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立体几何专题:空间轨迹

彭西东 素人素言 2022-07-17





空间轨迹问题

昨天听了张老师的一场报告,是有不少感慨的。

作为一线教师,相信大都如我一样,疲于课堂教学,恐怕极少会有教学之外的、更深层次的思考吧。

当然,也可能只是缺少了契机而已。


专家的解惑,更让人体会到理论与实践、理想与现实的差异。面对高考升学的压力和社会急功近利的关注,让我们感觉到了更多的困惑。


深深的自责之后,更有深深的不安。


虽然因为视角的不同,有些观点可能还不太一样,但最终的目标是相同的。

深有同感下,就想陆续的写点什么。


所以,

就首先有了今天的这个“空间的轨迹”了。

也是应前几日学生的要求,而做出的回应。

例 题 讲 解


分析:因为A1C为定直线,点N在运动的过程中若保持MN与A1C的垂直关系不变,则MN必在经过点M且与A1C垂直的平面内,故点N在该平面与已知平面的交线上,交线显然为线段。故本题选A.

教师提醒:

其实,这类问题,对动点运动过程中元素性质的分析,是非常重要的。

抓住变化过程中的不变关系,是最关键的。

分析:因为AB1⊥面A1BCD1,故过面A1BCD1内点P作AB1垂线,垂足一定是图中的交点G了。

此时,题给条件即为动点P到定点G的距离与到直线BC的距离相等,由圆锥曲线定义知其轨迹为抛物线。故本题选D.

教师提醒:

说起轨迹,我们首先想到的当是解析几何中的轨迹问题,

还有不少求轨迹方程的方法吧?

那么空间与解析几何中轨迹的唯一区别,就是空间与平面的区别了,

那还犹豫什么呢,

赶紧想办法,将涉及到的空间元素,尽可能迁移到同一平面内呗,用我们最拿手的解析几何方法去处理。

所以,数学解题过程中,化归意识才是最至关重要的。

分析:因为线段AB是固定的,三角形PAB的面积为定值,实际上就是说点P到直线AB的距离为定值

因此,点P应该在以AB为轴线的圆柱侧面上。

所以,点P的轨迹,应当就是圆柱的侧面与平面α的交线了,显然为椭圆。

故本题选B.

教师提醒:

其实,关于轨迹问题最常规的处理,是逐步缩小动点的活动范围,直至最后确定它的运动轨迹。

就象此题的思路,先确定点在圆柱上,再确定在平面与圆柱的交线上。

当然,你首先得知道:

平面内到定直线的距离为定值的点的轨迹是两平行线,

空间内到定直线的距离为定值的点的轨迹为圆柱侧面。

还有,如果对丹德林双球不太熟悉,可能也不会快速做出反应吧?

分析:与定直线夹角为定值的点,一定在以该直线为轴线的圆锥侧面上。那本题中的动点P,就应该是面BB1C1C与该圆锥的交线了。交线为双曲线一部分。

故本题选C.

教师提醒:

很多同学都选抛物线了吧?

那你一定是忘记了以前我们说过的“丹德林双球”了。

附:丹德林双球模型(圆锥曲线篇首导入视频)

https://v.qq.com/txp/iframe/player.html?width=500&height=375&auto=0&vid=b056290sgzk

分析:动点A不仅在平面内,同时也在以BC为轴线的一个圆锥侧面上。

只是尴尬的是,我们不知道平面和圆锥具体的位置关系是怎样的,那就是几种圆锥曲线都有可能了。因此就选了D.

教师提醒:

为什么几种可能性都存在呢?

看来,

是时候要彻底弄清楚“丹德林双球”到底是个什么玩意儿了。


还记得讲抛物线时的这个引入视频吗?

虽然连标题都不小心打错了,

但视频所蕴含的意思已经到位了。

分析:显然,PM≥PO,则PM≥PH,则在面ABC内,点P应在∠ABC的平分线和AB之间. 从四个选项看,应选D.

教师提醒:

有学生说,老师,我可以用排除法轻松搞定这个答案!

确实的,考试有考试的办法,毕竟做对就行了。

但平时,还是要了解下常规的思路。


本题和前面题最大的不同,在于实在是想不出来轨迹是谁了,那我们只能尽可能的分析其特征,看看能不能用排除法或特殊值法了。

作为考试来说,也是很好的思路。

留个悬念,自己思考呗!

方法总结

其实,不难看出,这种空间的轨迹问题,研究的主要还是解析几何中的几种曲线:

直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线

基于这种认识,常规的思路就比较清楚了:

1.几何法:根据平面的性质进行判定;

2.截面法:根据丹德林双球进行判定;

3.定义法:转化为平面轨迹问题,

 用圆锥曲线定义判定,或用代数法进行计算;

4.其它:如果以上有困难,

 根据题型特征采用特殊值或排除法。


End

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