切线不等式-KO-函数不等式的证明
国庆日
你在外地看风景
我在家中啃书本
在导数学习过程中，我们经常会碰到两个最特殊的代数式，那就是ex和lnx了。当然，试题青睐这两个特殊代数式的原因，很大一部分可能是它们与一般代数式之间的密切关系，那就是它们的导数：
今天，我们就围绕这两个特殊的代数式，来说一下与它们密切相关的故事。
认识几个不等式
是不是觉得这几个不等式很美?
其实，我所认识的美，不仅在于它们的形式，更在于它们的图像关系。
因为它们之间特殊的相切关系，所以老师们又叫这组不等式为“切线不等式”，而且因为在证明不等式时，它们的出镜率确实太高了，所以有人又叫它们“万能不等式”。
反正我认为，低调点叫切线不等式，高调点叫万能不等式，都没毛病！反正都是说它们的重要性罢了。
分析：这个不等式只有左边有对数，而且是自然对数，所以最常规的方法是构造函数。然后将不等式证明问题转化为求函数最值问题进行处理。
分析：此题式中左右两边都有特殊函数式，如用构造函数的方法处理，可能在求导函数的零点时会出现麻烦。因此，如何寻找两种不同函数式的联系点至关重要。可考虑用切线不等式将两种特殊函数式统一为一般多项式，然后进行比较。
分析：第二问中不等式链右侧含两个特殊函数式，除考虑两者之间联系点外，另一常规处理方法为两边取对数，将两式统一成对数式，再进行比较。
分析：此数列不等式左边为积的形式，而且通项为分式，则左边求积必用累积法，故可考虑将数列通项放缩为可累积的形式，即：
然后再比较积式与右式大小。
其实指对数的这组不等式，是麦克劳林公最简洁的形式。
这个公式于我来说，感觉最棒的就是，无论一个什么样的函数式，竟然都能写成多项式的形式！而这，是我们在代数变形过程中，最喜欢的结构式了吧。
但其实，如果单从函数不等式证明的思路上来看，我们还是要熟练掌握其证明的正常思路。
比如要证下面这个不等式：
★首选思路：最值比较
这是我们证明这种不等式时所幻想的最理想状况了。虽然这个式子与原不等式不等价，但万一成功了呢？
★其次考虑：构造函数：
将原不等式的证明问题转化为求函数H(x)的最值问题，这恐怕也是所有同学最喜欢的方法了。只是在求H(x)的极值点时，往往会遇见超越方程的求解：
①如果超越方程易解，那就恭喜你了！
②如果超越方程不可解，可尝试设出极值点后，用整体替换的方法求出极值。
③如果整体替换行不通了，则考虑放缩法。
★最后思路：放缩法
放缩无定法。因此，经验的积累就很重要了，前面的切线不等式，应该就是一条很好的经验吧。