用“待定系数法”解决基本不等式的配凑技巧

老师有话说

我们都知道，基本不等式主要是用来求解多元代数式最值问题的，老师们又简单的将这个应用条件总结为：和定积大、积定和小。

说来容易，真正在应用的时候，定值条件的构造确实是挺考验一个人的灵活性的。因此，对于基本不等式来说，一正、二定、三相等这三个要素中，如何寻找最一般性的 、能够确定定值的作法，才是最有必要的。

今天就讲讲如何用待定系数法，来解决确定定值过程中的配凑问题。

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标准答案往往是这个样子的：

答案确实很完美?

但你是不是一下子就觉得自己

很崩溃了呢！

而且

又是个什么鬼?

怎样的大脑才能将其凑成如此境地呢?

作为一名智力一般的学生，

他又能不能做到?

其实，

要想达到这个水平，

也不是不可以，

只是真的还是需要一点勇气！

分析：要想充分利用条件中的定值，结合本题求“最大值”这一方向，可考虑将各字母的交叉项利用基本不等式代换为平方和，只是系数如何摆平，就成为解决本题的关键，在不知道对系数如何配凑的情况下，待定系数法将成为最好的手段。

分析一：象这种平方和的问题，我惯用的方法总是三角换元，而且也总是屡试不爽。

分析二：此题结论为平方式，条件中有交叉项，故可考虑将交叉项代换为平方式处理。当然，代换过程中系数的问题，还是用例1的待定系数法更为妥当。

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相对而言，在解决类似问题时，三角换元应该更具备一般性。其实很明显的是，如果是求范围，用基本不等式就弱了些，毕竟用它只能求代数式单侧的最值。

但三角换元，对条件的要求是比较严格的。就象下面这个平方差的问题，虽然也是可以三角换元，但对于很多正经学生来说，此种特征下的“三角换元”，又是不是太难为他们了点呢！

分析：考虑用基本不等式，但因求的是最大值，不等号方向要做下调整。

老师有话说

其实，使用待定系数法时，方程的得出主要还是要盯准目标，通过建立系数之间的比例关系而成形。从这个角度来说，但凡从外观可以考虑用基本不等式的，都可以使用这种方式处理，应该是通法了。而通法，岂不正是我们这些智商不算太高的人所追求的吗！

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要熟记的“基本不等式”链：

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