我这样理解定积分

你会求面积吗

在我们已有的记忆中，下面这些图形的面积总是可求的。

当然，有时可能会艰难点。

一般三角形

特殊三角形

平行四边形

梯形

圆

反正我一般认为，能够用公式去计算面积的图形，都是规则图形。

对于不规则多边形，我们可以通过分割的方式，将它分割为不同的规则图形。但分割后，所有这些图形的边，除了“圆”之外，都应该是线段。

那么，如果出现了曲边多边形呢？

就如下边的这个：

曲边三角形面积

2018.03.20

化曲为直

抛物线是不同于圆周的一般性曲线，这样的图形面积，没有公式可用。那么，我们就要按照数学的化归思想，想办法将这样的曲边多边形，转化为我们所熟悉的规则多边形去进行处理。

当然，硬将曲线拉直，是不可能的。

那怎么办呢？

分割，还是分割FENGE

我们可以这样思考：

将这个曲边三角形通过上面这种方式，分割成无数块小的曲边梯形。

当然，这些小曲边梯形的面积也是不可求的。

切割再切割QIEGE

那我们能不能将小曲边梯形按上图的样式，再切去上方小的蓝色区域，仅剩下矩形呢？

因为矩形的面积是容易求的。

方法的可行性KEXINGXIN

如果，这样的分割和切割方式可以一直持续下去的话，就是上面这个样子了。

其实，分割次数较多的时候，好象所谓的矩形和曲边梯形，其实都没有区别了。因为实在是，被我们切去的部分肉眼已不再能分辨清楚，几乎可以忽略不计了……

当然，这样子忽略不计，是不是科学，还是需要我们进行数字论证的。

“估计方法”理论证明

第一步：分割求和

将区间【0，1】n等分，得到n个小区间。

第二步：近似替代

按照前面的想法，当分割次数无限增加时，所有小矩形的面积之和应该是无限接近曲边三角形面积的。

也就是：

那我们，是完全可以用这个“逼近值”来估计曲边三角形面积的。只是好象永远要比实际值小一点。

我们把这个“逼近值”叫作“不足估计”

过剩估计excess

那么，如果我们在原有曲边梯形的基础上，按照上面的方式补成一个矩形，从图上也能看出，随着分割次数越来越多，最后所有小矩形也是无限逼近这个曲边三角形的。

因此，我们还可以按这种方式，对要求的面积做个估计，当然，这个估计一定可以称之为“过剩估计”。

过剩

不足

其实，我们一定愿意相信：如果过剩和不足估计都逼近于同一个值的时候，那这个值一定就是我们要找的那个真实值！

定积分的概念

其实，上式是否一定表示面积，还是有些疑问的。比如下面的这几个图形：

那么为了统一表述的方便，那我们就把它叫做“定积分”吧。

定积分定义

我们在小区间[x_i-1,x_i]上一点ξ_{i，我想应该是可以理解的，因为当n无穷大时，f(ξi）和区间内任一点的函数值已基本没有任何区别了。}

定义的直观理解Intuitive

假设线段有粗细，就有面积。

这样就好理解了！

曲边梯形根本就是由线段密密麻麻排列而成的嘛。

“定积分”这名叫的还有玄机！

从名称就能知道原理了。

如果所有的概念都这样定义，我也肯定我学习数学会没问题。

定积分的初步计算