一种思想，解决数列递推问题
一直想写个递推公式的东西，却一直在犹豫。
原因当然是在现行高考要求下，总觉得这个知识点有点太尴尬了：原本很难、很有技术性的东西，难度竟然压缩到了初级阶段。
可想了好久，还是决定写一点，毕竟代数变形，我总认为是代数的精华所在，不能丢。
其实，要想处理好数列的递推公式，也不是特别的艰难。首先对四种基本形式递推式的处理方法要非常熟悉。剩下的，就交给化归了。
最讨厌了啦
等差型
01
迭代法
02
叠加法
例题
小试
等和型
01
迭代作差，分奇偶项
例题
小试
等比型
01
迭代法
02
累积法
例题
小试
等积型
01
迭代作商，分奇偶项
例题
小试
好了，有了这四个基本形式，那我们就可以依据它们，随心所欲地处理递推式的一般形式了。
当然，其中对代数变形能力的考查，也是会让学渣们欲哭无泪的。
▼
变1
称为常系数一阶线性式，但与等差型相比，也只是系数之间的差异，故首先考虑消除这种系数差异。
常见两种变化方法:
1.等式两边同除以An，将递推式转化为等差型，用叠加法或迭代法处理。
2.用待定系数法，将递推式转化为等比型，利用等比数列通项公式处理。
变2
此递推式与常系数一阶线性式的区别，主要为an-1项系数不再为常数，故不能再按“变1”的方式进行改造,但依照化归思路，必须将其通过代数变形后，转化为四种基本形式之一。
此种形式递推式
常用待定系数法将其转化为
变3
此递推公式与一阶线性式的区别，仅是多了一个项，故可先将其转化为“常系数一阶线性式”，再进行处理，转化为“常系数一阶线性式”时依然用待定系数法。
形如
形式递推公式
称为二阶常系数齐次线性递推式
这种形式递推式
可用特征根法
▼
特征方程为
当然
如果在实数范围内无解时
可用虚根
高中阶段一般不研究
变4
这种常系数非齐次递推公式，主要思路首先要将项的次数降为齐次，主要方法可采用等式两边取对数，将递推式转化为四种基本形式之一。
变5
此递推式与“变4”相同之处为“常系数二次非齐次式”，但等式两边不为乘方形式，达不到两边取对数的条件，故首先考虑将式子两边都整理为
这样，就可以取对数了。
变6
这种含有交叉项的“常系数二次非齐次式”，首先当然要考虑消除交叉项了，因为这样就可以转化为前面的某些形式。
因为没有常数项，一般可有两种思路：
1.两边同时除以交叉项，达到转化为“常系数一阶线性式”：
再构造等差型或等比型处理。
2.将等式转化为分式型：
再通过取倒数，达到化为“常系数一阶线性式”，再构造等差型或等比型处理。
变7
和“变6”相比，递推式中不仅有交叉项，同时有常数项，此式已不再具备两边同除以交叉项的条件，但转化为分式型：
因分子中出现常数项，也不符合“变6”取倒数的条件，这时就需要用到待定系数法，构造取倒条件。
形如
形式递推公式
通过转化后一般可成为
这种形式递推式
有一种特别的方法
不动点法
▼
首先构造特征方程
当然
中学阶段
方程在实数范围内无解时
则可以考虑数列
会不会是周期数列
就象是下面这个样子
按照这个方向摸索
如果幸运
就会发现它的周期了
其实，数列递推式，不外乎为整式和分式两种形式，常规的方法主要有：迭代法、叠加法、累积法、取对数、取倒数、换元法，只是在达不到使用条件时，就需先行构造，体现个人的代数变形能力和解题经验了。
END
相关链接：