对称性与周期性，你还记得吗？

今天的课堂，个人感到很无奈——因为了对称问题。

记得高一时讲函数的奇偶性时，就讲过函数图像的对称问题，后来，凡遇到时都会或多或少的加深一下印象。

但今天，讲题时又遇到了，很多的孩子还是一脸茫然，比例高达99%。

作为老师，无奈的心情，溢于言表……

数学之美，源于对称，如果对这没有感觉，又怎能喜欢上数学呢……

所以今天，再次谈谈对称问题。

最美莫过对称性

Wonderful world

函数的对称性

从奇偶到对称 

在函数的性质中，课本主要介绍了单调性、奇偶性和周期性，单调性问题用导数可以完美解决，但对于奇偶性，还有不少值得我们研究的东西。

其实我们要说的对称问题，其雏形就是奇偶性。

定义解读

（1）函数具备奇偶性的前提条件是：

定义域具备对称性。

比如：函数f(x)=sinx,(-2π<x4π)就不是奇函数。

（2）定义中的x具备任意性。

比如：用f(-2)=f(2)是不能说明函数是偶函数的。

（3）定义的几何解释：

偶函数：到y轴距离相等的点，一定是一般高的。（图像关于y轴呈轴对称）

奇函数：到y轴距离相等的点，纵坐标一定互为相反数，即：中点一定是原点。（图像关于原点呈中心对称）

而轴对称和中心对称，

是对称的两种基本形式。

↑ 简单证→ 结论3

动图验证

↑ 简单证→ 结论3

动图验证

有了上面的结论，我们以后看到类似于下面这样的条件，就马上知道它所表示的意思了。

如：

f(2+x)=f(6-x)

说明图像关于x=4呈轴对称；

f(2+x)+f(6-x)=10

就说明图像关于点(4,5)呈中心对称。

函数的周期性

周期周期  生生不息

其实，在函数的性质中，周期性也是挺重要的一个性质。虽然教材只是在《三角函数》中才稍做简单介绍，但这丝毫不影响它的重要地位，尤其对于数学美学来说。

定义解读

（1）如果常数T是函数的周期，T的整数倍一定是函数的周期；

（2）函数的周期可以是负数；

（3）不是所有的周期函数都有最小正周期；

比如：常函数

（4）如果一个函数是周期函数，则它的定义域一定是无界的；

比如：y=sinx,(-2π<x<2π)，就不是周期函数

（5）若T₁与T₂都是f(X)的周期，则T₁±T₂也是f(X)的周期。

证证下面这些结论？

不仅要会证明

能记住才是最重要的

对称与周期的相关性

其实，对称与周期之间还是有很紧密的关系的。

一句话可以概括为：

一个函数有两种对称性，

则它必是周期函数。

比如：一个函数如果有两条对称轴，则它就一定是周期函数；有两个对称中心或者有一条对称轴和一个对称中心，它都会是周期函数。

对称与周期xixixiangguan其实，上面的结论如果反过来，

函数如果有一条对称轴，又是周期函数，则它也该有其它的对称轴或对称中心吧？

当然，如果要命题，可以将上面的表述改成数学语言，以增加其神秘性。

比如：

已知奇函数y=f(x)，对定义域内任意的x，

都有f(x-2)=f(6-x),且f(1)=2,则f（89）=       .

分析：此题中就包含了两个对称，一是对称中心（0，0），还有一个是对称轴x=2，按照上面的结论，则周期为T=8，所以:f(89)=f(88+1) = f(1) = 2.