筷子夹汤圆，夹出个美丽的蒙日圆
切线，无疑是圆锥曲线中一类重要模型，在考题中是最常见的了。而对圆锥曲线切线的深入研究，对我们快速解决这类问题是非常有帮助的。
这两天看画板群里，板友们都在尽情玩转”蒙日圆“，
就突然地，想写一写这个特殊的“圆”了。
夹汤圆
右边这个图形，象不象用一双筷子，夹住一个汤圆了呢?
我们不妨就将类似这种图形的问题，叫“筷子夹汤圆”问题吧。
其实，如果注意观察，目前这种方式，夹汤圆时筷子的位置虽然不同，但两双筷子之间的关系好像总是不变的。
对，两双筷子总是互相垂直。
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除了这个，
你还能从图中观察出什么呢?
对，P点在旋转过程中留下的痕迹，
竟是一个漂亮的圆呢！
偶然的，还是必然?
当然就值得有心人去研究了。
蒙日圆的证明
在证明之前，首先在几何上，普及两个有关四边形的结论。
①在平行四边形中，各边的平方和等于对角线的平方和。
②在矩形ABCD中，对于平面内任一点O，均有：
PA2+PC2=PB2+PD2
好，下面便可以用几何方法肆意地去找这个圆了。
其实，这个圆就是传说中椭圆的“蒙日圆”。它是由法国数学家加斯帕尔·蒙日发现的，按惯例，便很自然地以他的名字命名了。
当然，更为有意思的是，不仅椭圆，双曲线也有类似的“蒙日圆”，而且连圆的方程都是非常相似的：
你能从下图中，看出蒙日圆的其它性质吗?
蒙日圆的应用
从这个题的思路可以看出，当我们拿筷子的手在蒙日圆内部时，筷子的夹角是钝角，手在蒙日圆的外面时，筷子的夹角是锐角，而蒙日圆，就是两种角的分界线了。
夹汤圆的一般情形
再回顾下蒙日圆的证明：
其实，从蒙日圆的这个证明过程我们不难看出，只要两条切线的斜率之积为定值，动点P的轨迹就是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线，甚至于直线。
那么，你根据λ的不同取值范围，去分析方程所表示的曲线吗?
2019
编后：
值得一提的是，本文主要介绍椭圆的蒙日圆，但其实，双曲线和抛物线的蒙日圆也具备相似的特征和性质，本文不再进行说明，但希望用心的同学可以自行揣摩，以进一步提高自己的学习能力。