当神奇的正方形邂逅美丽的45°角（上篇）
The following article is from 广猛说题 Author 高邮赞化 段广猛
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当神奇的正方形与美丽的45度角不期而遇，它们之间会产生怎样的火花，生成怎样令人难忘的故事？今天我们浅谈几道与正方形中45度角有关的好题目，开启一段神奇之旅！
题1：（来源：高邮市赞化学校二轮复习图形变换专题，2015年黑龙江省牡丹江市）
如图1，已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．
(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1-1，求证：AB+BE=AM；
(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1-2；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图5-3；
请分别写出线段AB、BE及AM之间的数量关系，不需要证明；
(3)在(1)，(2)的条件下，若BE=sqrt（3）
，∠AFM=15°，则AM= ．
简析：本题中三种情形下都有一个等腰直角△AEF（含45度角），这里可采取常用的“见等腰直角三角形，造一线三直角”或者说成更一般意义上的“三垂直结构”等垂直处理策略；
对于前两问统一处理如下：
情形一：当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1-4所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点作相关“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AB+BE=EN+BE=BN=AM，第(1)问得解；
情形二：当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1-5所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”，识别“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AM+BE=BN+BE=EN=AB，即AM+BE=AB；
其实这里的“三垂直结构”根本没添加任何辅助线，如果执意采取“见等腰直角三角形，造K字型”的策略作一些“水平—竖直辅助线”，本质上并无什么太大差别，不再赘述，但我们之所以选择前者，是基于以最少的辅助线去解决问题的情怀与追求；
情形三：当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图1-6所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”，识别“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AM+AB=BN+EN=BE，即AM+AB=BE；
综合情形二与情形三这两种情况下的结论，第(2)问得解；
解题后反思：对于前两问，不知同学们有没有发现，三种情形图形变化了，但其证明的思路几乎没什么变化，无论是全等的两个三角形还是全等后相关边长的转化，包括最终结论的形式等都几乎都是一致的，这种图形变换问题中解题策略的“统一性”是极其重要的，很多综合题都可以采取这种策略去寻找突破口，进而顺利解决问题；
建议同学们在表示角的时候用三个大写字母来表示，为什么这么说呢？
这是因为当你会解决第一个图形后，后续图形变化的情形就可以执着这些用三个大写字母表示的角以及三角形等去寻找解决问题的途径与方法；
很多时候，解答过程中甚至于可能连每一个字母都没有任何变化，这就是“图形变了，方法不变，甚至于连表示角或三角形等的字母顺序都一点儿变化都没有”，体现了“变中不变”的统一性；
不相信你再回头看一看题1的分析过程，去对比三种情形下的思路、方法、甚至于表示三角形的字母等几乎都没啥变化，最后的结论形式上也基本是相同的！
下面再来看看第(3)小问：
首先审题要细致，有时真要做到“咬文嚼字”，去揣摩命题人的意图，去琢磨命题人刻意留给你的台阶；
当读到第一句话“在(1)，(2)的条件下”，很明显就要进行分类讨论了啊，而且前面两问分了三种情形，这里自然也应该三种情形都要考虑到位；
这道题编制的巧妙之处就是题目已经将三种情形下的图形画给学生了，不用学生自己去画了，可以说给学生的台阶已经铺垫到了极致，当然这也就顺带失去了对学生画图意识与画图能力的考察；
此问还有一个比较“扎眼”的条件，那就是∠AFM=15°，难道直接应用这个15°角？难道要用所谓“倍半角模型”？切记，轻易不要使用“倍半角模型”，当我们无路可走时，再去尝试用这个模型去解决，尤其是平时解题以及反思题目，一定要有寻找简单几何方法的意识；
这里的15°角还真的可以不直接使用，而是间接推出一个更特殊的30°角，且往下看；
情形一：如图1-7所示，当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，由∠AFM=15°且∠AFE=45°得∠EFN=120°，而∠N=90°，这显然是不可能的，故排除；
此外也可以这样说理：由∠AFM=15°知∠FAB=15°，而∠AFE=45°，这是不可能的，故排除；
这种情形虽然不符合题意，但肯定还是要考虑到位并且作必要的解释的，体现了数学思维的严密性；
情形二：如图1-8所示，当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，由∠AFM=15°得∠FAB=15°，又由∠FAE=45°得∠BAE=30°；
瞧，30°角出现了！接下来，锁定Rt△ABE，由BE=sqrt（3）及∠BAE=30°口算出AB=3；
题目要求的是AM的长，大家千万别忘记“回头看”策略，第(2)小问中不是刚刚探索了三条线段AB、BE及AM之间的关系，现在AB、BE已经有了，要求的正是AM，“前戏”已足，胜利就在眼前；
由(2)中的结论知AM+BE=AB，故所求AM=AB-BE=3-sqrt（3）；
情形三：如图1-9所示，当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，由∠AFM=15°得∠FAB=15°，又由∠FAE=45°得∠BAE=60°，故∠AEB=30°；
笔者想告诉同学们一个秘密，“我偷了个懒”，仅仅将情形二中的思路分析复制过来，果然依然适用于情形三啊，仅仅是最后∠BAE由=30°变为了60°，仅此而已，前者由“45°-15°”而来，而后者由“45°+15°”而来；
瞧，多有趣啊！类比思想是一种重要的数学思想方法，同学们对于这种图形变换题型，不妨就采取这种策略去分析问题，尝试用已经解决的问题思路去分析后续变化的情形，很有可能就能寻找到解决问题的金钥匙，下面的思路也几乎没有什么根本性的改变，不信你看；
瞧，30°角又出现了！接下来，依然锁定Rt△ABE，由BE=sqrt（3）及∠AEB=30°口算出AB=1；
题目要求的是AM的长，大家千万别忘记“回头看”策略，第(2)小问中不是刚刚探索了三条线段AB、BE及AM之间的关系，现在AB、BE已经有了，要求的正是AM，“前戏”已足，胜利就在眼前；
由(2)中的结论知AM+AB=BE，故所求AM=BE-AB=sqrt（3）-1；
综上所述：所求AM=3-sqrt（3）或者sqrt（3）-1，问题得解；
解题后反思：本题中神奇的正方形遇到了美丽的等腰直角三角形（含45°角），采取“垂直处理”中的构造“三垂直结构”策略，得到全等三角形，继而转化相关边长，得到目标三条线段之间的和关系，有趣的是，三种情形下，每一条边长都作为最大边长出现过一次，这就是本题的巧妙之处；
本题另一个巧妙之处，那就是题目的层层铺垫、步步为营已经到了极致，为学生搭的台阶平缓到给人以如履平地之感，当然前提是，学生要把握这种铺垫，不能自己分离几个小问，也不要孤立几种情形，而要用联系的眼光、发展的眼光看问题，这样这道中考题变成了简单的送分题，不然就是丢分的要命题；
当然此题若是我们认真去分析反思图形，其实第三种情形图有个小漏洞，不知道大家有没有发现，第三种情形中Rt△AEF的三个字母顺序是依次按顺时针排序的，但如果按照前面两种情形的排序应该是逆时针顺序，这一点本人觉得是此题图形变换的一个小漏洞，当然题目通过“如图所示”以及“当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时”这样的表述很好地避免了这个问题，其实我想主要也是为第(3)小问铺垫的，不然图形就变为图1-10了，同情形一，∠AFM=15°就不存在了，不再详述；
当然这个小毛病对解决本题无伤大雅，我想表达的主要是解题后反思、解题后琢磨的好习惯，还有学习中一定要有质疑的好精神，多问几个问什么，我想学习的提升一定不是多么难的事情吧！
无独有偶，下面这道中考真题与题1有很多相似之处，依然是神奇的正方形邂逅了美丽的45°角，它们之间又会续写怎样的传奇故事呢？瞅瞅看呗．
题2：（来源：2016年江苏省扬州市倒二题）
如图2-1，已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
(1)如图2-1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
(2)当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
(3)如图2-3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．
简析：(1)第一小问的特殊性就在于“当∠EAF被对角线AC平分时”这个条件，毫无疑问这就是这一问的关键条件，突破了这个条件，知道这个特殊条件能起到什么作用，这一问就可迎刃而解，这就是“寻找题目特殊性”的解题意识，同学们要有主动寻找特殊性的意识，尤其是题目明确给定特殊条件的时候，更要毫不犹豫地去抓住这些特殊性去认真分析、转化，同学们要有意识地自我培养这种果决感；
∠EAF被对角线AC平分时，由∠EAF=45°知∠EAC=∠FAC=22.5°，如图2-4所示，将目光聚焦在△EAC中，由“外角原理”或者“内角和定理”都可轻易推出∠EAC=∠AEC=22.5°，则有CE=CA=4sqrt（2），即所求a=4sqrt（2）；
同理，如图2-5所示，可推得△FAC也是一个等腰三角形，即CF=CA=4sqrt（2），即所求b=4sqrt（2）；
解题后反思：特殊条件即为关键条件，抓住特殊条件，主动探寻题目中的特殊性，是一种可贵的解题品质，同学们要有自我意识地去培养、训练，长此以往，你就会大大提升题感，迅速锁定关键之所在，如本题第(1)小问，简而言之，就是抓住“当∠EAF被对角线AC平分时”这个特殊条件，通过导角，推出特殊等腰三角形的存在，进而口算结果，干净利落！
(2)第二小问依然有其自身的特殊性，即“当△AEF是直角三角形时”，再结合∠EAF=45°可知，一方面△AEF不仅是直角三角形，而且还是等腰直角三角形；另一方面本来要分三类讨论直角三角形的存在性问题的，但已确定∠EAF=45°，故只要分两类讨论即可；
情形一：当∠AFE=90°时，依托于等腰Rt△AEF的三个顶点作系列“水平—竖直辅助线”，如图2-6所示，即“见等腰直角三角形，造K字型全等”，则易知b=CF=EH=FG=AD=4，a=CE=FH=AG=DF=DC+CF=4+4=8；
情形二：当∠AEF=90°时，同理，依托于等腰Rt△AEF的三个顶点作系列“水平—竖直辅助线”，如图2-7所示，即“见等腰直角三角形，造K字型全等”，则易知a=CE=FH=EG=AB=4，b=CF=EH=AG=BE=BC+CE=4+4=8；
综上两种情形，问题可解；
解题后反思：本人作品《广猛说题系列之再谈”垂直处理“的几种常见策略》一文中提及过，在平面直角坐标系中，当我们过一些已知点及目标点作系列“水平—竖直辅助线”时，无论怎么作都可以解决问题，其本质相通；但所作辅助线有多少之分，一般情况下，同学们要有用最少的辅助线来解决问题的追求；
拿第(2)小问l来说，虽然上面的“见等腰直角三角形，造K字型全等”可以顺利解决此问，但辅助线还是稍显多了些，其实我们甚至一条辅助线都不作，就可以轻松解决问题，而且与上面的解法本质想通，何乐而不为呢！
如图2-8及图2-9所示，任何辅助线不添加，就可以利用等腰Rt△AEF，在原题图中主动寻找“水平—竖直线”，识别到全等直角三角形；
其实这里的全等直角三角形跟上面的解法本质一模一样，都隶属于“一线三直角”模型，图2-8中的三个直角都在直线DC上，而图2-9中的三个直角都在直线BC上，而且这两组全等直角三角形与上面的所谓“K字型全等”直角三角形相互之间都是全等的，即图2-8中的两个直角三角形与图2-6中的两个直角三角形，共四个直角三角形都是全等的；而图2-9与图2-7亦然；
所以笔者更习惯将其命名为具有更一般意义地所谓“三垂直结构”，它是“垂直处理”的一种重要的几何策略，在《广猛说题系列之再谈”垂直处理“的几种常见策略》一文中曾多次提及，具体可参考上文；
之所以前面一上来就通过作系列“水平—竖直辅助线”，造“K字型全等”结构解决，是考虑到估计大多数学生现在的第一想法就是这个解法，这或许正如有些老师所说，“模型这东西既有其好处，也有其不好的地方，那就是容易限制人的思维，容易形成思维定势”！确实如此，模型有的时候会给我们很大的限制，一旦形成定势，肯定会拘束我们创造性的发展，但其实也要看我们怎么去对待模型，是用发展的眼光去对待还是用一尘不变的思维去看待模型，两者有本质区别；
数学家怀特大师指出：“数学就是对模式的研究”.数学的学习就是在建立模式、完善模式、打破模式、再建新模式的不断循环中逐步构建数学的学科体系，形成数学的解决问题的能力.罗增儒教授在《数学解题学引论》中也指出，“好些学习用功的同学停留在知识型的水平上，不能形成较强的解题能力，根本原因在于他们既没有分析典型的例题（解题模式），又没有分析自己的解题（解题过程分析与反思）.题目一但获解，就匆匆合上作业本，错过了“学会解题”的最好时机，无异于“入宝山而空回”.而解题后的分析与反思，有如登上山顶后居高临下的俯瞰，有一种会当凌绝顶，一览众山小的高远境界”.基于上述认识，笔者认为，掌握基本模式，解题后反思适时打破旧模型，发展新模型，才是模型教学的真正意义之所在，简而言之，模型本身也是在变化的、发展的、进步的.
对于最后一小问，我们可以采取由特殊到一般的解题策略，即由前面两个小问中特殊情形求出的a与b先猜想出所求关系式，再由一般意义下的图形去想办法证明求解；
由(1)知a=b=4，由(2)知a=8，b=4或者a=4，b=8；
由上面的三种特殊情形，同学们有可能会猜出ab=32是一个定值，当然这个猜想还是有一些玄的，因为数据还是比较少的，所以猜想比较难，不管怎么说，也是一种手段吧；
接下来就是怎么想办法证明这个猜想了，或者说怎么想办法直接找到a与b的关系式；
观察一般意义下的图形，寻找突破口，有其是初三的学生，在看问题时，眼光应该更全面些，比如勾股、相似、面积法等各种重要的基本解题思想方法，都要尝试去应用；
如图2-10所示，易知∠ACE=∠ACF=90°+45°=135°，又由∠EAF=45°，通过导角易得∠1+∠4=45°，而∠1+∠3=45°，故∠3=∠4，同理可有∠1=∠2；
解题后反思：作为初三的学生，尤其是即将面临中考的学生，在分析问题时，要养成用相似眼光去分析问题的情怀，尤其是在几何证明题中，很有可能就隐藏着一个天大的“相似”在图形里，一旦寻找到了这组相似三角形，问题很有可能就迎刃而解了；
拿本题最后一问来说，就是考察这么一个简单的相似而已，发现了就是容易题，发现不了难死你；
其实这个相似还“大有来头”，一方面它可以理解为“一线三等角”模型，如图2-11所示，延长AC后，在直线AC上会出现三个45°角，当然就有相似产生了，这样去理解，用模型的眼光看问题一目了然，一眼望穿，这就是模型的巨大魅力；
另一方面，其实关于这个模型，还有一个更牛逼的说法，即来自于特的“等边相似”，上面这个模型就是典型的“等边相似”模型，所谓“等边”就是指有一组相等的对应边，在这个相似图形中还比较特殊，就是公共边AC；
关于“等边相似”模型，有三大重要的性质（摘自于特经典语录）：
图2-10中的相似还是“等边相似”的一个特例，尤其特殊在这里的“等边”恰好是条公共边，再比如说传统意义上射影定理对应的“射影基本相似型”也属于具有公共边的特殊“等边相似型”，因为特殊，上面举的具体结论也有一些特殊性，大家可以再构造更一般意义下的“等边相似型”去分析上面的三大性质，将更具有代表性与一般性；
据于特所说，如果懂了“等边相似”模型，相似中许多传统的“基本图形”都可以“扔”掉了，关于这一点笔者也在用心揣摩，大家可以将学过的熟悉模型参悟上面的三大性质，你一定会有非凡的收获！
于特的高明之处就是这些“把戏”用的滚瓜烂熟，是啊，熟才能生巧！关键的问题是如何理解并深刻记忆这些结论并能分析问题时手到擒来，而书写过程时又能下笔如有神，这样才算真正懂得“等边相似”模型吧，大家一起努力“挖宝”吧！
《以微课堂》，由江苏省数学名师、数学奥林匹克国家一级教练员，联手四名特级教师共同打造。
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