高二学生福利 | 线性规划全解

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二元线性规划问题，是高考的常考题型，主要处理二元目标函数的最值，考查学生数形结合的能力。

线性规划问题的处理，关键在于正确理解不等式表示的区域，以及对于各种二元代数式特征的认识，尤其是对代数式几何意义的理解。

不等式表示的区域

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作图关键：

线定界、点定域

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一般来说，线性不等式组表示的区域如果是封闭图形，一定是多边形。在寻找该区域时，要遵循“线定界、点定域”的原则，可将直线表示成斜截式的形式：

y<kx+b表示直线下方区域，

y>kx+b表示直线上方区域。

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作出不等式表示的区域，是解决线性规划问题的基础，除了线型不等式，曲线型不等式表示的区域，也须能够处理。

但其实，处理的思路基本都是不变的：线定界、点定域而已。

线性规划模型

截距型

其实，如果仅是客观题，可以直接将区域的三个顶点坐标代入，得到的值中最大或最小值即为目标函数相应最值。

目标函数取最大值时，直线处于最高还是最低处，主要取决于斜截式中的纵截距中是否含有负号。

距离型

凡是平方和的形式，都可构造为两点间的距离公式，或圆的半径。

绝对值的问题，除了直接用截距型方法，求得绝对值内代数式范围后再转化为绝对值外，也可以看作点到直线的距离，用几何法处理。

我一般认为，在代数式中具有几何意义的量，主要有三个：平方和、绝对值和分式。

平方和一般可理解为两点间距离，绝对值可理解为点到直线的距离。

当然，分式就是大家所熟知的直线的斜率了。

斜率型

直线斜率由两种算法可得，一是倾斜角，另一便是两点坐标。因此，分式型代数式最基本的几何形态便是斜率。

分式的几何形态是直线的斜率，但有时并非表象，可以作适当化简后，结合直线的知识，重新构造斜率。

其实，线性规划问题，有时在考题中出现还是比较隐秘的。

那么，我们解决的关键就在于对线性规划的理解了。

一般我认为，对于二元代数式的最值或值域问题的处理：

首选方法为基本不等式法，只是它的作用是有限的，只能求代数式单侧的最值；

其次可以考虑消元法，尤其是如果有条件等式的话，消元法应该是一种常规解法了。当然，如果没有条件等式，换元消元也是一种很好的思路；

再其次应该就是线性规划了，只是线性规划中一般含有条件不等式，如果只有条件等式，但又不便于消元，那么就可以按照线性规划的思路去处理，只是我们一般说叫数形结合，但其本质依然是线性规划。

总之，条件不等式下的二元代数最值问题，肯定是线性规划问题了。

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