【八下数学】《平四矩形》难点精析
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本讲重点关注对于一些自定义命题的判定和平行四边形存在性问题。
写在前面
一、判断命题的对错
例1：
下列图形是平行四边形吗？是，请证明；不是，请画图举反例．
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形
(2)两组对角分别相等的四边形
(3)有两对邻角互补的四边形
(4)一组对边平行且一组对角相等的四边形
(5)一组对边平行，一组邻角互补的四边形
(6)两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形
(7)对角线相等的四边形
(8)一条对角线平分另一条对角线的四边形
(9)一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形
(10)一组对边相等，一组对角(锐角)相等的四边形
分析：
平行四边形的判定方法，课本中介绍了四种，分别是：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④对角线互相平分的四边形是平行四边形．
我们在证明一个图形是平行四边形，只能先根据题目的条件，将其转化为用以上四种中的一种进行证明．而有些命题，我们如何来判定其是假命题呢？
其实很简单，我们都知道平行四边形是中心对称图形，那么其中一条对角线将其分成的两个三角形，必然是全等的，而且关于对角线的交点成中心对称．而在有些命题中，按条件画出四边形后，作出一条对角线分得的两个三角形，却不全等，而且，十有八九是SSA型，我们下面逐个作图解析．
解答：
(1)假命题
反例：如图，AD∥BC，AB＝CD，四边形ABCD不是平行四边形．
反例画法：先画平行四边形ABCD’，以C为圆心，CD’为半径画弧，交AD’于点D，则四边形ABCD是等腰梯形．
解答：
(2)真命题
原因：
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°
则2∠A＋2∠B＝360°，∠A＋∠B＝180°，AD∥BC
同理，∠A＋∠D＝180°，AB∥DC，
四边形ABCD是平行四边形．
解答：
(3)假命题
反例：如图，∠A＋∠B＝180°，∠C ＋∠D＝180°，四边形ABCD不是平行四边形．
原因：两个条件都只能推得AD∥BC．
反例画法：任意梯形即可．
解答：
(4)真命题
原因：
∵∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴∠C＋∠B＝180°，
AB∥DC，四边形ABCD是平行四边形．
解答：
(5)假命题
反例：如图，AD∥BC，∠A＋∠B＝180°，四边形ABCD不是平行四边形．
原因：∠A＋∠B＝180°与AD∥BC是重复条件．
反例画法：任意梯形即可．
解答：
(6)假命题
反例：如图，AB＝AD，BC＝DC，四边形ABCD不是平行四边形．
原因：虽然连接AC后，可以证明△ABC≌△ADC，但不是成中心对称，而是成轴对称．
反例画法：尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线，连接四个点，构造筝形．
解答：
(7)假命题
反例：如图，AC＝DB，四边形ABCD不是平行四边形．
原因：无全等可以证明．
反例画法：任意画两条相交且相等长度的线段，顺次连接两条线段的四个端点．
解答：
(8) 假命题
反例：如图，AC平分DB，四边形ABCD不是平行四边形．
原因：无全等可以证明．
反例画法：画一条线段，取中点，过中点画中点两侧不等长的线段，顺次连接两条线段的四个端点．
解答：
(9) 经典假命题(详见2013年无锡中考24题)
反例：如图，AD＝BC，AO＝CO，四边形ABCD不是平行四边形．
原因：
△AOD和△COB中，AD＝BC，AO＝CO，∠AOD＝∠COB，两个三角形又是SSA，无法证明全等．
反例画法：与(1)类似，先画平行四边形AB’CD，以C为圆心，CB’为半径画弧，交DB’于点B，四边形ABCD符合条件，但不是平行四边形．
解答：
(10)经典假命题
反例：如图，AB＝CD，∠B＝∠D，四边形ABCD不是平行四边形．
原因：连接AC，△ABC和△CDA中，AB＝CD，AC＝CA，∠B＝∠D，又是SSA，不能构造全等．
反例画法：可以先了解左侧两种，以后学了圆会加深理解．重点掌握右上，构造等腰△ABD’，在底边BD’上任取非中点C，连接AC，将△ACD’沿着AC中垂线翻折到△ACD，则四边形ABCD符合条件，不是平行四边形．右下，先构造平行四边形ABC’D’，将△AC’D’绕点A旋转，使C’再次落在BC’上，即为C，则D’旋转后的位置即为D，四边形ABCD符合条件，但不是平行四边形．
例2：
下列图形是矩形吗？是，请证明；不是，请画图举反例．
(1)有两个角是直角的四边形
(2)对角线相等且有一个角是直角的四边形
(3)对角线相等且互相垂直的四边形
(4)一组邻角相等的平行四边形
(5)一条对角线是一条边长2倍的平行四边形
分析：
矩形的判定，有两大类思路，第一类：间接证明，即先证明平行四边形，再证矩形；第二类直接证明，即证明四边形是矩形．
课本中介绍了3种，分别是：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形．
②对角线相等的平行四边形是矩形．
③有三个角是直角的四边形是矩形．
前两种是间接证明，第三种是直接证明．这道题，只画反例，或说出反例图形的名称，相信大家都能理解．
解答：
(1)假命题
反例：直角梯形
(2)假命题
反例：
画法：构造Rt△ABC，∠ABC＝90°，以B为圆心，AC长为半径画弧，在弧上选一点D，连接AD，CD，四边形ABCD符合对角线相等且有一个角是直角，不是矩形．
(3)假命题
反例：
画法：任意画两条互相垂直且相等的相交线段AC，BD，顺次连接四个顶点，四边形ABCD符合条件，但不是矩形．
(4)真命题
原因：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∠A＋∠B＝180°，
又∵∠A＝∠B，∴∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形．
(5)假命题
反例：
画法：CD＝1，BD＝2，且∠BDC≠60°即符合要求．
二、平行四边形存在性问题
例3：
平面直角坐标系中，A(－2，1)，B(－1，－1)，C(0，2)，求点D坐标，使这四个点能构成平行四边形．
分析：
这类题目，我们在上学期即已经做过，先画出三个点的位置，再作出点D的三种位置，用平移的方法，计算它的坐标．
但是，笔者自己解题时其实并不常用这样的方法，因为每次都要画图，十分麻烦，我想同学们有的也十分喜欢偷懒，那这次就讲一个偷懒的方法．
但再介绍之前，还是来看看点D的位置是怎么样的．
显然，过给定的三个点A、B、C，作对边的平行线，三条平行线的交点即为点D的三个位置．接下来，偷懒方法登场：
观察平行四边形ABD1C，AD为其对角线．
观察平行四边形ACBD2，AB为其对角线．
观察平行四边形ABCD3，AC为其对角线．
你发现了什么？
只要抓住一个点A，其与其他三个点的连线，都能作为对角线，以AD为对角线为例，结合平行四边形的性质，对角线互相平分，我们不难发现，对角线AD和BC 的交点，既是AD的中点，又必然是BC的中点，运用中点公式坐标，不难得到交点坐标是
这三个公式有什么好处呢？
只需知道3个点的坐标，那么第四个点的坐标只需选定一个点的坐标，再和其他三个点的坐标分别联立，代入公式即可得到，无需画图，不易漏解．不妨可以用两种解法来对比下．
解答：
法1：
法2：
显然，法2无需画图，只需解3个方程组，对于数据复杂的题目更有优势。
例4：
(2016·无锡)如图，已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_________．
解析：
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