个简单应用，让大家体会单位圆的作用，并在今后的解题过程中，树立利用单位圆的解题意识。1确定角的范围一般来说，我们遇到sinα±cosα=t这种形式时，总是会首先考虑到两边平方

奔驰定理一直想整理下向量与三角形的关系，苦于一直没找到动力。昨天看一板友QQ空间用奔驰定理解决向量问题，就有了强烈的冲动，故写就此文，供同仁及学霸欣赏。大家是不是都非常熟悉这个车标呢?大奔曾经是多少少年的梦想啊！其实，对数学人来说，假期玩玩我们自己的“奔驰”，我觉得其实比现实更有意义。虽然，这个图形照比车标，确实逊色了些，但在数学人眼中，它的美感也是无与伦比的。不信?先看用它秒解向量题的风彩吧！“奔驰定理”解题三角形的“四心问题”好像就一直是向量的热门话题，其实，三角形的“四心”，与奔驰定理也着很大的关系，可以说，奔驰定理是三角形中的万能定理。下面就看看如何用奔驰定理去说明四心的向量表示吧。dvdf“奔驰定理”与三角形“四心”当然，首先还是要了解一下四心的概念的。①

国庆日你在外地看风景我在家中啃书本在导数学习过程中，我们经常会碰到两个最特殊的代数式，那就是ex和lnx了。当然，试题青睐这两个特殊代数式的原因，很大一部分可能是它们与一般代数式之间的密切关系，那就是它们的导数：今天，我们就围绕这两个特殊的代数式，来说一下与它们密切相关的故事。认识几个不等式是不是觉得这几个不等式很美?其实，我所认识的美，不仅在于它们的形式，更在于它们的图像关系。因为它们之间特殊的相切关系，所以老师们又叫这组不等式为“切线不等式”，而且因为在证明不等式时，它们的出镜率确实太高了，所以有人又叫它们“万能不等式”。反正我认为，低调点叫切线不等式，高调点叫万能不等式，都没毛病！反正都是说它们的重要性罢了。分析：这个不等式只有左边有对数，而且是自然对数，所以最常规的方法是构造函数。然后将不等式证明问题转化为求函数最值问题进行处理。分析：此题式中左右两边都有特殊函数式，如用构造函数的方法处理，可能在求导函数的零点时会出现麻烦。因此，如何寻找两种不同函数式的联系点至关重要。可考虑用切线不等式将两种特殊函数式统一为一般多项式，然后进行比较。分析：第二问中不等式链右侧含两个特殊函数式，除考虑两者之间联系点外，另一常规处理方法为两边取对数，将两式统一成对数式，再进行比较。分析：此数列不等式左边为积的形式，而且通项为分式，则左边求积必用累积法，故可考虑将数列通项放缩为可累积的形式，即：然后再比较积式与右式大小。其实指对数的这组不等式，是麦克劳林公最简洁的形式。这个公式于我来说，感觉最棒的就是，无论一个什么样的函数式，竟然都能写成多项式的形式！而这，是我们在代数变形过程中，最喜欢的结构式了吧。但其实，如果单从函数不等式证明的思路上来看，我们还是要熟练掌握其证明的正常思路。比如要证下面这个不等式：★首选思路：最值比较这是我们证明这种不等式时所幻想的最理想状况了。虽然这个式子与原不等式不等价，但万一成功了呢？★其次考虑：构造函数：将原不等式的证明问题转化为求函数H(x)的最值问题，这恐怕也是所有同学最喜欢的方法了。只是在求H(x)的极值点时，往往会遇见超越方程的求解：

三角函数复习系列之一三角函数是中学数学不可或缺的内容，很多时候，三角函数已经成为我们解决数学问题的一种有效手段。而在三角函数的应用中，能否熟练掌握三角公式的变化技巧，不仅至关重要，也是许多学生感觉最无助的。本文从同角关系出发，介绍三角变换的思路、技巧，以及基本题型“给值求值”题的处理思路，以期能对学生有所助益。1同角关系平方关系公式点评：平方关系可以实现同角的不同三角函数值之间的相互转换，同时，平方关系也是三角换元的基本工具，在代数变形中有着重要作用。老师提醒由一个角给定的某一三角函数值，求其它三角函数值，我一般还是主张用第二种方法，干净简洁！只是，同样要注意正负号的选择，遵循先定正负、后求绝对值的原则。老师提醒“有根号的去根号”，这是代数变形的基本原则，那么，三角换元无疑是去根号的有力武器之一。在三角函数中，三角换元主要的出处有两处：第一就是大家所熟知的方法一（平方关系）。但其实，第二种换元的方式也是常见的，它是利用了三角函数的有界性。商数关系公式点评：商数关系是建立同角“弦”、“切”关系的重要媒介，所谓的“切化弦”及“弦化切”指的就是它的应用。老师提醒“弦化切”要求分式为齐次式。转化过程中，“1”的替换技巧就显得尤为重要。相对而言，方法二可能学生更乐于接受。但不论用何种公式进行变换，其目的都是实现函数中“角”与“名称”的统一，至于采用何种方式，取决于自己对三角公式的熟练程度，以及求值域过程中的代数变形能力。老师提醒2基本题型：给值求值老师提醒三角变换其实说到底就是“角”的变换，因为角之间存在一定的关系，函数值之间才会有一定联系。所以这种给值求值题，从角的关系上着手观察，总是最佳方案。老师提醒这种给值求值，最容易出错的应该还是在求条件角其它的三角函数值时，角的范围的确定。当然，条件角与所求角关系的寻找，才是至关重要的。老师提醒

1234567891011（祝老师们节日快乐！）

再谈三角代换上一期我就数列递推公式的处理，提供了一种解法——三角代换。其实，三角代换作为一种最常用的代数式变换形式，已经越来越多地被很多老师和同学所接受并喜爱。今天，我们就从三角代换的形式要求上做一点总结，以期给大家更多的启示，并期望得到各位同行的指导。1利用有界性三解函数的有界性是指：-1≤sinα≤1,-1≤cosα≤1应该说，有界性是三角函数最基本的性质。其实，这一特性也被充分应用到代数变形之中。12利用平方关系三角函数中的平方关系主要指：在实际使用中，如果出现平方和或差的代数式，用常规的方法不能有效处理时，我想都是可以用三角代换试一试的。2“分析一：此题为二元代数式最值问题的常规题，思路较多。但若抓住条件中二次三项式因式分解后的定值特征，就可以考虑用三角代换的方法。”“分析二：由条件式和结论式之间的特殊关系（平方关系），此题还可这样三角换元。”特别说明这种换元看似洒脱，但其实是因为本题条件和结论中两个代数式之间的特殊关系而促成的。正常情况下，如果换元后得到的方程组不能反解出x和y，这种方法可行不可解。但这种解法也提醒我们，数学解题，最重要是敢于尝试，而且三角代换的方法，很多时候会有出人意料的结果。（此种题型解法颇多，值得老师们研究）3利用倒数关系三角函数中倒数关系指：tanα●cotα=1此题为二元代数式最值问题的常规题，思路较多。但若抓住条件中二次三项式因式分解后的定值条件，可以考虑用三角代换的方法。34利用公式特征三角函数中公式特征指类似于下面的公式：有时可以根据代数式与相关三角公式的相似性进行构造代换。4

今天这篇文章的起因是这样的：问题起源今天的话题，源于前几天"阜阳数学教研群"内一位老师的提问。随后另一位老师给出的一句简单的提示：网友答复随后，便一直没有了消息……不知抛出问题的老师有没有进行再思考?更感谢给出提示的老师的坚决。确实，对老师们来说，给出提示就足够了。

老师有话说我们都知道，基本不等式主要是用来求解多元代数式最值问题的，老师们又简单的将这个应用条件总结为：和定积大、积定和小。说来容易，真正在应用的时候，定值条件的构造确实是挺考验一个人的灵活性的。因此，对于基本不等式来说，一正、二定、三相等这三个要素中，如何寻找最一般性的